1、人教版八年级数学上册教案课题学习最短路径问题课题学习 最短路径问题最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节课以数学史中的两个经典问题“将军饮马问题”“造桥选址”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称平移等变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.【
2、知识与能力目标】1.会利用轴对称解决简单的最短路径问题;2.会利用轴对称解决简单的周长最小问题;3.熟练应用轴对称变换知识，提高解决实际问题的能力；4.学会利用平移变换知识解决造桥选址的最短路径问题；5.体会轴对称变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想【过程与方法目标】经历观察、实验、猜想等数学活动发展合情推理能力能有条理地、清晰地阐述自己的观点, 初步学会从数学的角度提出问题、理解问题并能应用所学知识解决问题；学会与他人合作并能与他人交流思维的过程和结果.问题情境组织数学活动引导自主、合作学习实践活动、探索新知问题解决【情感态度价值观目标】积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数
3、学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心【教学重点】1利用轴对称知识将最短路径问题的实际问题转化为“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”的问题.2利用平移将“造桥选址”的实际问题转化为“两点之间，线段最短”问题【教学难点】1.如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.2如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题 一、课前设计1预习任务前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中， ”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， ”等的问题，我们称它们为 问题【答案】线段最短，垂线段最短，最短路径2预习自测如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走 路最近.你的理由是
4、 . 【设计意图】让学生回顾旧知“两点之间，线段最短”，为引入新课作准备.【知识点】两点之间、线段最短【答案】，两点之间，线段最短（或者三角形中两边之和大于第三边）已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小.【知识点】两点之间线段最短【思路点拨】依据“两点(直线异侧)一线型”，和 “两点之间，线段最短”，则 AP+PB的最小值为线段AB的值.【解题过程】连接AB交于直线l于点P，则点P就是所求的点. 【答案】 如图，则点P就是所求的点.如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？【知识点】两点之间线段最短【
5、思路点拨】将A、B两镇抽象为两个点，将燃气管道l抽象为一条直线类比预习自测（1），根据 “两点之间，线段最短”，连接AB即可. 【解题过程】连接AB，线段AB与直线l交于点P，则点P就是所求的点.【答案】泵站修在管道的点P处时，可使所用的输气管线最短. 如图，A，B在直线l的同侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小，则点P可能的个数为（ ）个A. 3 B. 2 C. 1 D.0【知识点】两点之间线段最短、轴对称的性质【思路点拨】将“A，B在直线l的同侧”利用轴对称转化为“A，B在直线l的异侧”， 又根据“两点之间线段最短”可得出只有唯一的点P.【答案】C【设计意图】通过完成预习自测让学生进一步
6、感受“两点之间，线段最短”，为新课中“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫二、课堂设计1.知识回顾两点的所有连线中，线段最短；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；三角形三边的数量关系：三角形中两边之和大于第三边.2.问题探究 实际问题转化为数学问题探究一 “两点一线”的最短路径问题今天我们借助“轴对称的知识”和“两点之间线段最短”一起来解决生活中的“最短路径问题”.活动创设情境，引入新知师：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：问题1. 如图，A为马厩，B为帐篷.某一天牧马人要从马厩A出发，牵出马到
7、一条笔直的河边l 饮马，然后蹚水过河，回到对岸的帐篷B牧马人到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用几何知识回答了这个问题.你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 【知识点】两点之间线段最短【解题过程】连接AB，线段AB与直线l交于点C， 到河边l的C处饮马可使马所走的路线全程最短.【思路点拨】将A，B两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线，则AC+BC的最小值为线段AB的值.此情况可简称为“两点(直线异侧)一线型” . 【答案】如图，则点C就是所求点，即在河边l的C处饮马可使他所走的路线全程最短点:活动整合旧知，探究新知师：问题解决了，可是将军思考了片
8、刻，又提出了一个新的问题：问题2.牧马人觉得蹚水过河很不方便，决定将帐篷B搬到河的另一侧即与马厩A 位于河的同侧.如图，牧马人从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后回到B地到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？学者海伦认真思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这就是著名的 “将军饮马问题” 你能将这个问题抽象为数学问题吗？l将问题2抽象为数学问题：如图，点A，B 在直线l 的同侧，能不能在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小？【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线. 则“所走的路线全程最短”转化为“在直线l
9、上找到一点C，使AC+BC最小” 的数学问题. 此情况可简称为“两点(直线同侧)一线型”. 【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的模型学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.3尝试解决数学问题活动大胆猜想，建立模型【解题过程】（1）作点B 关于直线l 的对称点B；（2）连接AB，与直线l 相交于点C则点C 即为所求【答案】如图，则点C就是所求的点，即在河边l的C处饮马可使马所走的路线全程最短点.师生活动：学生独立思考，尝试画图，相互交流.学生若有困难，教师可作如下提示：1 若点B与点A在直线异侧，如何在直线l上找到一点
10、C，使AC 与BC的和最小；2 现在点B与点A在直线同侧，能否将点B移到l 的另一侧点B处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持CB= CB ? 你能根据轴对称的知识，找到（2）中符合条件的点B 吗？【设计意图】一步一步引导学生，将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路. 通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想.4证明AC +BC “最短” 活动反思过程，验证新知证明“最短作图”的正确性：追问1 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.证明：如图，在直线l
