1、概率公式大全docx第一章 随机事件和概率（ 1）排列 从 m 个人中挑出 n 个人 行排列的可能数。合公式从 m 个人中挑出 n 个人 行 合的可能数。加法原理（两种方法均能完成此事） ： m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种（ 2）加法和 方法来完成， 件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理乘法原理（两个步 分 不能完成 件事）： mn某件事由两个步 来完成，第一个步 可由m 种方法完成，第二个步 可由n 种方法来完成， 件事可由mn 种方法来完成。（ 3）一些常重复排列和非重复排列（有序） 立事件（至少有一个） 排列 序 （ 4）随机 如果一个
2、 在相同条件下可以重复 行，而每次 的可能 果不止一个，但在和 随 机 事 行一次 之前却不能断言它出 哪个 果， 称 种 随机 。件 的可能 果称 随机事件。在一个 下，不管事件有多少个， 可以从其中找出 一 事件，它具有如下性 ：每 行一次 ，必 生且只能 生 一 中的一个事件；任何事件，都是由 一 中的部分事件 成的。（ 5）基本事 一 事件中的每一个事件称 基本事件，用来表示。件、 本空 基本事件的全体，称 的 本空 ，用表示。和事件一个事件就是由 中的部分点（基本事件） 成的集合。通常用大写字母A，B，C， 表示事件，它 是的子集。 必然事件， ? 不可能事件。（6）事件的关系与运算
3、不可能事件（ ? ）的概率 零，而概率 零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（ ）的概率 1，而概率 1 的事件也不一定是必然事件。关系：如果事件 A 的 成部分也是事件B 的 成部分，（ A 生必有事件 B 生）：如果同 有 ， ， 称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B： A=B 。A 、B 中至少有一个 生的事件：A B，或者 A+B 。属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称 A 与 B 的差， A-B ，也可表示A-AB 或者 ，它表示 A 生而 B 不 生的事件。A 、B 同 生： A B ，或者 AB 。A B=? ， 表示 A 与 B 不可能同 生，称事件
4、A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A 称 事件 A 的逆事件，或称A 的 立事件， 。它表示 A 不 生的事件。互斥未必 立。运算： 合率： A(BC)=(AB)C A (B C)=(A B) C分配率： (AB) C=(A C) (B C) (A B) C=(AC) (BC)德摩根率： ， 本空 ， 事件， 每一个事件 都有一个 数 P(A) ，若 足下列三个条（ 7）概率的 件：公理化定 1 0 P(A)，12 P( )=13 于两两互不相容的事件， ， 有常称 可列（完全）可加性。 称 P(A) 事件 的概率。1，（ 8）古典概 2。型 任一事件 ，它是由 成的，
5、 有P(A)= =若随机 的 果 无限不可数并且每个 果出 的可能性均匀，同 本空 中（ 9）几何概 的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 称此随机 几何概型。型任一事件 A ，。其中 L 几何度量（ 度、面 、体 ） 。（10）加法公 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)式 当 P(AB) 0 ， P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公 P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A ， P(A-B)=P(A)-P(B)式当 A= ， P( )=1- P(B)定 A 、 B 是两个事件，且 P(A)0 ， 称 事件 A 生条件下，事件（12）条件概 的条件概率， 。率
6、条件概率是概率的一种，所有概率的性 都适合于条件概率。例如 P(/B)=1 P( /A)=1 -P(B/A)B 生乘法公式：（13）乘法公更一般地， 事件 A1 ， A2 ， An ，若 P(A1A2An -1)0 ， 有式 。两个事件的独立性 事件 、 足 ， 称事件 、 是相互独立的。若事件 、 相互独立，且 ， 有若事件 、 相互独立， 可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。必然事件 和不可能事件 ? 与任何事件都相互独立。（14）独立性 ? 与任何事件都互斥。多个事件的独立性ABC 是三个事件，如果 足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ；P(BC)=P(B)P(C) ；
7、 P(CA)=P(C)P(A)并且同 足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A 、 B、 C 相互独立。 于 n 个事件 似。 事件 足（15）全概公 1两两互不相容， ，2，式 有。（16） 叶斯 事件 ， ， ， 及 足公式 1， ， ， 两两互不相容， 0， 1， 2， ， ，2， ，i=1 ， 2，n。此公式即 叶斯公式。，（ ， ， ， ），通常叫先 概率。 ，（ ， ， ， ），通常称 后 概率。 叶斯公式反映了 “因果 ”的概率 律，并作出了 “由果朔因 ”的推断。我 作了 次 ，且 足u每次 只有两种可能 果， 生或 不 生；u次 是重复 行的，即 生的概率每次均一
