届江苏省常州市高三上学期期末考试数学文试题.docx
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届江苏省常州市高三上学期期末考试数学文试题
江苏省常州市2019届高三上学期期末考试
数学文
参考公式:
样本数据x1,x2
xn的方差s
2
1
n
2
1
n
n
(xix)
,其中x
xi.
i1
ni1
柱体的体积V
Sh,其中S为柱体的底面积,
h
为高.
一、填空题:
本大题共14小题,每小题
5分,共70
分.
1.已知集合A{0,1},B
{
1,1},则AB
________.
Read
x
Ifx≥1Then
2.已知复数z满足z(1
i)
1i(i是虚数单位),则复数z
y←x2-2x-2
________.
Else
x+1
3.已知5位裁判给某运动员打出的分数为
9.1,9.3,x,9.2,9.4
,
y←x-1
且这5个分数的平均数为
9.3,则实数x
________.
End
If
y
4.一个算法的伪代码如右图所示,执行此算法,若输出的y值为1,
则输入的实数x的值为________.
(第4题)
5.函数y1lnx的定义域为________.
6.某校开设5门不同的选修课程,其中3门理科类和2门文科类,某同学从中选修2门课程,则该同学恰
好选中1文1理的概率为________.
x2
y2
xy20
C
C
7.已知双曲线C:
a2
b21(a0,b0)的离心率为
2,直线
经过双
的焦点,则双曲线
的渐
近线方程为________.
8.已知圆锥SO,过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面,以截面为上底面作圆
柱PO,圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)
,则圆柱PO的体积与圆锥SO的P
体积的比值为________.
O
9.已知正数x,y满足x
y
,则
1
x
1
x
的最小值为________.
x
y
10.若直线kxyk0
与曲线y
ex
(第8题)
(e是自然对数的底数)相切,则实数
k________.
页1第
11.已知函数f(x)
sin(x)(0,R)是偶函数,点
(1,0)是函数y
f(x)图象
的对称中心,则
最小值为________.
12.平面内不共线的三点
O,A,B,满足|OA|1,|OB|
2,点C为线段AB的中点,
AOB的平分线交线段AB
于D,若||OC|
3
,则|OD|________.
2
13.过原点的直线l与圆x2y21交于P,Q两点,点A是该圆与x轴负半轴的交点,以AQ为直径的圆与直
线l有异于Q的交点N,且直线AN与直线AP的斜率之积等于1,那么直线l的方程为________.
14.数列{an},{bn}满足bnan1
(1)nan(nN*),且数列{bn}的前n项和为n2,已知数列{an
n}的前2018项
和为1,那么数列{an}的首项a1
________.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,点M,N分别是AB,CC1的中点.
(1)求证:
CM∥平面AB1N;
(2)求证:
平面A1BN⊥平面AA1B1B.
(第15题)
16.(本小题满分
14分)已知在△ABC中,a,b,c分别为三个内角
A,B,C的对边,且b2-
23
bcsinA
3
+c2=a2.
(1)求角A的大小;
页2第
(2)若tanBtanC=3,且a=2,求△ABC的周长.
x2
y2
y2
x2
17.(本小题满分14分)已知在平面直角坐标系
xOy中,椭圆C1:
a2+b2=1的焦点在椭圆
C2:
a2+b2
=1
上,其中a>b>0,且点
6,
6是椭圆C,C
位于第一象限的交点.
3
3
1
2
(1)求椭圆C1,C2的标准方程;
(2)过y轴上一点P的直线l与椭圆C2
相切,与椭圆C1交于点
→3→
A,B,已知PA=PB,求直线l的斜
5
率.
页3第
18.(本小题满分16分)某公园要设计如图
(1)所示的景观窗格(其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四
个全等三角形所得,如图
(2)中所示的多边形ABCDEFGH),整体设计方案要求:
内部井字形的两根水平横
轴AF=BE=1.6m,两根竖轴CH=DG=1.2m,记景观窗格的外框(图
(2)中实线部分,轴和边框的粗细忽
略不计)总长度为lm.
2π
0.6m,求景观窗格的外框总长度;
(1)
,且两根横轴之间的距离为
若∠ABC=3
(2)
由于预算经费限制,景观窗格的外框总长度不超过
5m,当景观窗格的面积
(多边形ABCDEFGH
的面积)最大时,给出此景观窗格的设计方案中∠
ABC的大小与BC的长度.
图
(1)图
(2)
(第18题)
19.(本小题满分16分)已知在数列{an}中,a1=1,且an+1+3an+4=0,n∈N*.
(1)求证:
{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)数列{an}中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后,构成等差数列?
若存在,求出满足条件
的项;若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分16分)已知函数m(x)=x2,函数n(x)=alnx+1(a∈R).
页4第
(1)若a=2,求曲线y=n(x)在点(1,n
(1))处的切线方程;
(2)
若函数f(x)=m(x)-n(x)有且只有一个零点,求实数
a的取值范围;
(3)
若函数g(x)=n(x)-1+ex-ex≥0对x∈[1,+∞)恒成立,求实数
a的取值范围.(e是自然对数的
底数,e=2.71828⋯)
页5第
江苏省常州市2019届高三上学期期末考试
数学参考答案及评分标准
3
1.{1}
2.
-i
3.9.5
4.3
5.(0,e]6.5
3
2
7.y=±3x
8.89.4
10.e
π
12.
2
13.y=±3x
14.
3
11.2
3
2
(第15题)
15.
