1、拓扑学复习题与参考答案点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题2分）1、 已知X a,b,c,d,e,下列集族中，（ ）是X上的拓扑1T X, ,a, a,b, a,c,e2T X, ,a,b,c, a,b,d, a,b,c,e3T X, ,a,a,b4T X, ,a, b,c,d, e2、 设X a,b,c，下列集族中,（ ）是X上的拓扑1T X, ,a, a,b,c T X, ,a, a,b, a,c T X, ,a,b,a,c T X, ,a, b, c3、 已知X a,b,c,d,下列集族中，（ ）是X上的拓扑 T X, ,a, a,b,a,c,d T X, ,a,b,c, a,b,d T
2、 X, ,a, b, a,c,d T X, ,a, b4、 设X a, b, c，下列集族中，（ ）是X上的拓扑 T X, ,b, c, a,b T X, ,a, b,a,b, a,c T X, ,a,b,a,c T X, ,a, b, c5、 已知X a,b,c,d,下列集族中，（ ）是X上的拓扑 T X, ,a,b,a,c,d T X, ,a,b, a,c,d T X, ,a, b, a,c,d T X, ,a, c, a,c6、 设X a,b,c，下列集族中，（ ）是X上的拓扑 T X, ,a, b, b,c T X, ,a,b, b,c T X, ,a,a,c T X, ,a, b,
3、c7、已知 X a,b,c,d，拓扑 T X, ,a,贝Ub=()Xa,b,c,dXb，拓扑T bb,c,d:()8已知XX, ,a,则b,c,b,c,dd=9、已知Xa,b，拓扑 TX,a,则面=()Xab10、已知Xa,b，拓扑 TX,a,则b=()Xab11、已知Xa,b,c,d，拓扑T X, ,a,则面=:()Xa,bb,c,d12、已知X a,b,c,d，拓扑TX,a,则=()Xa,cb,c, d13、设 X a,b,c,d，拓扑TX,a, b,c,d-,则X的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）123414、设Xa,b,c，拓扑 TX,a, b,c,则X的既开又闭的非空真子集的个数为
4、()123415、设Xa,b,c，拓扑 TX,b, b,c,则X的既开又闭的非空真子集的个数为()012316、设Xa,b，拓扑T X, ,b,则X的既开又闭的子集的个数为（ ）012317、设X a,b，拓扑T X, ,a, b,则X的既开又闭的子集的个数为（ ）11 2 3 418、设 X a,b,c，拓扑 TX, ,a, b, a,b, b,c,则X的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）11 2 3 419、 在实数空间中，有理数集Q的内部Q是（ ） Q R -Q R20、 在实数空间中，有理数集Q的边界（Q）是（ ） Q R -Q R21、 在实数空间中，整数集 Z22、 在实数空间中，
5、整数集 ZZ的内部Zo是（ ）R-Z RZ的边界（Z）是（ ）R-Z R23、在实数空间中，区间0,1）的边界是（） 0,10,1（0,1）24、在实数空间中，区间2,3）的边界是（） 2,32,3(2,3)25、在实数空间中，区间0,1）的内部是（） 0,10,1（0,1）26、设X是一个拓扑空间，A, B是X的子集,则下列关系中错误的是（ ） d（A B） d（A） d（B） AB A B d（A B） d（A） d（B） A A27、设X是一个拓扑空间，A, B是X的子集,则下列关系中正确的是（ ） d（A B） d（A） d（B） A B A B d(A B) d(A) d(B) A
6、A28、设X是一个拓扑空间，A, B是X的子集,则下列关系中正确的是（ d(A B)A B A B A B d(A B)d(A) d(B) d(d(A) A d(A)29、已知X是一个离散拓扑空间，A是X的子集，则下列结论中正确的是（） d(A) d(A) X A d(A) A d(A) X30、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集，则下列结论中不正确的是（）若A ,则 d(A)若 A x0,则 d(A) X A若A=xi,X2,则 d(A) X若A X ,则d(A) X31、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集，则下列结论中正确的是（）若A ,则d(A) 若A X。,则d(A) X若 A
