1、最新人教A版必修5新课标高中数学 222等差数列通项公式教学设计精品2.2.2等差数列通项公式 从容说课本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是一个等差数列，使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题. 在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位，
2、通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识. 通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，通过等差数列的图象的应用，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想，进一步渗透数形结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究，主动学习，提高学生学习积极性，也提高了课堂的教学效果. 教学重点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用. 教学难点 等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题. 教具准备 多媒体及课件 三维目标一、知识与技能 1.明确等差中项的概念; 2.进一步熟练掌握
3、等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质; 3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题. 二、过程与方法 1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想; 2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习; 3.理论联系实际，激发学生的学习积极性. 三、情感态度与价值观 1.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点; 2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣. 教学过程导入新课师 同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式
4、，哪位同学能回忆一下什么样的数列叫等差数列？ 生 我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即an-a n-1=d(n2，nN *)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示). 师 对，我再找同学说一说等差数列an的通项公式的内容是什么？ 生1 等差数列an的通项公式应是an=a1+(n-1)d. 生2 等差数列an还有两种通项公式：an=am+(n-m)d或an=pn+q(p、q是常数). 师 好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d的公式：d=an-a n-1；.你能理解与记忆它们吗？
5、生3 公式与记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差). 合作探究 探究内容：如果我们在数a与数b中间插入一个数A，使三个数a，A，b成等差数列，那么数A应满足什么样的条件呢？ 师 本题在这里要求的是什么? 生 当然是要用a，b来表示数A. 师 对，但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答? 生 由定义可得A -a=b-A，即. 反之，若，则A-a=b-A, 由此可以得a,A,b成等差数列. 推进新课 我们来给出等差中项的概念：若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项. 根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的
6、等差中项. 如数列：1，3，5，7，9，11，13中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项. 9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项. 方法引导 等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a，A，b成等差数列 2A=a+b，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a，A，b间的关系证得a，A，b成等差 数列. 合作探究 师 在等差数列an中，d为公差，若m,n,p,qN*且m+n=p+q，那么这些项与项之间有何种等量关系呢？ 生 我得到了一种关系am+an=ap+aq. 师 能把你的发现过程说一下吗？ 生 受等差中项的启发，我发现a2+a4=a1+a5,a4+a6=a3+a7.
7、 从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq. 师 你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明！我们是否可以对这归纳的结论加以证明呢？ 生 我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a1，则 am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d, ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d. 因为我们有m+n=p+q,所以上面两式的右边相等，所以am+an=ap+aq. 师 好极了！由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列an的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两
