拓扑学复习题与参考答案.docx
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拓扑学复习题与参考答案
点集拓扑学练习题
一、单项选择题(每题2分)
1、已知X{a,b,c,d,e},下列集族中,()是X上的拓扑•
1T{X,,{a},{a,b},{a,c,e}}
2T{X,,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}}
3T{X,,{a},{a,b}}
4T{X,,{a},{b},{c},{d},{e}}
2、设X{a,b,c},下列集族中,()是X上的拓扑•
1T{X,,{a},{a,b},{c}}②T{X,,{a},{a,b},{a,c}}
③T{X,,{a},{b},{a,c}}④T{X,,{a},{b},{c}}
3、已知X{a,b,c,d},下列集族中,()是X上的拓扑•
①T{X,,{a},{a,b},{a,c,d}}②T{X,,{a,b,c},{a,b,d}}
③T{X,,{a},{b},{a,c,d}}④T{X,,{a},{b}}
4、设X{a,b,c},下列集族中,()是X上的拓扑•
①T{X,,{b},{c},{a,b}}②T{X,,{a},{b},{a,b},{a,c}}
③T{X,,{a},{b},{a,c}}④T{X,,{a},{b},{c}}
5、已知X{a,b,c,d},下列集族中,()是X上的拓扑•
①T{X,,{a,b},{a,c,d}}②T{X,,{a,b},{a,c,d}}
③T{X,,{a},{b},{a,c,d}}④T{X,,{a},{c},{a,c}}
6、设X{a,b,c},下列集族中,()是X上的拓扑•
①T{X,,{a},{b},{b,c}}②T{X,,{a,b},{b,c}}
③T{X,,{a},{a,c}}
④T{X,,{a},{b},{c}}
7、已知X{a,b,c,d},拓扑T{X,,{a}},贝U{b}=()
②X
{a,b,c,d}
②X
③{b}
,拓扑T{
③{b}
④{b,c,d}
:
()
8
已知X
①©
X,,{a}},则{b,c,
④{b,c,d}
d}=
9、
已知X
{a,b},拓扑T
{X,
{a}},则面=(
)
①©
②X
③
{a}
④{b}
10、
已知X
{a,b},拓扑T
{X,
{a}},则{b}=(
)
①©
②X
③
{a}
④{b}
11、
已知X
{a,b,c,d}
,拓扑T{X,,{a}},则面=
:
(
)
②X
③
{a,b}
④{b,c,d}
12
、已知X{a,b,c,d},拓扑
T
{X,
{a}},则
=(
)
②X
③
{a,c}
④{b,c,d}
13
、设X{a,b,c,d},拓扑
T
{X,
{a},{b,c,d}}
-,则X的既开又闭的非空真子集的个数为()
①1
②2
③3
④
4
14、
设X
{a,b,c},拓扑T
{X,
{a},{b,c}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为
(
)
①1
②2
③3
④
4
15、
设X
{a,b,c},拓扑T
{X,
{b},{b,c}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为
(
)
①0
②1
③2
④
3
16、
设X
{a,b},拓扑T{X,,{b}},则X的既开又闭的子集的个数为()
①0
②1
③2
④
3
17、设X{a,b},拓扑T{X,,{a},{b}},则X的既开又闭的子集的个数为()
11②2③3④4
18、设X{a,b,c},拓扑T
{X,,{a},{b},{a,b},{b,c}},则X的既开又闭的非空真子集
的个数为()
11②2③3④4
19、在实数空间中,有理数集Q的内部Q°是()
①②Q③R-Q④R
20、在实数空间中,有理数集Q的边界(Q)是()
①②Q③R-Q④R
21、在实数空间中,整数集
①②Z
22、在实数空间中,整数集
①②Z
Z的内部Zo是()
③R-Z④R
Z的边界(Z)是()
③R-Z④R
23、在实数空间中,区间
[0,1)的边界是(
)
①②[0,1]
③{0,1}
④(0,1)
24、在实数空间中,区间
[2,3)的边界是(
)
①②[2,3]
③{2,3}
④(2,3)
25、在实数空间中,区间
[0,1)的内部是(
)
①②[0,1]
③{0,1}
④(0,1)
26、设X是一个拓扑空间,A,B是X的子集,则下列关系中错误的是()
①d(AB)d(A)d(B)②A―BAB
③d(AB)d(A)d(B)④AA
27、设X是一个拓扑空间,A,B是X的子集,则下列关系中正确的是()
①d(AB)d(A)d(B)②ABAB
③d(AB)d(A)d(B)④AA
28、设X是一个拓扑空间,A,B是X的子集,则下列关系中正确的是(
①d(AB)
AB
②ABAB
③d(AB)
d(A)d(B)
④d(d(A))Ad(A)
29、已知X是一
'个离散拓扑空间,
A是X的子集,则下列结论中正确的是(
)
①d(A)
②d(A)XA
③d(A)A
④d(A)X
30、已知X是一
'个平庸拓扑空间,
A是X的子集,则下列结论中不正确的是(
)
①若A,
则d(A)
②若A{x0},则d(A)XA
③若A={xi
X2},则d(A)X
④若AX,则d(A)X
31、已知X是一
'个平庸拓扑空间,
A是X的子集,则下列结论中正确的是(
)
①若A,则d(A)②若A{X。
},则d(A)X
③若A={X1,X2},则d(A)XA④若A{Xi,X2},则d(A)A
32、设X{a,b,c,d},令B{{a,b,c},{c},{d}},则由B产生的X上的拓扑是()
1{X,,{c},{d},{c,d},{a,b,c}}
2{X,,{c},{d},{c,d}}
3{X,,{c},{a,b,c}}
4{X,,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}}
33、设X是至少含有两个元素的集合,
P
X,T
{G
X|pG}{}是X的拓扑,
则(
)是T的基.
