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第一章随机事件和概率
(1)排列
从m个人中挑出n个人行排列的可能数。
合公式
从m个人中挑出n个人行合的可能数。
加法原理(两种方法均能完成此事):
m+n
某件事由两种方法来完成,第一种方法可由
m种方法完成,第二种方法可由
n种
(2)加法和方法来完成,件事可由
m+n种方法来完成。
乘法原理
乘法原理(两个步分不能完成件事)
:
m×n
某件事由两个步来完成,第一个步可由
m种方法完成,第二个步可由
n种
方法来完成,件事可由
m×n种方法来完成。
(3)一些常
重复排列和非重复排列(有序)
立事件(至少有一个)
排列
序
(4)随机如果一个在相同条件下可以重复行,
而每次的可能果不止一个,
但在
和随机事行一次之前却不能断言它出哪个果,称种随机。
件
的可能果称随机事件。
在一个下,不管事件有多少个,可以从其中找出一事件,它具有如下
性:
①每行一次,必生且只能生一中的一个事件;
②任何事件,都是由一中的部分事件成的。
(5)基本事一事件中的每一个事件称基本事件,用
来表示。
件、本空基本事件的全体,称的本空,用
表示。
和事件
一个事件就是由中的部分点(基本事件
)成的集合。
通常用大写字母
A,B,
C,⋯表示事件,它是
的子集。
必然事件,?
不可能事件。
(6)事件的关系与运算
不可能事件(?
)的概率零,而概率零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Ω)的概率1,而概率1的事件也不一定是必然事件。
①关系:
如果事件A的成部分也是事件
B的成部分,(A生必有事件B生):
如果同有,,称事件A与事件B等价,或称A等于B:
A=B。
A、B中至少有一个生的事件:
AB,或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称
A与B的差,A-B,也可表示
A-AB或者,它表示A生而B不生的事件。
A、B同生:
AB,或者AB。
AB=?
,表示A与B不可能同生,称事件
A与事件B互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
-A称事件A的逆事件,或称
A的立事件,
。
它表示A不生的事件。
互斥未必立。
②运算:
合率:
A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率:
(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率:
,
本空,事件,每一个事件都有一个数P(A),若足下列三个条(7)概率的件:
公理化定1°0≤P(A),≤1
2°P(Ω)=1
3°于两两互不相容的事件,,⋯有
常称可列(完全)可加性。
称P(A)事件的概率。
1°,
(8)古典概2°。
型
任一事件,它是由成的,有
P(A)==
若随机的果无限不可数并且每个果出的可能性均匀,
同本空中
(9)几何概的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,
称此随机几何概型。
型
任一事件A,
。
其中L几何度量(度、面、体)。
(10)加法公P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
式当P(AB)=0,P(A+B)=P(A)+P(B)
(11)减法公P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA,P(A-B)=P(A)-P(B)
式
当A=Ω,P()=1-P(B)
定A、B是两个事件,且P(A)>0,称事件A生条件下,事件
(12)条件概的条件概率,。
率条件概率是概率的一种,所有概率的性都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)
B生
乘法公式:
(13)乘法公
更一般地,事件A1,A2,⋯An,若P(A1A2⋯An-1)>0,有
式
⋯⋯⋯⋯。
①两个事件的独立性
事件、足,称事件、是相互独立的。
若事件、相互独立,且,有
若事件、相互独立,可得到与、与、与也都相互独立。
必然事件和不可能事件?
与任何事件都相互独立。
(14)独立性?
与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
ABC是三个事件,如果足两两独立的条件,
P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)
并且同足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
于n个事件似。
事件足
(15)全概公1°两两互不相容,,
2°,
式
有
。
(16)叶斯事件,,⋯,及足
公式1°,,⋯,两两互不相容,>0,1,2,⋯,,
2°,,
,i=1,2,⋯n。
此公式即叶斯公式。
,(,,⋯,),通常叫先概率。
,(,,⋯,),通常称后概率。
叶斯公式反映了“因果”的概率律,并作出了“由果朔因”的推断。
我作了次,且足
u
每次只有两种可能果,
生或不生;
u
次是重复行的,即
生的概率每次均一;
(17)伯努利u
每次是独立的,即每次
生与否与其他次
生与否是互不影
响的。
概型
重伯努利。
种称伯努利概型,或称
用表示每次
生的概率,
生的概率
,用表示重伯努利中
出
次的概率,
,。
第二章随机量及其分布
(1)离散型离散型随机量
的可能取Xk(k=1,2,
⋯)且取各个的概率,即事件
随机量的
(X=Xk)的概率
分布律
P(X=xk)=pk,k=1,2,⋯,
称上式离散型随机量
的概率分布或分布律。
有也用分布列的形式
出:
。
然分布律足下列条件:
(1),,
(2)。
(2)型是随机量
的分布函数,若存在非函数
,任意数,有
随机量的
,
分布密度
称型随机量。
称的概率密度函数或密度函数,称概率密度。
密度函数具有下面
4个性:
1°。
2°。
(3)离散与
型随机分元在型随机量理中所起的作用与在离散型随机量理中所起量的关系的作用相似。
(4)分布函随机量,是任意数,函数
数
称随机量X的分布函数,本上是一个累函数。
可以得到X落入区的概率。
分布函数表示随机量落入区(
的概率。
分布函数具有如下性:
1°;
2°是不减的函数,即,有;
3°,;
4°,即是右的;
–∞,x]内
5°。
对于离散型随机变量,;
对于连续型随机变量,。
(5)八大分0-1分布
P(X=1)=p,P(X=0)=q
布
二项分布
在重贝努里试验中,设事件
发生的概率为
。
事件发生的次数
是随机变量,设为
,则可能取值为。
,其中,
则称随机变量
服从参数为
,的二项分布。
记为
。
当时,,,这就是(0-1)分布,所以(0-1)分布是二项分布
的特例。
泊松分布
设随机变量
的分布律为
,,,
则称随机变量
服从参数为
的泊松分布,记为
或者P()。
泊松分布为二项分布的极限分布(
np=λ,n→∞)。
超几何分布
随机变量X服从参数为n,N,M
的超几何分布,记为
H(n,N,M)。
几何分布
,其中p≥0,q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布,记为
G(p)。
均匀分布
设随机变量
的值只落在[a,b]内,其密度函数
在[a,b]上为常数
,
即
a≤x≤b
其他,
则称随机变量在[a,b]上服从均匀分布,记为X~U(a,b)。
分布函数为
a≤x≤b
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