8、项的和.另外，在等差数列中，若m+n=p+q,则上面两式的右边相等，所以am+an=ap+aq. 同样地，我们还有：若m+n=2p,则am+an=2ap.这也是等差中项的内容. 师 注意：由am+an=ap+aq推不出m+n=p+q，同学们可举例说明吗? 生 我举常数列就可以说明了. 师 举得好!这说明在等差数列中，am+an=ap+aq是m+n=p+q成立的必要不充分条件. 例题剖析 【例1】 在等差数列an中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9. 师 在等差数列中通常如何求一个数列的某项？ 生1 在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项. 生2 而要求通项公式，必须知道
9、这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差，这在前面已研究过了). 生3 本题中，只已知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手 师 好，我们下面来解，请一个同学来解一解，谁来解？ 生4 因为an是等差数列，所以a1+a6=a4+a3=9 a3=9-a4=9-7=2, 所以可得d=a4-a3=7-2=5. 又因为a9=a4+(9-4)d=7+55=32，所以我们求出了a3=2，a9=32. 【例2】 (课本P44的例2)某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4千米(不含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处
10、的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少元的车费? 师 本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题？ 生 这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决. 师 为什么？ 生 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来进行计算车费. 师 这个等差数列的首项和公差分别是多少? 生 分别是11.2，1.2. 师 好，大家计算一下本题的结果是多少? 生 需要支付车费23.2元. (教师按课本例题的解答示范格式) 评述：本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，做此题的目的是让大家学会从实际问题中抽象出等
11、差数列的模型，用等差数列知识解决实际问题. 课堂练习1.在等差数列an中， (1)若a5=a,a10=b,求a15. 解：由等差数列an知2a10=a5+a15,即2b=a+a15,所以a15=2b-a. (2)若a3+a8=m,求a5+a6. 解：等差数列an中，a5+a6=a3+a8=m. (3)若a5=6,a8=15,求a14. 解：由等差数列an得a8=a5+(8-5)d,即15=6+3d,所以d=3. 从而a14=a5+(14-5)d=6+93=33. (4)已知a1+a2+a5=30,a6+a7+a10=80，求a11+a12+a15的值. 解：等差数列an中，因为6+6=11+1
12、,7+7=12+2, 所以2a6=a1+a11,2a7=a2+a12, 从而(a11+a12 +a15)+(a1+a2+a5)=2(a6+a7+a10), 因此有(a11+a12+a15)=2(a6+a7+a10)-(a1+a2+a5) =280-30=130. 2.让学生完成课本P45练习5. 教师对学生的完成情况作出小结与评价. 方法引导 此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质，因此，首先要熟练掌握等差数列的性质，其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围. 课堂小结 师 通过今天的学习，你学到了什么知识?有何体会？ 生 通过今天的学习,明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差
13、数列的通项公式及其性质. (让学生自己来总结，将所学的知识,结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合,培养学生的概括能力和语言表达能力) 布置作业 课本第45页习题2.2 A组第4、5题. 预习内容：课本P48P52. 预习提纲：等差数列的前n项和公式；等差数列前n项和的简单应用. 板书设计等差数列通项公式等差中项例题 在等差数列an中, 若m、n、p、qN*且m+n=p+q, 则am+an=ap+aq习题详解（课本第45页习题2.2） A组 1.(1)29(2)10(3)3(4)102.略3.60 4.2度、零下11度、零下37度. 5.(1)s=9.8t；(2)55
14、8厘米，5秒. B组 1.(1)从表中的数据来看，它基本上是一个等差数列，公差约为2 000，第2010年底的沙漠面积值约为26 000 hm2，再加上这地区原有的沙化面积9105 hm2，本小题答案为9.26105 hm2. (2)2021年底，这个地区的沙漠面积开始小于8105 hm2. 2.略.备课资料一、备用例题 【例1】 梯子最高一级宽33 cm，最低一级宽为110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度. 解：设an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知 a 1=33，a 12=110，n=12，所以a12=a1+(12-1)d，即得110