①B
{{P,x}|xX{p}}②
B
{{x}|
xX}
③B
{{P,x}|xX}④
B
{{x}|
xX
{p}}
34、设X
{a,b,c},则下列X的拓扑中
(
)以S{X,,{a}}为子基.
①{
X,,{a},{a,c}}
②{
X,
{a}}
③{
X,,{a},{b},{a,b}}
④
{X,
}
35、离散空间的任一子集为()
①开集②闭集③即开又闭④非开非闭
36、平庸空间的任一非空真子集为()
①开集②闭集③即开又闭④非开非闭
37、实数空间R中的任一单点集是()
①开集②闭集③既开又闭④非开非闭
38、实数空间R的子集A={1,丄,〕,-,……},则A=()
234
①©②R③AU{0}④A
39、在实数空间R中,下列集合是闭集的是()
①整数集②a,b③有理数集④无理数集
40、在实数空间R中,下列集合是开集的是()
①整数集Z②有理数集
③无理数集④整数集Z的补集Z
41、已知X{1,2,3}上的拓扑T{X,,{1}},则点1的邻域个数是()
①1②2③3④4
42、已知X{a,b},则X上的所有可能的拓扑有()
①1个②2个③3个④4个
43、已知X={a,b,c},则X上的含有4个元素的拓扑有()个
①3②5③7④9
44、设(X,T)为拓扑空间,则下列叙述正确的为()
①XT,T②XT,T
③当TT时,UUT④当TT时,|UT
UTUT
45、在实数下限拓扑空间R中,区间[a,b)是()
①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭
46、设X是一个拓扑空间,A,BX,且满足d(A)BA,则B是()
①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭
47、设X{1,2,3},T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑,A{1,2},则X的子空间A
的拓扑为()
①T{,{2},{1,2}}②T{,X,{1},{2},{1,2}}
③T{,A,{1},{2}}④T{,X,{1},{2}}
48、设X{1,2,3},T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑,A{1,3},则X的子空间A
的拓扑为()
③T
{,X,{1},{3},{1,3}}
④T
{,X,{1}}
49、
设X{1,2,3},T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}
是X的拓扑,A{2,3},则X的子空间A
的拓扑为()
①T
{,{3},{2,3}}
②T
{,A,{2},{3}}
③T
{,X,{2},{3},{2,3}}
④T
{,X,{3}}
50、
设X{1,2,3},T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}
是X的拓扑,A{1},则X的子空间A的
拓扑为(
)
①T
{,{1}}
②T
{,A,{1,2}}
③T
{,X,{1},{3},{1,3}}
④T
{,X,{1}}
51、设X{1,2,3},T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}
是X的拓扑,A{2},则X的子空间A的
拓扑为(
)
①T
{,{2},{1,2}}
②T
{,A}
③T
{,X,{2}}
④T
{,X,{1,2}}
52、
设X{1,2,3},T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}
是X的拓扑,A{3},则X的子空间A的
拓扑为(
)
①T
{,{2},{1,2}}
②T
{,{X},{1,3}}
③T
{,X,{3}}
④T
{,{3}}
53、
设R是实数空间,Z是整数集,
则R的子空间Z的拓扑为()
①T
{,Z}
②T
P(Z)
③T
Z
④T
-{Z}
54、设XXiX2LX是拓扑空间Xi,X2丄,X6的积空间.R是X到的投射,则P是()
①单射②连续的单射
③满的连续闭映射④满的连续开映射
55、设XXiX2LX6是拓扑空间Xi,X2,L,X6的积空间•P2是X到X2的投射,则
P2是(
①单射
3满的连续闭映射
2连续的单射
4满的连续开映射
56、设XX1X2L
