最新人教A版必修5新课标高中数学 222等差数列通项公式教学设计精品.docx
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最新人教A版必修5新课标高中数学222等差数列通项公式教学设计精品
2.2.2 等差数列通项公式
从容说课
本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念,进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式,并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质;让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数,那么这个数列必定是一个等差数列,使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题.
在学法上,引导学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑,
学会探究.在教学过程中,遵循学生的认知规律,充分调动学生的积极性,尽可能让学生经历知识的形成和发展过程,激发他们的学习兴趣,发挥他们的主观能动性及其在
教学过程中的主体地位,通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新知的创新意识.
通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点,通过等差数列的图象的应用,通过等差数列通项公式的运用,渗透方程思想,进一步渗透数形结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究,主动学习,提高学生学习积极性,也提高了课堂的教学效果.
教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.
教学难点等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.
教具准备多媒体及课件
三维目标
一、知识与技能
1.明确等差中项的概念;
2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,能通过通项公式与图象认识等差数列的性质;
3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题.
二、过程与方法
1.通过等差数列的图象的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过等差数列通项公式的运用,渗透方程思想;
2.发挥学生的主体作用,讲练相结合,作好探究性学习;
3.理论联系实际,激发学生的学习积极性.
三、情感态度与价值观
1.通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点;
2.通过体验等差数列的性质的奥秘,激发学生的学习兴趣.
教学过程
导入新课
师同学们,上一节课我们学习了等差数列的定义,等差数列的通项公式,哪位同学能回忆一下什么样的数列叫等差数列?
生我回答,一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,即an-an-1=d(n≥2,n∈N*),这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示).
师对,我再找同学说一说等差数列{an}的通项公式的内容是什么?
生1等差数列{an}的通项公式应是an=a1+(n-1)d.
生2等差数列{an}还有两种通项公式:
an=am+(n-m)d或an=pn+q(p、q是常数).
师好!
刚才两位同学说得很好,由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d的公式:
①d=an-an-1;②
;③
.你能理解与记忆它们吗?
生3公式②
与③
记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差).
[合作探究]
探究内容:
如果我们在数a与数b中间插入一个数A,使三个数a,A,b成等差数列,那么数A应满足什么样的条件呢?
师本题在这里要求的是什么?
生当然是要用a,b来表示数A.
师对,但你能根据什么知识求?
如何求?
谁能回答?
生由定义可得A-a=b-A,即
.
反之,若
,则A-a=b-A,
由此可以得
a,A,b成等差数列.
推进新课
我们来给出等差中项的概念:
若a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.
根据我们前面的探究不难发现,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除
外)都是它的前一项与后一项的等差中项.
如数列:
1,3,5,7,9,11,13…中5是3与7的等差中项,也是1和9的等差中项.
9是7和11的等差中项,也是5和13的等差中项.
[方法引导]
等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a,A,b成等差数列2A=a+b,以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a,A,b间的关系证得a,A,b成等差数列.
[合作探究]
师在等差数列{an}中,d为公差,若m,n,p,q∈N*且m+n=p+q,那么这些项与项之间有何种等量关系呢?
生我得到了一种关系am+an=ap+aq.
师能把你的发现过程说一下吗?
生受等差中项的启发,我发现a2+a4=a1+a5,a4+a6=a3+a7.
从而可得在一等差数列中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.
师你所得的这关系是归纳出来的,归纳有利于发现,这很好,但归纳不能算是证明!
我们是否可以对这归纳的结论加以证明呢?
生我能给出证明,只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a1,则
am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d,
ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d.
因为我们有m+n=p+q,所以上面两式的右边相等,所以am+an=ap+aq.
师好极了!
由此我们的一个重要结论得到了证明:
在等差数列{an}的各项中,与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和.另外,在等差数列中,若m+n=p+q,则上面两式的右边相等,所以am+an=ap+aq.
同样地,我们还有:
若m+n=2p,则am+an=2ap.这也是等差中项的内容.
师注意:
由am+an=ap+aq推不出m+n=p+q,同学们可举例说明吗?
生我举常数列就可以说明了.
师举得好!
这说明在等差数列中,am+an=ap+aq是m+n=p+q成立的必要不充分条件.
[例题剖析]
【例1
】在等差数列{an}中,若a1+a6=9,a4=7,求a3,a9.
师在等差数列中通常如何求一个数列的某项?
生1在通常情况下是先求其通项公式,再根据通项公式来求这一项.
生2而要求通项公式,必须知道这个数列中的至少一项和公差,或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差,这在前面已研究过了).
生3本题中,只已知一项和另一个双项关系式,想到从这双项关系式入手……
师好,我们下面来解,请一个同学来解一解,谁来解?
