大学生高等数学竞赛试题汇总及答案.docx
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大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
前三届高数竞赛预赛试题(非数学类)
(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看
一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。
)
20XX-20XX年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题(每小题5分)
1.计算=--++?
?
yxy
xxy
yxD
dd1)
1ln()(16/15,其中区域D由直线1=+yx与两坐标轴所围成三角形区域.
解:
令vxuyx==+
,则vuyvx-==,,vuvuyxdddd1110detdd=?
?
?
?
?
?
-=,
?
-=1
2
d1uu
u(*)令ut-=
1,则21tu-=
dt2dtu-=,42221ttu+-=,)1)(1()1(2tttuu+-=-,
2.设)(xf是连续函数,且满足
?
--=2
22d)(3)(xxfxxf,则=)(xf____________.
解:
令?
=
20
d)(xxf,则23)(2--=xxf,
xx24)2(28d)23(20
2-=+-=--=
?
解得34=
。
因此3
103)(2
-=xxf。
3.曲面22
22
-+=yxz平行平面022=-+zyx的切平面方程是__________.解:
因平面022=-+zyx的法向量为)1,2,2(-,而曲面22
22
-+=yxz在),(00yx处的法向量为)1),,(),,((0000-yxzyxzyx,故)1),,(),,((0000-yxzyxzyx与
)1,2,2(-平行,因此,由xzx=,yzy2=知0000002),(2,),(2yyxzxyxzyx====,
即1,200==yx,又5)1,2(),(00==zyxz,于是曲面022=-+zyx在
)),(,,(0000yxzyx处的切平面方程是0)5()1
(2)2(2=---+-zyx,即曲面
22
22-+=yxz平行平面
022=-+zyx的切平面方程是0122=--+zyx。
4.设函数)(xyy=由方程29ln)
(yyfexe
=确定,其中f具有二阶导数,且1≠'f,则
=2
2ddxy
________________.
解:
方程29ln)
(yyfexe
=的两边对x求导,得
因)
(29lnyfy
xe
e=,故
yyyfx
'=''+)(1
,即))(1(1yfxy'-=
',因此二、(5分)求极限x
e
nxxxxn
eee)(
lim20+++→Λ,其中n是给定的正整数.解:
因故因此
三、(15分)设函数)(xf连续,?
=10
d)()(txtfxg,且x
xfx=→)
(lim
,为常数,求)(xg'并讨论)(xg'在0=x
处的连续性.
解:
由xxfx=→)(lim
和函数)(xf连续知,0)
(limlim)(lim)0(000===→→→x
xfxxffxxx
因?
=
10
d)()(txtfxg,故0)0(d)0()0(10
===
?
ftf
g,
因此,当0≠x时,?
=x
uufxxg0
d)
(1)(,故
当0≠x时,
x
xfuufxxgx)
(d)
(1)(02+
-='?
,这表明)(xg'在0=x处连续.
四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=yxyxD,L为D的正向边界,试证:
(1)
?
?
-=---L
xyL
xy
xyeyxexyeyxe
ddddsinsinsinsin;
(2)2sinsin2
5
ddπ?
≥--L
yy
xyeyxe
.
证:
因被积函数的偏导数连续在D上连续,故由格林公式知
(1)yxyeyxexxyeyxeDxyLxydd)()(ddsinsinsinsin?
?
?
?
?
?
?
?
?
-?
?
-?
?
=---而D关于x和y是对称的,即知
因此
(2)因故由知即2sinsin2
5
ddπ?
≥--L
yy
xyeyxe
五、(10分)已知x
x
exey21+=,x
xe
xey-+=2,xx
xee
xey--+=23是某二阶常系数线
性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.
解设x
xexey21+=,x
xe
xey-+=2,xx
xee
xey--+=23是二阶常系数线性非齐次微
分方程
的三个解,则xx
ee
yy212-=--和xeyy-=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程
的解,因此0=+'+''cyyby的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ,而0=+'+''cyyby的特征多项式是
因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''yyy,由)(211
1
xfyyy=-'-''和xxxexeey21
2++=',xxxexeey2142++=''知,
111
2)(yyyxf-'-''=)
(2)2(42222xxxxxxxxexeeexeeexe+-++-++=二阶常系数线性非齐次微分方程为
六、(10分)设抛物线cbxxyln22
++=过原点.当10≤≤x时,0≥y,又已知该抛物线
与x轴及直线1=x所围图形的面积为3
1
.试确定cb,,,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
解因抛物线cbxxyln22
++=过原点,故1=c,于是即
而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积即令
0)1(27
8)21(3152)(=---+=
'Vπππ,得即因此
4
5
-=,23=b,1=c.
七、(15分)已知)(xun满足),2,1()()(1Λ=+='-nexxuxux
nnn
且n
e
un=
)1(,求函数项级数
∑∞
=1
)(nn
xu
之和.
解
xnnn
exxuxu1)()(-+=',即
由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此由
)1
()1(n
Ceunen+==知,0=C,于是
下面求级数的和:
令则即
由一阶线性非齐次微分方程公式知令0=x
,得CS==)0(0,因此级数∑∞
=1
)(nnxu的和
八、(10分)求-
→1x时,与
∑∞
=0
2
nnx等价的无穷大量.