X6是拓扑空间Xi,X2,L,X6的积空间•P3是X到X3的投射,
则F3是(
①单射
③满的连续闭映射
连续的单射满的连续开映射
57、设XX1X2L
X6是拓扑空间
Xi,X2,L,X6的积空间•P4是X到X4的投射,
则F4是(
①单射
③满的连续闭映射
连续的单射满的连续开映射
58、设XX1X2L
X6是拓扑空间Xi,X2,L,X6的积空间•P5是X到X5的投射,
则F5是(
①单射
③满的连续闭映射
连续的单射满的连续开映射
59、设XXiX2L
X6是拓扑空间
Xi,X2,L,X6的积空间•P6是X到X6的投射,
则F6是(
①单射
3满的连续闭映射
2连续的单射
④满的连续开映射
60、设X1和X2是两个拓扑空间,
Xi
X2是它们的积空间,AXi,BX2,则有()
③(AB)°A°B°
④(AB)(A)(B)
62、
有理数集Q是实数空间R的一个
①不连通子集
③开集
整数集Z是实数空间R的一个(
①不连通子集
③开集
无理数集是实数空间R的一个(
①不连通子集
连通子集以上都不对
)
连通子集以上都不对
)
连通子集以上都不对
③开集
设丫为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,若YZY,则Z为()
①不连通子集②连通子集③闭集④开集
设X1,X2是平庸空间,则积空间XiX2是()
①离散空间②不一定是平庸空间
③平庸空间④不连通空间
设Xi,X2是离散空间,则积空间XiX2是()
①离散空间②不一定是离散空间
③平庸空间④连通空间
设Xi,X2是连通空间,则积空间XiX2是()
①离散空间②不一定是连通空间
③平庸空间④连通空间
实数空间R中的连通子集E为()
①开区间②闭区间③区间④以上都不对
实数空间R中的不少于两点的连通子集E为()
①开区间②闭区间
③
区间
④以上都不对
实数空间R中的连通子集E为(
)
①开区间②闭区间
③
区间
④区间或一点
下列叙述中正确的个数为(
)
(I)单位圆周Si是连通的;
(□)
R{0}是连通的
2
(rn)R{(0,0)}是连通的
(W)
2
R和R同胚
①i②2③3
④4
实数空间R()
①仅满足第一可数性公理
②
仅满足第二可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理
④
以上都不对
整数集Z作为实数空间R的子空间(
)
①仅满足第一可数性公理
②
仅满足第二可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理
④
以上都不对
有理数集Q作为实数空间R的子空间(
)
①仅满足第一可数性公理
②
仅满足第二可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理
④
以上都不对
无理数集作为实数空间R的子空间(
)
①仅满足第一可数性公理
②
仅满足第二可数性公理
64、
65、
66、
67、
6&
69、
70、
71、
72、
73、
74、
75、
③既满足第一又满足第二可数性公理
以上都不对
正整数集Z作为实数空间R的子空间
①仅满足第一可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理
负整数集Z作为实数空间R的子空间
①仅满足第一可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理
2维欧氏间空间R2()
①仅满足第一可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理
3维欧氏间空间R3()
①仅满足第一可数性公理
③既满足第一又满足第二可数性公理下列拓扑学的性质中,
①平庸性
③离散性
下列拓扑学的性质中,
①第一可数性公理
③第二可数性公理
下列拓扑学的性质中,
①第一可数性公理
③第二可数性公理
下列拓扑学的性质中,
①平庸性
③离散性
②
④
不具有可遗传性的是(
②
④
不具有可遗传性的是(
②
④
不具有可遗传性的是(
仅满足第二可数性公理以上都不对
仅满足第二可数性公理以上都不对
仅满足第二可数性公理以上都不对
仅满足第二可数性公理以上都不对
)
连通性
第一可数性公理
)
连通性
平庸性
②可分性
④离散性不具有可遗传性的是(
②
④
设X是一个拓扑空间,若对于x,yX,x
可分性
第二可数性公理
y,均有{x}{y}.
