1、大学生高等数学竞赛试题汇总及答案大学生高等数学竞赛试题汇总及答案 前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 20XX-20XX年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1计算=-+?y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x =+ ,，则v u y v x -=,，v u v u y x d d d d 1110det d d =? ? ?-=， ?
2、 -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -= 1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， 2设)(x f 是连续函数，且满足 ?-=2 22d )(3)(x x f x x f ,则=)(x f _. 解:令? = 20 d )(x x f ，则23)(2-= x x f ， x x 24)2(28d )23(20 2-=+-=-= ? , 解得34= 。因此3 103)(2 -=x x f 。 3曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是_. 解:因平面02
3、2=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面22 22 -+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),(),(0000-y x z y x z y x ，故)1),(),(0000-y x z y x z y x 与 )1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x =， 即1,200=y x ，又5)1,2(),(00=z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在 ),(,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=-+-z y x ，即曲面 22
4、22-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=-+z y x 。 4设函数)(x y y =由方程29ln ) (y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1f ，则 =2 2d d x y _. 解:方程29ln ) (y y f e xe =的两边对x 求导，得 因) (29ln y f y xe e =，故 y y y f x =+)(1 ，即)(1(1y f x y -= ，因此 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+，其中n 是给定的正整数. 解:因 故 因此 三、（15分）设函数)(x f 连续
5、，? =10 d )()(t xt f x g ，且 x x f x =) (lim ， 为常数，求)(x g 并讨论)(x g 在0=x 处的连续性. 解:由 x x f x =)(lim 和函数)(x f 连续知，0) (lim lim )(lim )0(000=x x f x x f f x x x 因? = 10 d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(10 = ? f t f g ， 因此，当0x 时，?=x u u f x x g 0 d )(1)(，故 当0x 时， x x f u u f x x g x ) (d )(1)(02+ -=?， 这表明)(x
6、g 在0=x 处连续. 四、（15分）已知平面区域0,0|),(=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1） ?-=-L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d ? -L y y x ye y xe . 证:因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知 （1）y x ye y xe x x ye y xe D x y L x y d d )()(d d sin sin sin sin ? ?-?-?=- 而D 关于x 和y 是对称的，即知 因此 （2）因 故 由
7、 知 即2sin sin 2 5 d d ? -L y y x ye y xe 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y -+=23是某二阶常系数线 性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 解设x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y -+=23是二阶常系数线性非齐次微 分方程 的三个解，则x x e e y y 212-=-和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程 的解，因此0=+cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-，而0=+cy y
8、 b y 的特征多项式是 因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-y y y ，由)(211 1 x f y y y =-和 x x x e xe e y 21 2+=，x x x e xe e y 2142+= 知， 111 2)(y y y x f -=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-+-+= 二阶常系数线性非齐次微分方程为 六、（10分）设抛物线c bx x y ln 22 +=过原点.当10x 时,0y ,又已知该抛物线 与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b ,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的