生4因为{an}是等差数列,所以a1+a6=a4+a3=9a3=9-a4=9-7=2,
所以可得d=a4-a3=7-2=5.
又因为a9=a4+(9-4)d=7
+5×5=32,所以我们求出了a3=2,a9=32.
【例2】(课本P44的例2) 某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4千米(不含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付多少元的车费?
师本题是一道实际应用题,它所涉及到的是什么知识方面的数学问题?
生这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决.
师为什么?
生根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4km时,每增加1km,乘客需要支付1.2元.所以,我们可以建立一个等差数列来进行计算车费.
师这个等差数列的首项和公差分别是多少?
生分别是11.2,1.2.
师好,大家计算一下本题的结果是多少?
生需要支付车费23.2元.
(教师按课本例题的解答示范格式)
评述:
本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用,做此题的目的是让大家学会从实际问题中抽象出等差数列的模型,用等差数列知识解决实际问题.
课堂练习
1.在等差数列{an}中,
(1)
若a5=a,a10=b,求a15.
解:
由等差数列{an}知2a10=a5+a15,即2b=a+a15,所以a15=2b-a.
(2)若a3+a8=m,求a5+a6.
解:
等差数列{an}中,a5+a6=a3+a8=m.
(3)若a5=6,a8=15,求a14.
解:
由等差数列{an}得a8=a5+(8-5)d,即15=6+3d,所以d=3.
从而a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33.
(4)已知a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15的值
.
解:
等差数列{an}中,因为6+6=11+1,7+7=12+2,……
所以2a6=a1+a11,2a7=a2+a12,……
从而(a11+a12+…+a15)+(a1+a2+…+a5)=2(a6+a7+…+a10),
因此有(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a
5)
=2×80-30=130.
2.让学生完成课本P45练习5.
教师对学生的完成情况作出小结与评
价.
[方法引导]
此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质,因此,首先要熟练掌握等差数列的性质,其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围.
课堂小结
师通过今天的学习,你学到了什么知识?
有何体会?
生通过今天的学习,明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质.
(让学生自己来总结,将所学的知识,结合获取知识的过程与方法,进行回顾与反思,从而达到三维目标的整合,培养学生的概括能力和语言表达能力)
布置作业
课本第45页习题2.2A组第4、5题.
预习内容:
课本P48~P52.
预习提纲:
①等差数列的前n项和公式;②等差数列前n项和的简单应用.
板书设计
等差数列通项公式
等差中项 例题
在等差数列{an}中,
若m、n、p、q∈N*且m+n=p+q,
则am+an=ap+aq
习题详解
(课本第45页
习题2.2)
A组
1.
(1)29
(2)10 (3)3 (4)10 2.略 3.60°
4.2度、零下11度、零下37度.
5.
(1)s=9.8t;
(2)558厘米,5秒.
B组
1.
(1)从表中的数据来看,它基本上是一个等差数列,公差约为2000,第2010年底的沙漠面积值约为26000hm2,再加上这地区原有的沙化面积9×105hm2,本小题答案为9.26×105hm2.
(2)2021年底,这个地区的沙漠面积开始小于8×105hm2.
2.略.
备课资料
一、备用例题
【例1】梯子最高一级宽33cm,最低一级宽为110cm,中间还有10级,各级的宽度成等差数列,计算中间各级的宽度.
解:
设{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列,由已知条件,可知
a1=33,a12=110,n=12,所以a12=a1+(12-1)d,即得110=33+11d,解之,得d=7.
因此a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61,a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103.
答:
梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm.
【例2】已知
成等差数列,求证:
,
,
也成等差数列.
证明:
因为
,
,
成等差数列,所以
,化简得2ac=b(a+c),所以有
=
.
因而
也成等差数列.
【例3】设数列{an}、{bn}都是等差数列,且a1=35,b1=75,a2+b2=100,
求数列{an+bn}的第37项的值.
分析:
由数列{an}、{bn}都是等差数列,可得{an+bn}是等差数列,故可求出数列{an+bn}的公差和通项.
解:
设数列{an}、{bn}的公差分别为d1,d2,则(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2为常数,所以可得{an+bn}是等差数列.设其公差为d,则公差d=(a2+b2)-(a1+b1)=100-(35+75)=-10.因而a37+b37=110-10×(37-1)=-250.
所以数列{an+bn}的第37项的值为-250.
点拨:
若一个数列未告诉我们是等差数列时,应先由定义法判定它是等差数列后,方可使用通项公式an=a1+(n-1)d.但对客观试题则可以直
接运用某些重要结论,直接判定数列是否为等差数列.
