1、届江苏省常州市高三上学期期末考试数学文试题江苏省常州市 2019 届高三上学期期末考试数 学 文参考公式： 样本数据 x1, x2, xn 的方差 s21n21nn( xi x )，其中 xxi .i 1n i 1柱体的体积 VSh ，其中 S 为柱体的底面积，h为高一、 填空题： 本大题共 14 小题，每小题5 分，共 70分 .1.已知集合 A 0,1, B1,1 ，则 A B_.ReadxIf x 1 Then2.已知复数 z 满足 z(1i )1 i （ i 是虚数单位），则复数 zy x2 2x 2_.Elsex 13. 已知 5 位裁判给某运动员打出的分数为9.1,9.3, x,9
2、.2,9.4，yx 1且这 5 个分数的平均数为9.3 ，则实数 x_.EndIfPrinty4. 一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出的 y 值为 1，则输入的实数 x的值为 _.( 第 4 题 )5. 函数 y 1 ln x 的定义域为 _.6. 某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类，某同学从中选修 2 门课程，则该同学恰好选中 1 文 1 理的概率为 _.x2y2x y 2 0CC7. 已知双曲线 C : a2b2 1(a 0,b 0) 的离心率为2，直线经过双的焦点，则双曲线的渐近线方程为 _.8. 已知圆锥 SO ，过 SO 的中点 P 作平行
3、于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱 PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱 PO 的体积与圆锥 SO 的P体积的比值为 _.O9. 已知正数 x, y 满足 xy，则1x1x的最小值为 _.xy10. 若直线 kx y k 0与曲线 yex（第 8 题）（ e 是自然对数的底数）相切，则实数k _.页 1 第11. 已知函数 f (x)sin( x )(0,R ) 是偶函数，点(1,0) 是函数 yf ( x) 图象的对称中心，则最小值为 _.12. 平面内不共线的三点O, A, B ，满足 | OA | 1,| OB |2 ，点 C 为线段 AB 的中点，AOB 的平分线交
4、线段 AB于 D ，若 | |OC |3，则 | OD | _.213. 过原点的直线 l 与圆 x2 y2 1 交于 P,Q 两点，点 A 是该圆与 x 轴负半轴的交点，以 AQ 为直径的圆与直线 l 有异于 Q 的交点 N ，且直线 AN 与直线 AP 的斜率之积等于 1 ，那么直线 l 的方程为 _.14. 数列 an, bn 满足 bn an 1( 1)n an (n N * ) ，且数列 bn 的前 n 项和为 n2 ，已知数列 ann 的前 2018 项和为 1，那么数列 an 的首项 a1_.二、 解答题： 本大题共 6 小题，共 90 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
5、算步骤15. (本小题满分 14 分 )如图，在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，点 M，N 分别是 AB， CC1 的中点(1) 求证： CM 平面 AB1N；(2) 求证：平面 A1BN平面 AA 1B1B.(第 15 题 )16. (本小题满分14 分)已知在 ABC 中，a，b，c 分别为三个内角A，B，C 的对边 ，且 b22 3bcsinA3 c2 a2 .(1) 求角 A 的大小；页 2 第(2) 若 tanBtanC 3，且 a2，求 ABC 的周长x2y2y2x217. (本小题满分 14 分 )已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C1： a2 b2 1 的焦点在椭圆C
6、2： a2b21上，其中 ab 0，且点6，6 是椭圆 C ， C位于第一象限的交点3312(1) 求椭圆 C1， C2 的标准方程；(2) 过 y 轴上一点 P 的直线 l 与椭圆 C2相切，与椭圆 C 1 交于点 3 A ， B，已知 PA PB，求直线 l 的斜5率页 3 第18. (本小题满分 16 分 )某公园要设计如图 (1)所示的景观窗格 (其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等三角形所得 ，如图 (2)中所示的多边形 ABCDEFGH )，整体设计方案要求： 内部井字形的两根水平横轴 AF BE 1.6 m，两根竖轴 CH DG 1.2 m，记景观窗格的外框 (图 (2
7、)中实线部分，轴和边框的粗细忽略不计 )总长度为 l m.20.6 m，求景观窗格的外框总长度；(1)，且两根横轴之间的距离为若 ABC 3(2)由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过5 m，当景观窗格的面积(多边形 ABCDEFGH的面积 )最大时，给出此景观窗格的设计方案中ABC 的大小与 BC 的长度图 (1) 图 (2)(第 18 题)19. (本小题满分 16 分 )已知在数列 an 中， a1 1，且 an 1 3an4 0， n N * .(1) 求证： an 1 是等比数列，并求数列 an 的通项公式；(2) 数列 an 中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后， 构成
8、等差数列？若存在， 求出满足条件的项；若不存在，请说明理由20. (本小题满分 16 分 )已知函数 m(x) x2，函数 n( x) aln x1(a R )页 4 第(1) 若 a 2，求曲线 y n(x)在点 (1， n(1) 处的切线方程；(2)若函数 f(x) m(x) n(x)有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；(3)若函数 g(x) n(x) 1 ex ex 0 对 x 1， )恒成立，求实数a 的取值范围 (e 是自然对数的底数， e 2.718 28 )页 5 第江苏省常州市 2019 届高三上学期期末考试数学参考答案及评分标准31. 12.i3. 9.54. 35. (