15、=33+11d，解之，得d=7. 因此a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61,a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103. 答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，47cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm， 82 cm，89 cm，96 cm，103 cm. 【例2】 已知成等差数列，求证：，也成等差数列. 证明：因为，成等差数列，所以，化简得2ac=b(a+c)，所以有 =. 因而也成等差数列. 【例3】 设数列an、bn都是等差数列，且a1=35，b1=75，a2+b2=100， 求数列an+bn的第37
16、项的值. 分析：由数列an、bn都是等差数列，可得an+bn是等差数列，故可求出数列an+bn的公差和通项. 解：设数列an、bn的公差分别为d1，d2，则(a n+1+bn+1)-(an+bn)=(a n+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2为常数，所以可得an+bn是等差数列.设其公差为d，则公差d=(a2+b2)-(a1+b1)=100-(35+75)=-10.因而a37+b37=110-10(37-1)=-250. 所以数列an+bn的第37项的值为-250. 点拨:若一个数列未告诉我们是等差数列时，应先由定义法判定它是等差数列后，方可使用通项公式an=a1+(n-1)d.但对客
17、观试题则可以直接运用某些重要结论，直接判定数列是否为等差数列. 【例4】 在美国广为流传的一道数学题目是“老板给你两个加工资的方案：一是每年年末加1 000美元；二是每半年结束时加300美元，请你选择一种加薪方式”.一般不擅长数学的人，很容易选择前者，因为一年加一千美元总比两个半年共加600美元要多.其实，由于加工资是累计的时间稍长，往往会发现第二种方案更有利.例如：在第二年的年末，依第一种方案共可以加得1 000+2 000=3 000美元；而第二种方案共可以加得300+600+900+1 200=3 000美元，但到了第三年，第一方案共可加得6 000美元，第二方案则共加得6 300美元，
18、显然多于第一种方案.第四年后会更多.因此，你若会在该公司干三年以上，则应选择第二方案. 根据以上材料，解答下列问题： (1)如果在该公司干十年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加薪多少美元？ (2)如果第二方案中的每半年加300美元改为每半年加a美元.问a取何值时，总是选择第二种方案比选择第一种方案多加薪？ 答案：(1)在该公司干10年，选择第二种方案比选项择第一种方案多加薪8 000美元. (2)当a大于时，总是第二方案加薪多于第一种方案. 【例5】 意大利的匹萨饼店的伙计们喜欢将饼切成形状各异的一块一块.他们发现，每一种确定的刀数，都可以有一个最多的块数.例如，切一刀最多切成2块，切2刀
19、最多切成4块，切3刀最多切成7块问切n刀，最多可切出几块? (要求学生发挥自己的聪明才智，课外认真思考，分清每一种确定的刀数，都可以有一个最多的块数，可先从少量的几刀去得出一些数据，再对数据加以分析，让学生学会归纳与总结，并能勇于联想、探索) 答案：. 二、阅读材料 一个古老的数学课题 等差数列是一个古老的数学课题.一个数列从第二项起，后项减去前项所得的差是一个相等的常数，则称此数列为等差数列. 在数学发展的早期已有许多人研究过数列这一课题，特别是等差数列.例如早在公元前2700年以前埃及数学的莱因特纸草书中，就记载着相关的问题.在巴比伦晚期的泥板文书中，也有按级递减分物的等差数列问题.其中有
20、一个问题大意是： 10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目.现知第八兄弟分得6两，问相邻两兄弟相差多少？ 在我国公元五世纪写成的张丘建算经中，透过五个具体例子，分别给出了求公差、总和、项数的一般步骤.比如书中第23题(用现代语叙述)： （1）有一女子不善织布，逐日所织布按数递减，已知第一日织5尺，最后一日织1尺，共织了30日，问共织布多少？ 这是一个已知首项(a 1)、末项(an)，以及项数(n)求总数(S n)的问题，对此，原书提出的解法是：总数等于首项加末项除2，乘以项数.它相当于现今代数里的求和公式：Sn=(a 1+a n).印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪也得出了这个公式，
21、并给出了求末项公式：an=a1+(n-1)d. （2）有一女子善于织布，逐日所织布按同数递增，已知第一日织5尺，经一月共织39丈，问每日比前一日增织多少？ 这是一个已知首项(a1)，总数(Sn)以及项数(n)，求公差(d)的问题，对此原书给出的解法是.等价于现在的求和公式：. 书中第1题：今有某人拿钱赠人，第一人给3元，第二人给4元，第三人给5元，其余依次递增分给.给完后把这些人所得的钱全部收回，再平均分配，结果每人得100元，问人数多少？ 这是一个已知首项(a1)，公差(d)以及n项的平均数(m)，求项数(n)的问题，对此原书给出的解法是. 我国自张邱建之后，对等差数列的计算日趋重视，特别是
22、在天文学和堆栈求积等问题的推动下，从对一般的等差数列的研究发展成为对高阶等差数列的研究.在北宋沈括(10311095)的梦溪笔谈中，“垛积术”就是第一个关于高级等差数列的求积法. 垛积术即“有限差分法”，我国古代用于天文历算和计算垛积. 垛积术也就是高阶等差级数求和.我国古代，对于一般等差数列和等比数列，很早就有了初步的研究成果. 九章算术中已经提出求等差数列各项以及已知首项、末项和项数求公差的问题，并用比例方法来解决. 公元5世纪末的张邱建算经给出了等差数列求和公式： S=n(a+1)与求公差的公式：. 南宋数学家杨辉，丰富和发展了沈括的成果，提出了诸如 S=12+22+32+n2= (n+1)(2n+1), S=1+3+6+10+ = n(n+1)(n+2) 之类的垛积公式. 北宋科学家沈括的长方台形垛积(如图)的求和公式： . 元朝数学家朱世杰在四元玉鉴和算学启蒙中得到一系列重要的高阶等差数列求和公式.朱世杰的垛积根差术，全面地推进了宋元数学家在这方面的研究工作.