9、体积最小. 解因抛物线c bx x y ln 22 +=过原点，故1=c ，于是 即 而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即 令 0)1(27 8)21(3152)(=-+= V ， 得 即 因此 4 5 -= ,23=b ,1=c . 七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1=+=-n e x x u x u x n n n ,且n e u n = )1(,求函数项级数 =1 )(n n x u 之和. 解 x n n n e x x u x u 1)()(-+=， 即 由一阶线性非齐次微分方程公式知 即 因此 由 )1 ()1(n C e u n e n +=知
10、，0=C ， 于是 下面求级数的和： 令 则 即 由一阶线性非齐次微分方程公式知 令0=x ，得C S =)0(0，因此级数 =1 )(n n x u 的和 八、（10分）求- 1x 时,与 =0 2 n n x 等价的无穷大量. 解令 2 )(t x t f =，则因当10，求0 (1,2,)sx n I e x dx n -=?L 。 （4）设函数()f t 有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ? = ? ，求222 2g g x y ?+?。 （5）求直线10:0 x y l z -=? =?与直线2213 :421x y z l -= -的距离。 解：（1）2 2(1)(1
11、)(1)n n x =+L =2 2(1)(1)(1)(1)/(1)n n x =-+-L =2 22(1)(1)(1)/(1)n -+-L =L =1 2(1)/(1)n +- (2)2 2 211 ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x x x x x x x e e e x -+-?+= ? 令x=1/t,则 原式=2 1(ln(1) 1/(1)1 12(1) 22 lim lim lim t t t t t t t t t e e e e +-+- - += （3）00001120XX 011()()|(1)! sx n n sx n sx sx n
12、n sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s n n n n n n e x dx I I I s s s s s - -+=-=-= -=?L 二、（15分）设函数()f x 在(,)-+上具有二阶导数，并且 ()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x + - =-? =?所确定，其中()t 具有二阶导数，曲线()y t =与2 2 1 3 2t u y e du e -= + ? 在1t =出相切，求函数()t 。 解：（这儿少了一个条件22 d y dx =）由()y t =与2 2 1 3 2t u y e du e -
13、= + ? 在1t =出相切得 3(1)2e = ， 2(1)e = 22d y dx =3()(2(/)(/)/(22) 2)2()d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t =+-=。 上式可以得到一个微分方程，求解即可。 四、（15分）设1 0,n n n k k S = 证明： （1）当1 时，级数1n n n S + = 收敛； （2）当1且()n s n 时，级数1n n n S + = 发散。 解： （1）n 0,n s 单调递增 当 1n n =收敛时，1n n n s s Q 当1=时，22mx 4 ()15 I bc b = + 当1 =时，2
14、2min 4 ()15 I bc b c = + 六、(15分)设函数()x ?具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积 分 422()c xydx x dy x y ?+?的值为常数。 （1）设L 为正向闭曲线2 2 (2)1,x y -+=证明 422()0;c xydx x dy x y ?+=+? （2）求函数()x ?； （3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422()c xydx x dy x y ?+?。 解： （1） L 不绕原点，在L 上取两点 ，B ，将L 分为两段1L ，2L ，再从 ，B 作一曲线3L ，使 之包围原点。 则有 （2） 令4
15、242 2() ,xy x P Q x y x y ?= =+ 由（1）知 0Q P x y ?-=?，代入可得 上式将两边看做y 的多项式，整理得 由此可得 解得：2 ()x x ?=- （3） 取 L 为4 2 4 x y +=，方向为顺时针 20XX-20XX年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相 关题目，主要是一些各大高校的试题。） 一 计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分） （1）.求1 1cos 0sin lim x x x x -? ? ； 解：（用两个重要极限）： （2）.求 1 11lim
16、 .12n n n n n ?+ ?+? ?； 解：(用欧拉公式）令111 .12n x n n n n =+ + 其中，()1o 表示n 时的无穷小量， （3）已知()2ln 1rctn t t x e y t e ?=+? =-? ，求22d y dx 。 解：222222221211,121121t t t t t t t t t t t e dx e dy e dy e e e e dt e dt e dx e e -+=-=+ 二（本题10分）求方程()()2410x y dx x y dy +-+-=的通解。 解：设24,1P x y Q x y =+-=+-，则0Pdx Qdy