(1)令AB1交A1B于点O,连接OM,ON,在正三棱柱
ABCA1B1C1中,BB1∥CC1,BB1=CC1,
且四边形AA1B1B是平行四边形,所以
O为AB1的中点,又因为
M为AB的中点,所以
OM∥BB1,且
1
1
CC1,所以OM=CN,且OM∥CN,所以四边形
CMON是平行
OM=BB1.因为N为CC1的中点,CN=
2
2
四边形,(5分)
所以CM∥ON,又ON?
平面AB1N,CM?
平面AB1N,所以CM∥平面AB1N.(7分)
(2)在正三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥平面ABC,CM?
平面ABC,所以BB1⊥CM.(9分)
因为CA=CB,M为AB的中点,所以
CM⊥AB,又由
(1)知CM∥ON,所以ON⊥AB,ON⊥BB1.又
因为AB∩BB1=B,AB,BB1?
平面AA1B1B,所以ON⊥平面AA1B1B.(12分)
又ON?
平面A1BN,所以平面A1BN⊥平面AA1B1B.(14分)
16.
(1)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,又b2-233bcsinA+c2=a2,
2
2
2
2
3
2
2
3
分)
所以b
-2bccosA+c
=b-
3
bcsinA+c,即2bccosA=
3
bcsinA,(3
从而sinA=
3cosA,若cosA=0,则sinA=0,与sin2A+cos2A=1矛盾,所以cosA≠0,
π
所以tanA=3.又A∈(0,π),所以A=3.(7分)
tanB+tanC
2π
(2)1-tanBtanC
=tan(B+C)=tan(π-A)=tan3=-
3.(9分)
又tanBtanC=3,所以tanB+tanC=-
3×(-2)=2
3,解得tanB=tanC=
3.(11分)
π
π
又B,C∈(0,π),所以B=C=.又因为A=,所以△ABC是正三角形,
3
3
页6第
由a=2,得△ABC的周长为6.(14分)
2
2
2
17.
(1)
椭圆C1:
x2+y
2=1的焦点坐标为(±c,0),代入椭圆C2
的方程有c
2=1,
a
b
b
点P
6,6的坐标代入椭圆C
,C
的方程有
C:
22
22
3
3
1
2
1
3a
+3b=1,
2
c
2
b
=1,
所以
2
2
2
分)
a
=b+c
,解得a2=2,b2=c2=1,(3
2
2
3a2
+3b2=1,
x2
2
y2
2
所以椭圆
C1,C2的标准方程分别为
2+y=1,
2+x
=1.(5分)
(2)由题意知直线
l的斜率存在,设直线
l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,m),
2
y+x2=1,
(kx+m)2
由2
消去y,得
+x2=1,
y=kx+m,
2
k
2
2
即1+
x2+kmx+m-1=0,
2
2
=k2m2-41+
k
2
m
2
-1=0,
2
2
即k2+2-m2=0.(7分)
x2
2
=1,消去y,得x2+(kx+m)2=1,
由2+y
2
y=kx+m,
即1+k2x2+2kmx+m2-1=0,2
因为直线l与椭圆C1相交,有
=4k
2
2
1
+k
2
(m
2
2
1
2
1
>0(*)
,
m-4
2
-1)=4
k-m+
2
2
-2km±
4
k
2-1
2+1
x1,2=
2m
2
1+k2
.(9分)
22
→
→
-2km+4
k
2-
1
2+
1
3
,即(x,y
-m)=
3
,y-m),则5x
=3x,所以5
2m
2
因为PA=
1
=
PB
1
1
5
(x2
2
2
1
2
5
22+k
-2km-
4
k
2
1
2
1
-m
+
2或
3
1
2
2
22+k
-2km-
4
2
-12+
1
5
k
2m
2=
1+k2
22
页7第
-2km+
4
2
1
2
1
k
-m+
3
1+k2
2
2
化简得,km=
22
4
k2-1
m2+
1或km=-4
k2-
1
m2+
1,
2
2
2
2
即k2m2=16
2
1
2
1
k
-
2m
+
2
.(12分)
又因为k2+2-m2=0,解得
k2=2,
k2=4,
l的斜率为±2或±2.(14分)
或
符合(*)式,所以直线
m2=4
m2=6,
18.
(1)记CH与AF,BE的交点为M,N,
由∠ABC=
2π
π
,得在△BCN中,∠CBN=,
3
6
1
其中CN=HM=2(1.2-0.6)=0.3m,
所以BC=
CN
=
0.3=3
m,
sin∠CBN
π5
sin6
CN
=
0.3
=33
BN=tan∠CBN
π
10m,(2分)
tan6
所以CD=BE-2BN=1.6-3
3=8-3
3,则
5
5
AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA=2AB+2CD+4BC=1.2+
16-6
3
12=
34-63
5
+
5
.(5分)
5
答:
景观窗格的外框总长度为
34-6
3
m.(6分)
5
(2)AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA=2AB+2CD+4BC≤5,
π
设∠CBN=α,α∈0,2,BC=r,
则CN=rsinα,BN=rcosα,
所以AB=CH-2CN=1.2-2rsinα,CD=BE-2BN=1.6-2rcosα,
3
所以2(1.2-2rsinα)+2(1.6-2rcosα)+4r≤5,即4r(sinα+cosα-1)≥5.(8分)
设景观窗格的面积为
S,有
S=1.2×1.6-2r2sinα·cosα≤
48
-
9sinαcosα
2
25
200(sinα+cosα-1)
(当且仅当4r(sinα+
3
cosα-1)=5时取等号.(9分)
令t=sinα+cosα∈(1,2],则sinαcosα=t2-1,2
页8第
9
t2-1
2
2=48
9
2
,其中1
2
≥1+
2
- 配套讲稿:
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