11、上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BC，AC+BC=AC+ C B=AB，AC+ CB=AC+ CB又在ABC中，AB AC+BC，AC+BCAC+BC，即AC +BC 最短 活动集思广益，理解新知追问2：证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C(与点C不重合)？师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC最小【设计意图】让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力.追问3：回顾探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么来解决问题
12、的？ 师生活动：学生回答，相互补充.【设计意图】让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验. 探究 运用轴对称解决距离之差最大问题活动回顾旧知，引入新知师：上节课我们认识了精通数学、物理学的学者海伦，解决了数学史中的经典问题“将军饮马问题”，但善于观察与思考的海伦在解决“两点（直线同侧）一线”的最短路径问题时他从另一角度发现了“最大值”的情况：活动整合旧知，探究新知例1. 如图， A、B两点在直线l的异侧，在直线l上求作一点C，使ACBC的值最大 【知识点】轴对称变换，三角形三边的关系【思路点拨】根据轴对称的性质、利用三角形三边的关系，通过比较来说明最值问题
13、是常用的一种方法.此题的突破点是作点A(或点B)关于直线l的对称点A(或B)，利用三角形任意两边之差小于第三边，再作直线AB(AB)与直线l交点C.【解题过程】如图1所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A，AB的延长线交l于点C，则点C即为所求活动类比建模，证明新知师：回忆我们是怎么利用轴对称的知识证明“两点（直线同侧）一线型”时AC +BC最小的吗？试类比证明“ACBC最大”的作法是否正确性？理由：在直线l上任找一点C (异于点C )，连接CA，CA，CA，CB.因为点A，A关于直线l对称，所以l为线段AA的垂直平分线，则有CACA，所以CACBCACBAB.又因为点C在l上，所
14、以CACA.又在ABC中，CACBCACBAB，所以CACBCACB.练习 点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系，如图所示.若P是x轴上使得|PAPB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，请在图中画出点P与点Q.【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边，三角形任意两边的和大于第三边【思路点拨】当点P与A、B共线时，即在线段AB的延长线上，点P为直线AB与x轴的交点，则此时P是x轴上使得|PAPB|的值最大的点，即PAPB=AB. 将点A、B看成y轴同侧有两点：在y轴上求一点Q，使得QA+QB最小【解题过程】延长线段AB，AB与
15、x轴交于点P，则此时P是x轴上使得|PAPB|的值最大的点，即PAPB=AB；作点A关于x轴的对称点A，AB的连线交y轴于点Q，则点Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点.【答案】如图，点P与点Q即为所求：探究 利用平移解决造桥选址问题活动结合实际，难点分解师：常说“遇山开路，遇水搭桥”，生活中的建桥问题与我们所学习的轴对称有什么关系呢？如图，在笔直河岸CD上的点A处需建一座桥，连接河岸EF，且CDEF.显然当桥AB垂直于河岸时，所建的桥长最短.活动生活中的实际问题 例2. 如图，A、B两地位于一条河的两岸，现需要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平
16、行的直线，桥要与河岸垂直） 【知识点】平移知识，两点之间线段最短【思路点拨】需将实际问题抽象成数学问题：从点A到点B要走的路线是AMNB，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AMBN最短即可如图1，此时两线段AM、BN应在同一平行方向上，平移MN到A A，则A A=MN，AM+NB= AN+NB，这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？如图2，连接A，B两点的线中，线段 AB最短，因此，线段AB与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的.图1【解题过程】 如图2，平移MN到 AA（或者过点A作A A垂直于河岸），且使AA等于河宽
17、连接BA与河岸的一边b交于点N.过点N作河岸的垂线交另一条河岸a于点M.【答案】如图所示，则MN为所建的桥的位置图2活动几何证明上述作图为什么是最短的？请你想想.先让学生小组合作完成，进行展示、分享.证明：由平移的性质，得 MNAA， 且MN= AA， AM=AN， AMAN，所以A、B两地的距离:AM+MN+BN= AA+ AN+ BN = AA+ AB. 如图2，不妨在直线b上另外任意取一点N， 若桥的位置建在NM处，过点N作NM a，垂足为M ，连接AM ，AN ，N B.由平行知：AM=AN， AA= NM，则建桥后AB两地的距离为：AM+MN+NB=AN+AA+NB=AA+AN+NB
18、. 在ANB中，AN+NBAB，AA+AN+NBAA+AB ，即AM+MN+NBAM+MN+BN.所以桥建在MN处，AB两地的路程最短.【设计意图】利用平移等变换把问题转化为容易解决的已知问题，从而做出最短路径的选择 .练习 如图1，江岸两侧有A、B两个城市，为方便人们从A城经过一条大江到B城的出行，今欲在江上建一座与两岸垂直的大桥，且笔直的江岸互相平行.应如何选择建桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？【知识点】平移的知识，两点之间线段最短【思路点拨】从A到B要走的路线是AMNB，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AMBN最短即可此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从
19、C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥【解题过程】(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽；(2)连接BC与河岸的一边交于点N；(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.【答案】如图2所示，则MN为所建的桥的位置三、归纳总结：解决线段最值问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题“距离之差最大”问题的两种模型：如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大；如果两点在一条直线的异侧时，先作其中一点关于直线的对称点，转化为即可. 通常求最大值或最小值的情况，常取其中一个点的对称点来解决，而用三角形三边的关系来推证说明其作法的正确性 “造桥选址”问题的关键是把各条线段转化到一条线段上解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题略