17、+= 1,P Q y x ?=?Q 0Pdx Qdy +=是一个全微分方程，设dz Pdx Qdy =+ ,P Q y x ?=?Q 该曲线积分与路径无关 三（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且 ()()()0,0,0f f f 均不为0，证明：存在唯一一组实数123,k k k ，使得 ()()()() 1232 230lim 0h k f h k f h k f h f h +-=。 证明：由极限的存在性：()()()()1230 lim 2300h k f h k f h k f h f +-=? 即 ()123100k k k f +-=，又()00f ，
18、1231k k k += 由洛比达法则得 由极限的存在性得()()() 1230 lim 22330h k f h k f h k f h ?+=? 即 ()()1232300k k k f +=，又()00f ，123230k k k += 再次使用洛比达法则得 123490k k k += 由得123,k k k 是齐次线性方程组1231231231 230490 k k k k k k k k k +=? +=?+=?的解 设1231111123,01490k x k b k ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?，则x b =， 增广矩阵* 111110XX3001XX900011
19、? ? ? ?=- ? ? ? ? ? :，则()(),3R b R = 所以，方程x b =有唯一解，即存在唯一一组实数123,k k k 满足题意， 且1 233,3,1k k k =-=。 四（本题17分）设222 1222:1x y z b c +=，其中0 b c ，2222:z x y =+，为1与2的交线，求椭球面1在上各点的切平面到原点距 离的最大值和最小值。 解：设上任一点(),M x y z ，令()222 222,1x y z F x y z b c =+-， 则222222,x y z x y z F F F b c =椭球面1在上点M 处的法向量为： 222,x y
20、z t b c ? = ? r 1在点M 处的切平面为： 原点到平面 的距离为d = ，令 ()222444,x y z G x y z b c =+则 d = 现在求()222444,x y z G x y z b c =+在条件222 2221x y z b c +=，222z x y =+下的条件极值， 令 ()()222 22222212444222,1x y z x y z H x y z x y z b c b c ?=+-+- ? 则由拉格朗日乘数法得： 124 212 421242222 22222222202220 2220XX 0x y z x x H x y y H y
21、b b z z H z c c x y z b c x y z ?=+=? ?=+=?=+-=? ?+-=?+-=? ， 解得2222 220x b c y z b c =?=?+? 或22 22220 c x z c y ?=?+? =?， 对应此时的()()442222,b c G x y z b c b c +=+或()()44 2222, c G x y z c c +=+ 此时的1d = 2d =又因为 0 b c ，则12d d 所以，椭球面1在 上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为： 2d = ，1d =五（本题16分）已知S 是空间曲线2231 x y z ?+=?=
22、?绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分 （0z ）取上侧，是S 在(),P x y z 点处的切平面，(),x y z 是原点到切平面 的距离， ,表示S 的正法向的方向余弦。计算： （1）(),S z dS x y z ?；（2）()3S z x y z dS +? 解：（1）由题意得：椭球面S 的方程为()2 22310x y z z += 令 22231,F x y z =+-则2,6,2x y z F x F y F z =， 切平面的法向量为(),3,n x y z =r ， 的方程为()()()30x X x y Y y z Z z -+-+-=， 原点到切平面 的距离( )222,
23、x y z = = 将一型曲面积分转化为二重积分得：记22:1,0,0xz D x z x z + (2) 方法一： = = = 六（本题12分）设f(x)是在 (),-+内的可微函数，且()()f x mf x 、，其中 01m ，任取实数0 ，定义()1ln ,1,2,.,n n f n -=证明： ()11 n n n -=-绝对收敛。 证明：()()112ln ln n n n n f f -=- 由拉格朗日中值定理得： ?介于12,n n -之间，使得 ()() ()112n n n n f f -=-，又()()f mf 、 得 ()() f m f 级数1 10 1 n n m
24、-=-收敛， 级数1 1 n n n -=-收敛，即 ()11 n n n -=-绝对 收敛。 七（本题15分）是否存在区间 0,2上的连续可微函数f(x)，满足()()021f f =， ()()2 01,1f x f x dx ?、 ？请说明理由。 解：假设存在，当0,1x 时，由拉格朗日中值定理得： 1?介于0，x 之间，使得()()()10,f x f f x =+， 同理，当1,2x 时，由拉格朗日中值定理得： 2?介于x ，2之间，使得()()()()222f x f f x =+- 即 ()()()()()121,0,1;12,1,2f x f x x f x f x x =+=+- ()11f x -Q 、， 显然， ()()2 0,0f x f x dx ? ()()()()()1 2 2 1 2 1 1 111133 x dx x dx f x dx x dx x dx -+-+-=?()2 1f x dx ?，又由题意得 ()()22 1,1f x dx f x dx =? 即 ()2 1f x dx =? ，() 1,0,11,1,2x x f x x x ?-?=?-? ()1f 不存在，又因为f(x)是在区间0,2上的连续可微函数，即()1f 存在，矛盾， 故，原假设不成立，所以，不存在满足题意的函数f(x)。