解令
2
)(txtf=,则因当10,求0
(1,2,)sxnI
exdxn∞
-==?
L。
(4)设函数()ft
有二阶连续导数,1(,)rgxyfr?
?
==?
?
?
,求222
2ggxy?
?
+?
?
。
(5)求直线10:
0
xylz-=?
?
=?
与直线2213
:
421xyzl---==
--的距离。
解:
(1)2
2
(1)
(1)
(1)n
nx=+++L=2
2
(1)
(1)
(1)
(1)/
(1)n
nx=-+++-L
=2
22
(1)
(1)
(1)/
(1)n
-++-L=L=1
2
(1)/
(1)n+--
(2)2
2
211
ln
(1)ln
(1)1lim1limlimxxxexxxxx
xxxeeex-++--→∞→∞→∞?
?
+==?
?
?
令x=1/t,则
原式=2
1(ln
(1))
1/
(1)1
12
(1)
22
limlimlimttttt
t
ttte
e
e
e+-+--
-
+→→→===
(3)00001120XX
011()()[|]
(1)!
!
sxnnsxnsxsxnnsxnnnnnIexdxxdexeedxss
nnnnnnexdxIIIsssss
∞∞∞---∞
-∞----+==-=--=
-=====?
?
?
?
L
二、(15分)设函数()fx在(,)-∞+∞上具有二阶导数,并且
()0,lim()0,lim()0,xxfxfxfxαβ→+∞
→-∞
''''>=>=-?
=?
所确定,其中()tψ具有二阶导数,曲线()ytψ=与2
2
1
3
2tuyedue
-=
+
?
在1t=出相切,求函数()tψ。
解:
(这儿少了一个条件22
dy
dx
=)由()ytψ=与2
2
1
3
2tuyedue
-=
+
?
在1t=出相切得3
(1)2eψ=
,'
2
(1)e
ψ=22dydx='3''()(2(/)(/)//(22)
2)2()ddydxddydxdtdxdxdtttttψψ==++-=。
。
。
上式可以得到一个微分方程,求解即可。
四、(15分)设1
0,,n
nnkkS=>=
∑证明:
(1)当1α
>时,级数1n
nn
Sα
+∞
=∑
收敛;
(2)当1α≤且()nsn→∞→∞时,级数1n
nn
Sα+∞
=∑
发散。
解:
(1)n>0,ns单调递增
当
1nn∞
=∑收敛时,1nnnssααQ
∴当1γ=时,22mx4
()15
Ibcbπ=
+当1α
=时,22min4
()15
Ibcbcπ=
+六、(15分)设函数()x?
具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上,曲线积
分
422()c
xydxxdy
xy?
++?
?
的值为常数。
(1)设L为正向闭曲线2
2
(2)1,xy-+=证明
422()0;c
xydxxdy
xy?
+=+?
?
(2)求函数()x?
;
(3)设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求422()c
xydxxdyxy?
++?
?
。
解:
(1)L不绕原点,在L上取两点,B,将L分为两段1L,2L,再从,B作一曲线3L,使
之包围原点。
则有
(2)令4242
2()
xyxPQxyxy
?
=
=++由
(1)知
0QPxy
?
?
-=?
?
,代入可得上式将两边看做y的多项式,整理得由此可得
解得:
2
()xx?
=-
(3)取'
L为4
2
4
xyξ+=,方向为顺时针
20XX-20XX年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相
关题目,主要是一些各大高校的试题。
)
一.计算下列各题(本题共3小题,每小题各5分,共15分)
(1).求1
1cos0sinlimx
xxx-→?
?
?
?
?
;
解:
(用两个重要极限):
(2).求
1
11lim...12nnnnn→∞?
?
+++?
+++?
?
;解:
(用欧拉公式)令111
...12nxnnnn
=+++
+++其中,()1o表示n→∞时的无穷小量,
(3)已知()2ln1rctnt
t
xeyte?
=+?
?
=-?
?
,求22dy
dx
。
解:
222222221211,121121t
ttttttttt
t
edxedyedyeeeedtedtedxee--++==-∴==+++二.(本题10分)求方程()()2410xydxxydy+-++-=的通解。
解:
设24,1P
xyQxy=+-=+-,则0PdxQdy+=
1,PQyx?
?
==∴?
?
Q0PdxQdy+=是一个全微分方程,设dzPdxQdy=+
PQyx
?
?
=∴?
?
Q该曲线积分与路径无关
三.(本题15分)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且
()()()'"0,0,0fff均不为0,证明:
存在唯一一组实数123,,kkk,使得
()()()()
1232
230lim
0hkfhkfhkfhfh
→++-=。
证明:
由极限的存在性:
()()()()1230
lim2300hkfhkfhkfhf→++-=?
?
?
?
即
[]()123100kkkf++-=,又()00f≠,1231kkk∴++=①
由洛比达法则得由极限的存在性得()()()'''
1230
lim22330hkfhkfhkfh→?
?
++=?
?