8、；（17）伯努利 u每次 是独立的，即每次 生与否与其他次 生与否是互不影响的。概型重伯努利 。 种 称 伯努利概型，或称 用 表示每次 生的概率， 生的概率 ，用 表示 重伯努利 中出次的概率， 。第二章 随机 量及其分布（1）离散型 离散型随机 量的可能取 Xk(k=1,2,)且取各个 的概率，即事件随机 量的(X=Xk) 的概率 分布律P(X=xk)=pk ， k=1,2, ， 称上式 离散型随机 量的概率分布或分布律。有 也用分布列的形式 出：。 然分布律 足下列条件：（1），（2）。（2） 型是随机 量的分布函数，若存在非 函数， 任意 数 ，有随机 量的，分布密度 称 型随机 量。
9、称 的概率密度函数或密度函数， 称概率密度。密度函数具有下面4 个性 ：1 。2 。（3）离散与 型随机 分元 在 型随机 量理 中所起的作用与 在离散型随机 量理 中所起 量的关系 的作用相 似。（4）分布函 随机 量， 是任意 数， 函数数称 随机 量 X 的分布函数，本 上是一个累 函数。可以得到 X 落入区 的概率。分布函数 表示随机 量落入区 （的概率。分布函数具有如下性 ：1 ；2 是 不减的函数，即 ，有 ；3， ；4 ，即 是右 的；， x 内5 。对于离散型随机变量， ；对于连续型随机变量， 。（5）八大分 0-1 分布P(X=1)=p, P(X=0)=q布二项分布在 重贝努
10、里试验中，设事件发生的概率为。事件 发生的次数是随机变量，设为，则 可能取值为 。，其中，则称随机变量服从参数为， 的二项分布。记为。当 时， ， ，这就是（ 0-1）分布，所以（ 0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量的分布律为， ， ，则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者 P( )。泊松分布为二项分布的极限分布（np=， n）。超几何分布随机变量 X 服从参数为 n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M) 。几何分布，其中 p0， q=1-p 。随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为G(p) 。均匀分布设随机变量的值只落在 a，b内，其密度函数在 a，b上为常数，
11、即a xb其他，则称随机变量 在 a， b上服从均匀分布，记为 XU(a ， b)。分布函数为a xb0， xb。当 ax1x2b时， X 落在区间（ ）内的概率为。指数分布 ,0, ,其中 ，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。X的分布函数为,x0 。记住积分公式：正态分布设随机变量 的密度函数为， ，其中 、 为常数，则称随机变量高斯（ Gauss）分布，记为 。具有如下性质：1 的图形是关于 对称的；2 当 时， 为最大值；若 ，则 的分布函数为。服从参数为、 的正态分布或参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为， ，分布函数为。是不可求积函数，其函数值，已编
12、制成表可供查用。(-x) 1- (x)且 (0) 。如果 ，则 。（6）分位数 下分位表： ；上分位表： 。（7）函数分 离散型 已知 的分布列为布 ，的分布列（ 互不相等）如下：，若有某些 相等，则应将对应的 相加作为 的概率。连续型 先利用 X 的概率密度 fX(x) 写出 Y 的分布函数 FY(y) P(g(X) y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y) 。第三章 二维随机变量及其分布（1）联合分 离散型 如果二维随机向量 （ X ，Y ）的所有可能取值为至多可布 列个有序对（ x,y ），则称 为离散型随机量。设 =（ X ，Y ）的所有可能取值为 ，且事件 = 的概率pij
13、, 称=（ X ， Y ）的分布律或称 X 和 Y 的 合分布律。 合分布有 也用下面的概率分布表来表示：Yy1y2yjXx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1 里 pij 具有下面两个性 ：（1） pij 0（i,j=1,2, ）；（2） 型 于二 随机向量，如果存在非 函数，使 任意一个其分 平行于坐的矩形区域 D，即D=(X,Y)|axb,cyx1 ，有 F（ x2,y） F(x1,y);当 y2y1 ，有 F(x,y2)F(x,y1);（3） F（ x,y ）分 x 和 y 是右 的，即（4）（5） 于.（4）离散型与 型的关系（5） 分离散型 X 的 分布 布 ；Y的
14、 分布 。 型 X 的 分布密度 Y 的 分布密度 （6）条件分 离散型在已知X=xi的条件下，Y 取 的条件分布 布在已知Y=yj的条件下，X 取 的条件分布 型在已知Y=y的条件下，X 的条件分布密度 ；在已知X=x的条件下，Y 的条件分布密度 （7）独立性 一般型离散型F(X,Y)=FX(x)FY(y)有零不独立 型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离 量正概率密度区 矩形二 正 分布0随机 量的函数 若 X1,X2, Xm,Xm+1,Xn 相互独立， h,g 函数， ：h（X1 ，X2, Xm）和 g（ Xm+1, Xn ）相互独立。特例：若 X 与 Y 独立，