9、0， e 6. 5327. y 3x8. 8 9. 410. e12.213. y 3x14.311. 232(第 15 题 )15. (1) 令 AB 1 交 A 1B 于点 O，连接 OM ，ON ，在正三棱柱ABCA 1B1C1 中， BB 1CC 1，BB 1 CC1，且四边形 AA 1B1B 是平行四边形，所以O 为 AB 1 的中点，又因为M 为 AB 的中点，所以OM BB 1，且11CC1，所以 OM CN ，且 OM CN，所以四边形CMON 是平行OM BB 1.因为 N 为 CC1 的中点， CN 22四边形， (5 分)所以 CM ON，又 ON? 平面 AB 1N，
10、CM ?平面 AB 1N ，所以 CM 平面 AB 1N.(7 分 )(2) 在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中， BB 1平面 ABC ， CM ? 平面 ABC ，所以 BB 1 CM.(9 分)因为 CA CB ， M 为 AB 的中点，所以CM AB ，又由 (1)知 CM ON ，所以 ON AB ， ON BB 1.又因为 AB BB 1 B， AB ，BB 1? 平面 AA 1B 1B，所以 ON平面 AA 1B 1B.(12 分)又 ON? 平面 A 1BN ，所以平面 A 1 BN平面 AA 1 B1B.(14 分 )16. (1) 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bcc
11、osA ，又 b2 23 3bcsinA c2a2，22223223分 )所以 b2bccos A cb 3bcsinA c ，即 2bccos A 3bcsin A， (3从而 sinA 3cosA ，若 cosA 0，则 sinA 0，与 sin2A cos2A 1 矛盾，所以 cos A 0，所以 tanA 3.又 A (0， )，所以 A 3.(7 分 )tanB tanC2(2) 1 tanB tanC tan(B C) tan( A) tan 3 3.(9 分 )又 tanB tan C 3，所以 tanB tanC3 ( 2) 23，解得 tanB tanC3.(11 分 )又
12、B， C(0， )，所以 B C .又因为 A ，所以 ABC 是正三角形，33页 6 第由 a2，得 ABC 的周长为 6.(14 分)22217. (1)椭圆 C1： x2 y2 1 的焦点坐标为 ( c， 0)，代入椭圆 C2的方程有 c2 1，abb点 P6， 6 的坐标代入椭圆 C， C的方程有C ：222 2331213a 3b 1，2c2b 1，所以222分 )a b c， 解得 a2 2， b2 c2 1， (3223a2 3b2 1，x22y22所以椭圆C1，C2 的标准方程分别为2 y 1，2 x 1.(5 分 )(2) 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 y
13、kx m， A(x 1， y1)， B(x2 ， y2)， P(0，m)，2y x2 1，（kx m） 2由 2消去 y，得 x2 1，y kx m，2k22即 1x2 kmx m 1 0，22 k2m24 1k2m2 1 0，22即 k2 2m2 0.(7 分 )x221， 消去 y，得 x2 (kx m)2 1，由 2 y2y kx m，即 1 k2 x2 2kmx m2 1 0， 2因为直线 l 与椭圆 C1 相交，有 4k221 k2(m221210(*)，m 42 1) 4k m 22 2km4k2 12 1x1，2 2m21k2.(9 分 )2 22km 4k21213，即 (x
14、， y m)3， y m)，则 5x 3x ，所以 52m2因为 PA1PB115(x2221252 2 k 2km 4k2121 m2 或31222 2 k 2km 421 215k2m2 1 k22 2页 7 第 2km 42121k m 31 k222化简得， km 2 24k2 1m21或 km 4k21m21，2222即 k2m2 162121k2m2.(12 分 )又因为 k2 2 m2 0，解得k2 2，k2 4，l 的斜率为 2或 2.(14 分 )或符合 (*) 式，所以直线m2 4m2 6，18. (1) 记 CH 与 AF ， BE 的交点为 M ， N，由 ABC 2，
15、得在 BCN 中， CBN ，361其中 CN HM 2(1.2 0.6) 0.3 m，所以 BC CN0.3 3m，sin CBN 5sin6CN0.33 3BN tan CBN10 m， (2 分 )tan6所以 CD BE 2BN 1.6 33 8 33，则55AB BC CD DE EF FG GH HA 2AB 2CD 4BC 1.2166312346 355.(5 分)5答：景观窗格的外框总长度为34 63m (6 分 )5(2) AB BC CD DEEF FG GH HA 2AB 2CD 4BC 5，设 CBN ， 0，2 ， BC r，则 CN r sin， BN rcos，所以 AB CH 2CN 1.2 2rsin， CD BE 2BN 1.6 2rcos，3所以 2(1.2 2rsin) 2(1.62rcos)4r 5，即 4r(sin cos 1) 5.(8 分)设 景 观 窗 格 的 面 积 为S ， 有S 1.2 1.6 2r2sincos489sincos225200（ sin cos 1）(当且仅当 4r（ sin3cos 1） 5时取等号 .(9 分)令 t sincos (1， 2，则 sincost 2 1， 2页 8 第9t2 122 4892， 其 中 12 1 2