即
()()'1232300kkkf++=,又()'00f≠,123230kkk∴++=②
再次使用洛比达法则得
123490kkk∴++=③
由①②③得123,,kkk是齐次线性方程组1231231231
230490
kkkkkkkkk++=?
?
++=?
?
++=?
的解
设1231111123,,01490kxkbk?
?
?
?
?
?
?
?
?
===?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,则xb=,增广矩阵*
111110XX3001XX900011?
?
?
?
?
?
=-?
?
?
?
?
?
?
?
:
,则()(),3RbR==
所以,方程xb=有唯一解,即存在唯一一组实数123,,kkk满足题意,
且1
233,3,1kkk==-=。
四.(本题17分)设222
1222:
1xyzbc
∑++=,其中0bc>>>,2222:
zxy∑=+,Γ为1∑与2∑的交线,求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距
离的最大值和最小值。
解:
设Γ上任一点(),,Mxyz,令()222
222,,1xyzFxyzbc
=++-,
则'''222222,,,x
yzxyzFFFbc===∴椭球面1∑在Γ上点M处的法向量为:
222,,,xyztbc?
?
=∴?
?
?
r1∑在点M处的切平面为∏:
原点到平面
∏
的距离为d=
,令
()222444,,,xyzGxyzbc=++则
d=
现在求()222444,,,xyzGxyzbc=++在条件222
2221xyzbc
++=,222zxy=+下的条件极值,
令
()()222
22222212444222,,1xyzxyzHxyzxyzbcbcλλ?
?
=+++++-++-?
?
?
则由拉格朗日乘数法得:
'124
2'12
42'1242222
22222222202220
2220XX
0xyzxxHx
yyHybbz
zHzccxyz
bcxyzλλλλλλ?
=++=?
?
?
=++=?
?
?
=+-=?
?
?
++-=?
?
?
+-=?
?
,
解得2222
220xbcyzbc=?
?
?
==?
+?
或22
22220cxzcy?
==?
+?
?
=?
,对应此时的()()442222,,bcGxyzbcbc+=+或()()44
2222,,cGxyzcc+=+
此时的1d=
2d=又因为
0bc>>>,则12dd<
所以,椭球面1∑在
Γ
上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为:
2d=
,1d=五.(本题16分)已知S是空间曲线2231
xyz?
+=?
=?
绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分
(0z
≥)取上侧,∏是S在(),,Pxyz点处的切平面,(),,xyzρ是原点到切平面∏
的距离,
,λμν表示S的正法向的方向余弦。
计算:
(1)(),,S
z
dSxyzρ?
?
;
(2)()3SzxyzdSλμν++?
?
解:
(1)由题意得:
椭球面S的方程为()2
22310xyzz++=≥
令
22231,Fxyz=++-则'''2,6,2xyzFxFyFz===,
切平面∏的法向量为(),3,nxyz=r
,
∏的方程为()()()30xXxyYyzZz-+-+-=,
原点到切平面
∏的距离(
)222,,xyzρ=
=
将一型曲面积分转化为二重积分得:
记22:
1,0,0xzDxzxz+≤≥≥
(2)
方法一:
λμν=
=
=
六.(本题12分)设f(x)是在
(),-∞+∞内的可微函数,且()()fxmfx<、,其中
01m<<,任取实数0,定义()1ln,1,2,...,nnfn-==证明:
()11
n
nn
∞
-=-∑绝对收敛。
证明:
()()112lnlnn
nnnff----=-
由拉格朗日中值定理得:
ξ?
介于12,nn--之间,使得
()()
()'112nnnnffξξ---∴-=-,又()()fmfξξ<、
得
()()
'fmfξξ<
∴级数1
10
1
nnm
∞
-=-∑收敛,
∴级数1
1
nnn∞
-=-∑收敛,即
()11
n
nn
∞
-=-∑绝对
收敛。
七.(本题15分)是否存在区间
[]0,2上的连续可微函数f(x),满足()()021ff==,
()()2
01,1f
xfxdx≤≤?
、
?
请说明理由。
解:
假设存在,当[]0,1x∈
时,由拉格朗日中值定理得:
1ξ?
介于0,x之间,使得()()()'10,fxffxξ=+,同理,当[]1,2x∈时,由拉格朗日中值定理得:
2ξ?
介于x,2之间,使得()()()()'222fxffxξ=+-
即
()()[]()()()[]''121,0,1;12,1,2fxfxxfxfxxξξ=+∈=+-∈
()11fx-≤≤Q、,
显然,
()()2
0,0fxfxdx≥≥?
()()()()()1
2
2
1
2
1
1
111133
xdxxdxfxdxxdxxdx≤-+-≤≤++-=?
?
?
?
?
()2
1fxdx∴≥?
,又由题意得
()()22
1,1fxdxfxdx≤∴=?
?
即
()2
1fxdx=?
,()[][]
1,0,11,1,2xxfxxx?
-∈?
∴=?
-∈?
?
()'1f∴不存在,又因为f(x)是在区间[]0,2上的连续可微函数,即()'1f存在,矛盾,
故,原假设不成立,所以,不存在满足题意的函数f(x)。
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