7、=X1,X2,则 d(A) X A 若 A Xi,X2,则 d(A) A32、设 X a,b,c,d，令 B a, b, c, c, d,则由 B 产生的 X 上的拓扑是( )1 X , , c, d, c, d, a, b, c2 X, , c, d, c, d3 X, , c, a, b, c4 X , , d, b, c, b, d, b, c, d33、设X是至少含有两个元素的集合，PX, TGX| p G 是X的拓扑,则（）是T的基.B P, x| x X p B x|x XB P, x| x X B x|x Xp34、设 Xa,b,c,则下列X的拓扑中（)以S X, ,a为子基.X
8、 , , a, a, cX, aX , , a, b, a, b X ,35、离散空间的任一子集为（）开集 闭集 即开又闭 非开非闭36、 平庸空间的任一非空真子集为（）开集 闭集 即开又闭 非开非闭37、 实数空间R中的任一单点集是（）开集 闭集 既开又闭 非开非闭38、 实数空间R的子集A =1,丄，,-,则A =（）2 3 4 R AU 0 A39、 在实数空间R中，下列集合是闭集的是（ ）整数集 a,b 有理数集 无理数集40、 在实数空间R中，下列集合是开集的是（ ）整数集Z 有理数集 无理数集 整数集Z的补集Z41、 已知X 1,2,3上的拓扑T X, ,1,则点1的邻域个数是（
9、）1 2 3 442、 已知X a,b,则X上的所有可能的拓扑有（ ）1个 2个 3个 4个43、 已知X =a, b, c,则X上的含有4个元素的拓扑有（ ）个3 5 7 944、 设（X,T ）为拓扑空间，则下列叙述正确的为（） XT , T XT , T当T T时，U U T 当T T时，| U TU T U T45、 在实数下限拓扑空间R中，区间a,b）是（ ）开集闭集 既是开集又是闭集 非开非闭46、 设X是一个拓扑空间，A, B X ,且满足d（A） B A,则B是（ ）开集闭集 既是开集又是闭集 非开非闭47、 设 X 1,2,3, T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓
10、扑，A 1,2,则 X 的子空间 A的拓扑为（） T ,2, 1,2 T ,X,1,2, 1,2 T ,A,1,2 T ,X,1,248、 设 X 1,2,3, T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑，A 1,3,则 X 的子空间 A的拓扑为（）T ,X,1,3, 1,3T ,X,149、设X 1,2,3, T= ,X,1,2, 1,3,1,2是X的拓扑，A 2,3,则X的子空间A的拓扑为（）T ,3,2,3T ,A,2,3T ,X,2,3,2,3T ,X,350、设X 1,2,3, T= ,X,1,2, 1,3,1,2是X的拓扑，A 1,则X的子空间A的拓扑为（)T ,1T ,A,
11、1,2T ,X,1,3, 1,3T ,X,151、设 X 1,2,3, T= ,X,1,2,1,3,1,2是X的拓扑，A 2,则X的子空间A的拓扑为（)T ,2, 1,2T ,AT ,X,2T ,X,1,252、设 X 1,2,3, T= ,X,1,2,1,3,1,2是X的拓扑，A 3,则X的子空间A的拓扑为（)T ,2, 1,2T ,X,1,3T ,X,3T ,353、设R是实数空间，Z是整数集，则R的子空间Z的拓扑为（）T ,ZTP (Z)TZT-Z54、设X Xi X2 L X是拓扑空间Xi,X2丄，X6的积空间.R是X到的投射，则P 是（ ）单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开
12、映射55、设X Xi X2 L X6是拓扑空间Xi,X2,L ,X6的积空间 P2是X到X2的投射，则P2是（单射3满的连续闭映射2连续的单射4满的连续开映射56、设 X X1 X2 LX6是拓扑空间Xi,X2,L ,X6的积空间 P3是X到X3的投射,则F3是（单射满的连续闭映射连续的单射 满的连续开映射57、设 X X1 X2 LX6是拓扑空间Xi,X2,L ,X6的积空间 P4是X到X4的投射,则F4是（单射满的连续闭映射连续的单射 满的连续开映射58、设 X X1 X2 LX6是拓扑空间Xi,X2,L ,X6的积空间 P5是X到X5的投射,则F5是（单射满的连续闭映射连续的单射 满的连