【例4】在美国广为流传的一道数学题目是“老板给你两个加工资的方案:
一是每年年末加1000美元;二是每半年结束时加300美元,请你选择一种加薪方式”.一般不擅长
数学的人,很容易选择前者,因为一年加一千美元总比两个半年共加600美元要多.其实,由于加工资是累计的时间稍长,往往会发现第二种方案更有利.例如:
在第二年的年末,依第一种方案共可以加得1000+2000=3000美元;而第二种方案共可以加得300+600+900+1200=3000美元,但到了第三年,第一方案共可加得6000美元,第二方案则共加得6300美元,显然多于第一种方案.第四年后会更多.因此,你若会在该公司干三年以上,则应选择第二方案.
根据以上材料,解答下列问题:
(1)如果在该公司干十年,问选择第二种方案比选择第一种方案多加薪多少美元?
(2)如果第二方案中的每半年加300美元改为每半年加a美元.问a取何值时,总是选择第二种方案比选择第一种方案多加薪?
答案:
(1)在该公司干10年,选择第二种方案比选项择第一种方案多加薪8000美元.
(2)当a大于
时,总是第二方案加薪多于第一种方案.
【例5】意大利的匹萨饼店的伙计们喜欢将饼切成形状各异的一块一块.他们发现,每一种确定的刀数,都可以有一个最多的块数.例
如,切一刀最多切成2块,切2刀最多切成4块,切3刀最多切成7块……问切n刀,最多可切出几块?
(要求学生发挥自己的聪明才智,课外认真思考,分清每一种确定的刀数,都可以有一个最多的块数,可先从少量的几刀去得出一些数据,再对数据加以分析,让学生学会归纳与总结,并能勇于联想、探索)
答案:
.
二、阅读材料
一个古老的数学课题
等差数列是一个古老的数学课题.一个数列从第二项起,后项减去前项所得的差是一个相等的常数,则称此数列为等差数列.
在数学发展的早期已有许多人研究过数列这一课题,特别是等差数列.例如早在公元前2700年以前埃及数学的《莱因特纸草书》中,就记载着相关的问题.在巴比伦晚期的《泥板文书》中,也有按级递减分物的等差数列问题.其中有一个问题大意是:
10个兄弟分100两银子,长兄最多,依次减少相同数目.现知第八兄弟分得6两,问相邻两兄弟相差多少?
在我国公元五世纪写成的《张丘建算经》中,透过五个具体例子,分别给出了求公差、总和、项数的一般步骤.比如书中第23题(用现代语叙述):
(1)有一女子不善织布,逐日所织布按数递减,已知第一日织5尺,最后一日织1尺,共织了30日,问共织布多少?
这是一个已
知首项(a1)、末项(an),以及项数(n)求总数(Sn)的问题,对此,原书提出的解法是:
总数等于首项加末项除2,乘以项数.它相当于现今代数里的求和公式:
Sn=(a1+an)·
.印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪也得出了这个公式,并给出了求末项公式:
an=a1+(n-1)d.
(2)有一女子善于织布,逐日所织布按同数递增,已知第一日织5尺,经一月共织39丈,问每日比前一日增织多少?
这是一个已知首项(a1),总数(Sn)以及项数(n),求公差(d)的问题,对此原书给出的解法是.
等价于现在的求和公式:
.
书中第1题:
今有某人拿钱赠人,第一人给3元,第二人给4元,第三人给5元,其余依次递增分给.给完后把这些人所得的钱全部收回,再平均分配,结果每人得100元,问人数多少?
这是一个已知首项(a1),公差(d)以及n项的平均数(m),求项数(n)的问题,对此原书给出的解法是
.
我国自张邱建之后,对等差数列的计算日趋重视,特别是在天文学和堆栈求积等问题的推动下,从对一般的等差数列的研究发展成为对高阶等差数列的研究.在北宋沈括(1031~1095)的《梦溪笔谈》中,“垛积术”就是第一个关于高级等差数列的求积法.
垛积术即“有限差分法”,我国古代用于天文历算和计算垛积.
垛积术也就是高阶等差级数求和.我国古代,对于一般等差数列和等比数列,很早就有了初步的研究成果.
《九章算术》中已经提出求等差数列各项以及已知首项、末项和项数求公差的
问题,并用比例方法来解决.
公元5世纪末的《张邱建算经》给出了等差数列求和公式:
S=
n(a+1)与求公差的公式:
.
南宋数学家杨辉,丰富和发展了沈括的成果,提出了诸如
S=12+22+32+…+n2=
(n+1)(2n+1),
S=1+3+6+10+…+
=
n(n+1)(n+2)
之类的垛积公式.
北宋科学家沈括的长方台形垛积(如图)的求和公式:
.
元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》和《算学启蒙》中得到一系列重要的高阶等差数列求和公式.朱世杰的垛积根差术,全面地推进了宋元数学家在这方面的研究工作.
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