1、反比例函数拓展题含答案11: （2007年浙江省初中数学竞赛）函数 y= 图象的大致形状是（ ）lxl13已知y与2x 3成反比例，且 x 时，y = 2，求y与x的函数关系式.43y的值都4.已知函数y = yi y2,且yi为x的反比例函数， y为x的正比例函数，且 x 和x = 1时,2是1.求y关于x的函数关系式.BC/ x 轴，AC/ y 轴,26.如图，A B是函数y 的图象上关于原点对称的任意两点,x ABC的面积记为 S,则（s=）.ACBD勺面积为()8.已知：如图，在平面直角坐标系 xOy中，Rt OCD勺一边0C在x轴上，/ C= 90，点D在第一象限,OC= 3，DC=
2、 4，反比例函数的图象经过 OD勺中点A.(1)求该反比例函数的解析式； 若该反比例函数的图象与 Rt OCD勺另一边交于点 B,求过A B两点的直线的解析式.9.如图，A B两点在函数 y (xx(1)求m的值及直线 AB的解析式； 如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点请直接写出图中阴影部分 (不包括边界)所含格点的个数.12.如图，已知点 A在反比例函数的图象上， ABLx轴于点B,点C(0 , 1)，若 ABC的面积是3,则反比例函数的解析式为 =2,则k的值是(14.如图，双曲线yk(k 0)经过矩形OABC勺边BC的中点E,交AB于点D。若梯形ODB(的面积为3,
3、x则双曲线的解析式为().k15如图，直线y = kx + b与反比例函数y (xv 0)的图象交于点 A, B,与x轴交于点C,其中点A的x16.如图，已知 A 4, n) , B(2 , - 4)是一次函数y = kx + b的图象和反比例函数y 的图象的两个交x占八、求反比例函数和一次函数的解析式； 求直线AB与x轴的交点C的坐标及厶AOB勺面积；(3)求方程kx b m 0的解(请直接写出答案);x(4)求不等式kx b - 0的解集(请直接写出答案)x(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式; 根据图象回答，在第一象限内，当 x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；Mm
4、n)是反比例函数图象上的一动点，其中 Ov m 0)的图象经过点 M求该x反比例函数的解析式，并通过计算判断点 N是否在该函数的图象上;(3)若反比例函数y m (x 0)的图象与厶MN有公共点，请直接 写出m的取值范围.x .反比例函数难题拓展二、填空题1.（2011浙江金华，16,4分）如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2,k0）, / AOG 60，点A在第一象限，过点A的双曲线为y= x，在x轴上取一点P,过点P作直线OA的垂线I，以直线I为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是 O B.（1）当点O与点A重合时，点P的坐标是 . k2.（2011广东东莞，6, 4分
5、）已知反比例函数y 的图象经过（1, 2）.则k .x【答案】243.（2011山东滨州，18, 4分）若点A（m, 2）在反比例函数y 的图像上，则当函数值yx 2时，自变量x的取值范围是 .【答案】x0k ,4.（2011四川南充市，14, 3分）过反比例函数y=-（k 0）图象上一点A,分别作x轴，yx轴的垂线，垂足分别为B,C，如果/ ABC的面积为3.则k的值为 .【答案】6或-6.一 一 25.(2011宁波市，18, 3分)如图，正方形AB1P1P2的顶点R、B在反比例函数y = - (x0)X的图像上，顶点A、Bi分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形 P2P3AB2，
6、顶点Pa在反比例函数y= 2 ( x 0)的图象上，顶点Aa在X轴的正半轴上，则点Pa的坐标为 入CtLO4 A 【答案】(；3+ 1，可一1)6.(2011浙江衢州，5,4分)在直角坐标系中，有如图所示的 Rt ABO,AB x轴于点B，斜3 k边AO 10, sin AOB ,反比例函数y - (x 0)的图像经过AO的中点C，且与AB交于5 x【答案】(8,弓237.(2011浙江绍兴，13, 5分)若点A(1y), B(2, y2)是双曲线y 上的点，贝Uxy1 y2 (填“ ”，“v” “ =”).【答案】8.(2011浙江丽水，16, 4分)如图，将一块直角三角板 OAB放在平面直
7、角坐标系中，B(2，k0)，/ AOG 60，点A在第一象限，过点A的双曲线为y=-，在x轴上取一点P,过点Px作直线OA的垂线I，以直线I为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是 O B.(1)当点O与点A重合时，点P的坐标是 .(2) 设P(t , 0)当O B与双曲线有交点时，t的取值范围是 一9.（2011湖南常德，5, 3分）如图1所示的曲线是一个反比例函数图象的一支，点 A在此3【答案】y 310.（2011江苏苏州，18,3分）如图，已知点 A的坐标为（品,3）, AB丄x轴，垂足为B, 连接0A反比例函数y=k （k0）的图象与线段OA AB分别交于点C D.若AB=3BD以点x