13、续开映射59、设 X Xi X2 LX6是拓扑空间Xi,X2,L ,X6的积空间 P6是X到X6的投射,则F6是（单射3满的连续闭映射2连续的单射满的连续开映射60、设X1和X2是两个拓扑空间,XiX2是它们的积空间，A Xi ,B X2，则有（ ）(A B) A B(A B) (A) (B)62、有理数集Q是实数空间R的一个不连通子集开集整数集Z是实数空间R的一个（不连通子集开集无理数集是实数空间R的一个（不连通子集连通子集 以上都不对）连通子集 以上都不对）连通子集 以上都不对开集设丫为拓扑空间X的连通子集，Z为X的子集,若Y Z Y, 则Z为（）不连通子集 连通子集 闭集 开集设X1,X
14、2是平庸空间，则积空间Xi X2是（ ） 离散空间 不一定是平庸空间平庸空间 不连通空间设Xi,X2是离散空间，则积空间Xi X2是（ ）离散空间 不一定是离散空间平庸空间 连通空间设Xi,X2是连通空间，则积空间Xi X2是（ ）离散空间 不一定是连通空间平庸空间 连通空间实数空间R中的连通子集E为（）开区间 闭区间 区间 以上都不对实数空间R中的不少于两点的连通子集 E为（）开区间 闭区间区间以上都不对实数空间R中的连通子集E为（)开区间 闭区间区间区间或一点下列叙述中正确的个数为（)（I）单位圆周Si是连通的；()R 0是连通的2（rn） R （0,0）是连通的(W)2R和R同胚i 2
15、34实数空间R（ ）仅满足第一可数性公理仅满足第二可数性公理既满足第一又满足第二可数性公理以上都不对整数集Z作为实数空间R的子空间（)仅满足第一可数性公理仅满足第二可数性公理既满足第一又满足第二可数性公理以上都不对有理数集Q作为实数空间R的子空间（)仅满足第一可数性公理仅满足第二可数性公理既满足第一又满足第二可数性公理以上都不对无理数集作为实数空间R的子空间（)仅满足第一可数性公理仅满足第二可数性公理64、65、66、67、6&69、70、71、72、73、74、75、既满足第一又满足第二可数性公理以上都不对正整数集Z作为实数空间R的子空间仅满足第一可数性公理既满足第一又满足第二可数性公理负整
16、数集Z作为实数空间R的子空间仅满足第一可数性公理既满足第一又满足第二可数性公理2维欧氏间空间R2（ ）仅满足第一可数性公理既满足第一又满足第二可数性公理3维欧氏间空间R3（ ）仅满足第一可数性公理既满足第一又满足第二可数性公理 下列拓扑学的性质中，平庸性离散性下列拓扑学的性质中，第一可数性公理第二可数性公理下列拓扑学的性质中，第一可数性公理第二可数性公理下列拓扑学的性质中，平庸性离散性不具有可遗传性的是（不具有可遗传性的是（不具有可遗传性的是（仅满足第二可数性公理 以上都不对仅满足第二可数性公理 以上都不对仅满足第二可数性公理 以上都不对仅满足第二可数性公理 以上都不对）连通性第一可数性公理）
17、连通性平庸性可分性离散性 不具有可遗传性的是（设X是一个拓扑空间，若对于 x,y X,x可分性第二可数性公理y ,均有x y.76、77、7&79、80、81、82、83、84、85、86、87、则X是（）To空间 空间 T2空间以上都不对设 X 1,2，T X, ,1，则（X,T ）是（）To空间 Ti空间 T2空间以上都不对设 X 1,2，T X, ,2，则（X,T ）是（）To空间T1空间T2空间道路连通空间设 X 1,2,3，T X, ,1，则(X,T )是()To空间 Ti空间T2空间以上都不对88、 设 X 1,2,3 , T X, ,2 ,3，则（X,T）是（）To空间 Ti空间
18、 T2空间以上都不对89、 设 X 1,2,3 , T X, ,1,3，则（X,T）是（）To空间 Ti空间 T2空间以上都不对90、 设 X 1,2,3 , T X, ,1,2，则（X,T ）是（）To空间 T1空间T2空间以上都不对91、 设 X 1,2,3 , T X, ,1, 2, 1,2，贝U （X,T）是（）To空间 T1空间 T2空间以上都不对92、 设X是一个拓扑空间，若X的每一个单点集都是闭集，则X是（ ）正则空间 正规空间T1空间 T4空间93、 设X是一个拓扑空间，若X的每一个有限子集都是闭集，则X是（ ）正则空间 正规空间T1空间 T4空间94、 设X是一个拓扑空间，若