76、
77、
7&
79、
80、
81、
82、
83、
84、
85、
86、
87、
则X是()
①To空间②£空间③T2空间④以上都不对
设X{1,2},T{X,,{1}},则(X,T)是()
①To空间②Ti空间③T2空间④以上都不对
设X{1,2},T{X,,{2}},则(X,T)是()
①To空间
②T1空间③T2空间④道路连通空间
设X{1,2,3},T{X,,{1}},则(X,T)是()
①To空间②Ti空间③T2空间④以上都不对
88、设X{1,2,3},T{X,,{2,3}},则(X,T)是()
①To空间②Ti空间③T2空间④以上都不对
89、设X{1,2,3},T{X,,{1,3}},则(X,T)是()
①To空间②Ti空间③T2空间④以上都不对
90、设X{1,2,3},T{X,,{1,2}},则(X,T)是()
①To空间②T1空间③T2空间④以上都不对
91、设X{1,2,3},T{X,,{1},{2},{1,2}},贝U(X,T)是()
①To空间②T1空间③T2空间④以上都不对
92、设X是一个拓扑空间,若X的每一个单点集都是闭集,
则X是()
①正则空间②正规空间③T1空间④T4空间
93、设X是一个拓扑空间,若X的每一个有限子集都是闭集,
则X是()
①正则空间②正规空间③T1空间④T4空间
94、设X是一个拓扑空间,若对xX及x的每一个开邻域U,都存在x的一个开邻域V,使得VU,则X是()
①正则空间②正规空间③T1空间④T4空间
95、设X是一个拓扑空间,若对X的任何一个闭集A及A的每一个开邻域U,都存在A的一个开邻域V,使得VU,则X是()
①正则空间②正规空间③T1空间④T4空间
96、设X{1,2,3},T{X,,{1},{2,}},则(X,T)是()
①To空间②T1空间③T2空间④正规空间
97、设X{1,2,3},T{X,,{2},{1,3}},则(X,T)是()
①To空间②T1空间③T2空间④正规空间
98、设X{1,2,3},T{X,,{3},{1,2}},则(X,T)是()
①To空间②Ti空间③T2空间④正则空间
99、设X{1,2,3},T{X,,{1},{2},{1,2}},则(X,T)是()
①T2空间②正则空间③T4空间④正规空间
100、设X{1,2,3},T{X,,{1},{3},{1,3}},贝U(X,T)是()
①T2空间②正则空间③T4空间④正规空间
101、设X{1,2,3},T{X,,{2},{3},{2,3}},则(X,T)是()
①T2空间②正则空间③T4空间④正规空间
102、若拓扑空间X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X是一个()
①连通空间②道路连通空间③紧致空间④可分空间
103、紧致空间中的每一个闭子集都是()
①连通子集②道路连通子集③紧致子集④以上都不对
104、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是()
①连通子集②开集③闭集④以上都不对
105、紧致的Hausdorff空间中的紧致子集是()
①连通子集②开集③闭集④以上都不对
106、拓扑空间X的任何一个有限子集都是()
①连通子集②紧致子集③非紧致子集④开集
107、实数空间R的子集A{1,2,3}是()
①连通子集②紧致子集③开集④非紧致子集
108、实数空间R的子集A{1,2,3,4}是()
①连通子集②紧致子集③开集④非紧致子集
109、如果拓扑空间X的每个紧致子集都是闭集,则X是()
①T1空间②紧致空间③可数补空间④非紧致空间
二、填空题(每题2分)
1、设X{a,b},贝UX的平庸拓扑为;
2、设X{a,b},贝UX的离散拓扑为;
3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫;
4、在实数空间R中,有理数集Q的导集是.
5、xd(A)当且仅当对于x的每一邻域U有;
6、设A是有限补空间X中的一个无限子集,则d(A)=;
7、设A是有限补空间X中的一个无限子集,贝UA=;
&设A是可数补空间X中的一个不可数子集,则d(A)=;
9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集,则A=;
10、设X
为
{1,2,3}
X的拓扑T
J
{X,
11、设X
为
{1,2,3}
X的拓扑T
J
{X,
12、设X
为
{1,2,3}
X的拓扑T
J
{X,
13、设X
为
{1,2,3}
X的拓扑T
J
{X,
14、设X
{a,b,c},则X的平庸拓扑为
15、设X
{a,b,c},则X的离散拓扑为
16、设X
为
{1,2,3},
X的拓扑T
J
{X,
17、设X
为
{1,2,3},
X的拓扑T
J
{X,
{2},{2,3}}
{1},{2,3}}
{1},{2,3}}
{2},{2,3}}
{2},{3},{2,3}}
{1},{3},{1,3}}
的子集
的子集
的子集
的子集
则X的子集A
则X的子集A
{1,2}
{1,3}
{1,2}
{1,3}
{1,3}
{1,2}
的内部
的内部
的内部
的内部
的内部
的内部
18、f:
XY是拓扑空间X到Y的一个映射,若它是
个单射,并且是从X到它的象
集f(X)的一个同胚,则称映射f是一个.
19、f:
XY是拓扑空间X到丫的一个映射,如果它是一个满射,并且丫的拓扑是对
于映射f而言的商拓扑,则称f是一个
20、设X,Y是两个拓扑空间,f:
X
Y是一个映射,若X中任何一个开集U的象集
f(U)是丫中的一个开集,则称映射f是一个
21、设X,Y是两个拓扑空间,f:
XY是一个映射,若X中任何一个闭集U的象集
f(U)是丫中的一个闭集,贝U
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