8、C为圆心，CA的5倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是 （填“相离”、411.（2011山东济宁，11，3分）反比例函数y 旦的图象在第一、三象限，则 m的取值x范围是 .【答案】X 12k12.（2011四川成都，25,4分）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y （k 0）满x足：当x 0时，y随x的增大而减小.若该反比例函数的图象与直线 y x . 3k都经过点P,且OP 员，则实数k= .【答案】7.313.（2011安徽芜湖，15, 5分）如图，在平面直角坐标系中有一正方形 AOBC反比例函数y k经过正方形AOBC寸角线的交点，半径为（4 2逅）的圆内切于 ABC则k的值
9、x为 第13题图【答案】414.（2011广东省，6, 4分）已知反比例函数y -的图象经过（1, 2）.则k .x【答案】215.（2011江苏南京，15,2分）设函数y -与y x 1的图象的交战坐标为（a, b），则-x a b的值为 .【答案】12k16.（2011上海，11, 4分）如果反比例函数y k （ k是常数，0）的图像经过点（一1,x2），那么这个函数的解析式是 .2【答案】y -x17.（2011湖北武汉市，16, 3分）如图， ABCD勺顶点A, B的坐标分别是A （ 1, 0）, B（0, 2）,顶点C, D在双曲线y=-上，边AD交y轴于点E,且四边形BCDE勺面积
10、是 ABEx面积的5倍，则k= .、 、 If18.（2011湖北黄冈，4, 3分）如图：点A在双曲线y 上，AB丄x轴于B,且 AOB勺面x【答案】419.（2011湖北黄石，15, 3分）若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=-的图象没有x公共点，则实数k的取值范围是 。【答案】kv-14120. （2011湖南常德，3, 3分）函数y 中自变量x的取值范围是 .x 3【答案】x 321.（2011湖南永州，7, 3分）若点R（1，m），P2 （2，n）在反比例函数y - （k 0）的图象x上，则 m n填“”、“v” 或“=”号）.【答案】vg22.（2011内蒙古乌兰察布，17,
11、 4分）函数y x（x 0） , y （x 0）的图象如图所示，x则结论： 两函数图象的交点A的坐标为（3 , 3 ）当x 3时，y % 当x 1时,BC = 8 当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小.其中正确结论的序号是 第17题图【答案】23.（2011广东中山，6,4分）已知反比例函数y k的图象经过（1,-2）.则k .x【答案】224.（2011湖北鄂州，4, 3分）如图：点A在双曲线y k 上, AB丄x轴于B,且 AOB的面x【答案】425.（2010湖北孝感，15, 3分）如图，点A在双曲线y 1上，点B在双曲线y - 上,x x且AB/ x轴，C、D
12、在x轴上，若四边形ABCD勺面积为矩形，则它的面积为 .D C【答案】2226.（2011湖北荆州，16, 4分）如图，双曲线y -（x 0）经过四边形OABC勺顶点A C,x/ ABC= 90, OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB/ x轴，将 ABC沿AC翻折后得到 ABC, B，点落在OA上，贝U四边形OABC勺面积是 .27.三、解答题1.(2011浙江省舟山，19, 6分)如图，已知直线y 2x经过点P ( 2 , a)，点P关于y轴的对称点P在反比例函数y k ( k 0)的图象上.x(1)求a的值；(2)直接写出点P的坐标;(3)求反比例函数的解析式.kx【答案】(1)将 P (
13、-2 , a)代入 y 2x得 a=-2X(-2)=4; P ( 2, 4)(3)将P(2, 4)代入y 得4=k，解得k=8,.反比例函数的解析式为y -.x 2 x2.(2011安徽，21, 12分)如图，函数y1 %x b的图象与函数y?临(x 0)的图象交x于A、B两点，与y轴交于C点，已知A点坐标为(2, 1) , C点坐标为(0, 3).(1)求函数y1的表达式和B点的坐标;(2)观察图象，比较当x 0时，y1与y的大小.【答案】（1）由题意，得2k, b b 3.1,解得ki3.1,又A点在函数y2电上，所以1邑，解得k2 2 ,X2yX3,X1 1Jx2 2解方程组2得yy1
14、2y2 1X所以点B的坐标为(1,2 ).(2)当 x=1 或 x=2 时,y1=y2；x 3；2所以y2 ;x当 1 v x v 2 时，yi y；当 Ovxv 1 或 x2 时，yv y2.3.（2011广东广州市，23, 12分）k在反比例函数y =-的X已知Rt ABC勺斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（ 1, 3）3图象上，且sin / BA（=-.5（1） 求k的值和边AC的长；（2） 求点B的坐标.k【答案】（1）把C （1，3）代入y =-得k=3X设斜边AB上的高为CD,则sin / BA(=CD3AC=5- C (1, 3)-CD=3 - - AC=5(2)分两种情况
15、，当点B在点A右侧时，如图1有:AD= 52 - 32=4, AO=4- 1=3/ ACS ABC AC=AD ABAC 2525 13ob=a-ao=5-3盲此时B点坐标为今,0)y/糧 y 1J,fl/kB 0D A x A 0D B /图1 图2当点B在点A左侧时，如图2此时A0=4仁525 50B= AB- AO亏5=；4 45此时B点坐标为(一4, 0)13 5所以点b的坐标为(,0)或(一4, 0)-4.-，其中一x(2011山东菏泽，17 (1), 7分)已知一次函数y x 2与反比例函数y次函数y x 2的图象经过点P( k , 5).试确定反比例函数的表达式;若点Q是上述一次