15、 ： h（X ）和 g（ Y）独立。例如：若 X 与 Y 独立， ： 3X+1 和 5Y-2 独立。（8）二 均 随机向量（ X ， Y ）的分布密度函数 匀分布其中 SD 区域 D 的面 ， 称（ X ，Y ）服从 D 上的均匀分布， （ X ，Y ）U（D）。例如 3.1、 3.2 和 3.3。y1D1O1x3.1yD211O2 x3.2yD3dcO ab x3.3（9）二 正 随机向量（ X ， Y ）的分布密度函数 分布其中 是 5 个参数， 称（ X ， Y）服从二 正 分布， （ X，Y） N（由 密度的 算公式， 可以推出二 正 分布的两个 分布仍 正 分布，即 XN（但是若 X
16、 N（ ， (X ， Y) 未必是二 正 分布。（ 10 ）函数 Z=X+Y根据定 算：分布 于 型， fZ(z) 两个独立的正 分布的和仍 正 分布（）。n 个相互独立的正 分布的 性 合，仍服从正 分布。，Z=max,min(X1,X2, Xn)若相互独立，其分布函数分，Z=max,min(X1,X2, Xn)的分布函数 ：分布n 个随机 量 相互独立，且服从 准正 分布，可以 明它 的平方和的分布密度 我 称随机 量W 服从自由度 n 的 分布， W ，其中所 自由度是指独立正 随机 量的个数，量分布中的一个重要参数。它是随机 分布 足可加性： t 分布X ，Y是两个相互独立的随机 量，
17、且可以 明函数的概率密度 我 称随机 量T 服从自由度 n 的 t分布， T t(n)。F 分布，且X 与Y 独立，可以 明的概率密度函数 我 称随机 量 F 服从第一个自由度 由度 n2 的 F 分布， F f(n1, n2).n1，第二个自第四章随机 量的数字特征（1）一离散型 型随机期望X 是离散型随机 量，其分布X 是 型随机 量，其概率密量 的期望就是平均 律 P( ) pk， k=1,2,n，度 f(x) ，数 字 特征（要求 收 ）（要求 收 ）函数的期望Y=g(X)Y=g(X)方差D(X)=EX-E(X)2， 准差，矩 于正整数 k，称随机 量 X 的 于正整数 k，称随机 量
18、 X 的 kk 次 的数学期望 X 的 k 原点 次 的数学期望 X 的 k 原点矩，矩， vk, 即vk, 即 k=E(Xk)= , k=1,2,. k=E(Xk)= 于正整数 k，称随机 量 X 与 k=1,2, .E（ X ）差的 k 次 的数学期望 于正整数 k，称随机 量 X 与 EX 的 k 中心矩， ，即（ X ）差的 k 次 的数学期望 X 的k 中心矩， ，即= ， k=1,2, .=k=1,2, .切比雪夫不等式 随机 量 X 具有数学期望 E（ X ） =，方差 D（ X ） =2， 于任意正数 ，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知X 的分布的情况下，对概率的
19、一种估计，它在理论上有重要意义。（2）期 （1）E(C)=C望的性（2）E(CX)=CE(X)质（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y) ，（4）E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件： X 和 Y 独立；充要条件： X 和 Y 不相关。（3）方 （1）D(C)=0 ； E(C)=C差的性（2）D(aX)=a2D(X) ； E(aX)=aE(X)质（3）D(aX+b)= a2D(X) ； E(aX+b)=aE(X)+b（4）D(X)=E(X2)-E2(X)（5）D(XY)=D(X)+D(Y) ，充分条件： X 和 Y 独立；充要条件： X 和 Y 不相关。D(XY)=D(X)+D(Y)2E(X
20、-E(X)(Y-E(Y) ，无条件成立。而 E(X+Y)=E(X)+E(Y) ，无条件成立。（4）常期望方差见 分 布0-1 分布p的期望二项分布np和方差 泊松分布几何分布超几何分布均匀分布指数分布正态分布n2nt 分布0(n2)（5）二 期望维 随 机变 量 的函数的期望数 字 特征方差协方差对于随机变量X 与 Y，称它们的二阶混合中心矩为 X与Y的协方差或相关矩，记为，即相关系数与记号 相对应，对于随机变量 XX 与与 Y 的方差 D（ X）与 D（ Y ）也可分别记为Y，如果 D （X ） 0, D(Y)0 ，则称与 。为 X 与Y 的相关系数，记作（有时可简记为）。| |1，当| |
21、=1 时，称X 与 Y完全相关：完全相关而当 ，称 X 与 Y 不相关。以下五个命 是等价的： ；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y). 方差矩 混合矩 于随机 量原点矩， X 与 Y ，如果有 存在， 称之 ；k+l 混合中心矩 ：X 与Y 的k+l 混合（6） (i)方 差 的 (ii)性 (iii)cov (X, Y)=cov (Y, X);cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）独 （i ） 若随机 量 X 与 Y 相互独立， ；反之不真。立 和 不（ii ） 若（