19、对 x X及x的每一个开邻域U，都存在x的一个开邻域 V ,使得V U ,则X是（ ）正则空间 正规空间T1空间 T4空间95、 设X是一个拓扑空间，若对X的任何一个闭集A及A的每一个开邻域U ,都存在A 的一个开邻域V,使得V U ,则X是（）正则空间 正规空间T1空间 T4空间96、 设 X 1,2,3 , T X, ,1,2 ,，则（X,T ）是（）To空间 T1空间 T2空间 正规空间97、 设 X 1,2,3 , T X, ,2, 1,3,则（X,T ）是（）To空间 T1空间 T2空间 正规空间98、设 X 1,2,3 , T X, ,3, 1,2，则(X,T)是()To空间 Ti
20、空间 T2空间 正则空间99、 设 X 1,2,3 , T X, ,1,2, 1,2，则（X,T ）是（）T2空间 正则空间 T4空间 正规空间100、 设 X 1,2,3 , T X, ,1,3, 1,3，贝U （X,T ）是（）T2空间 正则空间 T4空间 正规空间101、 设 X 1,2,3 , T X, ,2,3,2,3，则（X,T ）是（）T2空间 正则空间 T4空间 正规空间102、 若拓扑空间X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X是一个（）连通空间 道路连通空间 紧致空间 可分空间103、 紧致空间中的每一个闭子集都是（ ）连通子集 道路连通子集 紧致子集以上都不对1
21、04、 Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是（ ）连通子集 开集 闭集 以上都不对105、 紧致的Hausdorff空间中的紧致子集是（ ）连通子集 开集 闭集 以上都不对106、 拓扑空间X的任何一个有限子集都是（ ）连通子集 紧致子集 非紧致子集 开集107、 实数空间R的子集A 1,2,3是（ ）连通子集 紧致子集 开集 非紧致子集108、 实数空间R的子集A 1,2,3,4是（ ）连通子集 紧致子集 开集 非紧致子集109、 如果拓扑空间X的每个紧致子集都是闭集,则 X是（ ）T1空间 紧致空间 可数补空间 非紧致空间二、填空题（每题2分）1、 设 X a,b,贝U X 的平庸
22、拓扑为 ; 2、 设 X a,b,贝U X 的离散拓扑为 ; 3、 同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 4、 在实数空间R中,有理数集Q的导集是 .5、 x d（A）当且仅当对于x的每一邻域U有 ; 6、 设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d(A)= ;7、 设A是有限补空间X中的一个无限子集，贝U A= ;&设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d(A)= ;9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则 A= ;10、设 X为1,2,3,X的拓扑TJX,11、设 X为1,2,3,X的拓扑TJX,12、设 X为1,2,3,X的拓扑TJX,13、设 X为1,2,3,X的拓扑TJX,14、设
23、Xa,b, c,则X的平庸拓扑为15、设 Xa,b, c,则X的离散拓扑为16、设 X为1,2,3,X的拓扑TJX,17、设 X为1,2,3,X的拓扑TJX,2 ,2,3,1,2,3,1,2,3,2 ,2,3,2,3,2,3,1,3, 1,3的子集的子集的子集的子集,则X的子集A,则X的子集A1,21,31,21,31,31,2的内部的内部的内部的内部的内部的内部18、f : X Y是拓扑空间X到Y的一个映射，若它是个单射，并且是从 X到它的象集f(X)的一个同胚，则称映射f是一个 .19、f : X Y是拓扑空间X到丫的一个映射，如果它是一个满射，并且 丫的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个20、设X,Y是两个拓扑空间，f : XY是一个映射，若X中任何一个开集U的象集f(U )是丫中的一个开集，则称映射f是一个 21、设X,Y是两个拓扑空间，f : X Y是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集f(U )是丫中的一个闭集，贝U