16、函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点 Q的坐标【答案】解：因一次函数y=x+ 2的图象经过点P（k, 5）,所以得5=k + 2,解得k=3所以反比例函数的表达式为y x 2(2)联立得方程组 3y -x解得故第三象限的交点Q的坐标为（一3, 1）5.（2011山东济宁，20, 7分）如图，正比例函数y lx的图象与反比例函数y k （k 0）在 2 x第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知OAM的面积为1.（1） 求反比例函数的解析式；（2） 如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点 B与点A不重合），且B点的横坐标为x1,在x轴上求一点P，使PA PB最小.【答
17、案】（1）设A点的坐标为（a , b ），则b -.二ab k.a,1 1 ab 1, k 1.二 k 2.2 2反比例函数的解析式为y -. x2y由x得x 2， A 为(2 , 1)1y 1.yx2设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2 , 1）令直线BC的解析式为y mx n . BC的解析式为y 3x 5. 6分当 y 0时，x 5. P 点为(5 , 0) 7 分3 36.(2011山东泰安，26 , 10分)如图，一次函数y=kix+b的图象经过A (0, -2 ), B( 1, 0)两点，与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为 M若厶OBM勺面积为2 x(1)求一次函
18、数和反比全例函数的表达式。(2)在x轴上存在点P,使AMLPM若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由【答案】(1)t 直线 y=k1X+b 过 A (0, -2 )，B (1, 0)b=-2 b=-2k1+b=0 k1=2一次函数的表达式为y=2x-2设M(m,n),作MDLx轴于点D1 2OB md=2苏=2 n=4所以反比例函数的表达式为12将 M (m, 4)代入 y=2x-2 得：4=2m2 n=3过点M( 3, 4)作ML AM交x轴于点P MDLBP / PMDHMBDMABO tan / PMD= tan/ MBD= tan/ ABO=OB=?=2PD在Rt PDM PD=2
19、MD=8 PO=OBPD=11在x轴上存在点P,使PML AM此时点P的坐标为（11, 0）7.（2011山东烟台，22,8分）如图，已知反比例函数y1勺（力0）与一次函数y k?x 1他0）x相交于A、B两点，ACL x轴于点C若厶OAO面积为1,且tan / AOC= 2 .请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数yi的值大于一次函数y2的J j/Td/I 0 (X值?【答案】解（1）在Rt OAC中，设OG= m tan / AOG AC = 2,OC AC= 2x OC= 2m1 1.S ZOAC= x OCX AC=丄 x mx2 1,2 22 丄 m= 1 1 （负值舍
20、去）. A点的坐标为（1, 2）.把A点的坐标代入y1色中，得xk1 = 2.反比例函数的表达式为y1 -x把A点的坐标代入y k2X 1中，得k2 + 1 = 2,k2 = 1.次函数的表达式y2 x 1.(2) B点的坐标为(一2, 1)当 Ovxv 1 和 xv 2 时，yy2.k8.(2011浙江省，18,8分)若反比例函数y k与一次函数y 2x 4的图象都经过点A( a,2 )x(1)求反比例函数yk-的解析式；x-的值大于一次函数x-x 过点 A (3,2 )ky _【答案】：y 2x 4的图象过点A (a,2 ) 求反比例函数 x与一次函数y 2x 4的图象的交点坐标，得到方程
21、:62x 4x 解得：X1= 3 , x 2= -1另外一个交点是(-1，-6)62x 4 .当 x-1 或 0x0)的图象经过点A(2，m)，过点A作AB丄x轴于点B,且 AOB勺面积为.(1)求k和m的值；k(2)点C( x, y)在反比例函数y= 的图象上，求当 K x 0时，y随x的增大而减小，x当 K x 3时，y的取值范围为1 y 1。3(3)由图象可得，线段PQ长度的最小值为2.2。10.(2011四川重庆，22, 10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y = kx + b(k工0)的图象与反比例函数y = m (mw0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C
22、x4点，点B的坐标为(6，n)，线段04 5，E为x轴负半轴上一点，且sin/ A0昌？5(1)求该反比例函数和一次函数;求厶AOC勺面积.41 1、J 4Jk - O/1【答案】 过A点作ADlx轴于点D,v sin / AO吕4, OA= 5,在 Rt ADC中sin / AO= AD =学 5, AD= 4, D8 _ OA2-DA2=3又点A在第二象限.点 A的坐标为(3, 4),将A的坐标为（一3, 4）代入y = m，得4=号二m= 12,二该反比例函数的解析式为yx -312T,12 12 一点B在反比例函数y = 一的图象上， n= = 2,点B的坐标为（6 , 2） ,，x 6一次函数y = kx + b（k工0）的图象过 A、B两点,点 C的坐标是（3，0）,二 OC= 3, 又 DA=41 1 SAAO& 2X OCX AD= 2X 3X 4= 6,所以 AOC勺面积为 6.
