人教版八年级数学上册教案《课题学习最短路径问题》.docx
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人教版八年级数学上册教案《课题学习最短路径问题》
《课题学习最短路径问题》
最短路径问题在现实生活中经常遇到,初中阶段主要以“两点之间,线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”为基础知识,有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.
本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马问题”“造桥选址”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究,让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题,再利用轴对称﹑平移等变化将线段和最小问题转化为“两点之间,线段最短”(或“三角形两边之和大于第三边”)问题.
基于以上分析,确定本节课的教学重点是:
利用轴对称﹑平移将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.
【知识与能力目标】
1.会利用轴对称解决简单的最短路径问题;
2.会利用轴对称解决简单的周长最小问题;
3.熟练应用轴对称变换知识,提高解决实际问题的能力;
4.学会利用平移变换知识解决造桥选址的最短路径问题;
5.体会轴对称变换在解决最值问题中的作用,感悟转化思想.
【过程与方法目标】
经历观察、实验、猜想等数学活动发展合情推理能力能有条理地、清晰地阐述自己的观点,初步学会从数学的角度提出问题、理解问题并能应用所学知识解决问题;学会与他人合作并能与他人交流思维的过程和结果.问题情境——组织数学活动——引导自主、合作学习——实践活动、探索新知——问题解决.
【情感态度价值观目标】
积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲;在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
【教学重点】
1.利用轴对称知识将最短路径问题的实际问题转化为“两点之间,线段最短”和“垂线段最短”的问题.
2.利用平移将“造桥选址”的实际问题转化为“两点之间,线段最短”问题
【教学难点】
1.如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.
2如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题.
一、课前设计
1.预习任务
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,”,
“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,”
等的问题,我们称它们为问题.
【答案】线段最短,垂线段最短,最短路径
2.预习自测
⑴如图所示,从A地到B地有三条路可供选择,你会选走路最近.你的理由是.
【设计意图】让学生回顾旧知“两点之间,线段最短”,为引入新课作准备.
【知识点】两点之间、线段最短
【答案】②,两点之间,线段最短(或者三角形中两边之和大于第三边)
⑵已知:
如图,A,B在直线l的两侧,在l上求一点P,使得PA+PB最小.
【知识点】两点之间线段最短
【思路点拨】依据“两点(直线异侧)一线型”,和“两点之间,线段最短”,则AP+PB的最小值为线段AB的值.
【解题过程】连接AB交于直线l于点P,则点P就是所求的点.
【答案】如图,则点P就是所求的点.
⑶如图,要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
【知识点】两点之间线段最短
【思路点拨】将A、B两镇抽象为两个点,将燃气管道l抽象为一条直线.类比预习自测
(1),根据“两点之间,线段最短”,连接AB即可.
【解题过程】连接AB,线段AB与直线l交于点P,则点P就是所求的点.
【答案】泵站修在管道的点P处时,可使所用的输气管线最短.
⑷如图,A,B在直线l的同侧,在l上求一点P,使得PA+PB最小,则点P可能的个数为()个
A.3B.2C.1D.0
【知识点】两点之间线段最短、轴对称的性质
【思路点拨】将“A,B在直线l的同侧”利用轴对称转化为“A,B在直线l的异侧”,又根据“两点之间线段最短”可得出只有唯一的点P.
【答案】C
【设计意图】通过完成预习自测让学生进一步感受“两点之间,线段最短”,为新课中“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫.
二、课堂设计
1.知识回顾
⑴两点的所有连线中,线段最短;
⑵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短;
⑶三角形三边的数量关系:
三角形中两边之和大于第三边.
2.问题探究实际问题转化为数学问题
探究一“两点一线”的最短路径问题
今天我们借助“轴对称的知识”和“两点之间线段最短”一起来解决生活中的“最短路径问题”.
●活动①创设情境,引入新知
师:
相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题:
问题1.如图,A为马厩,B为帐篷.某一天牧马人要从马厩A出发,牵出马到一条笔直的河边l饮马,然后蹚水过河,回到对岸的帐篷B.牧马人到河边什么地方饮马,可使马所走的路线全程最短?
精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用几何知识回答了这个问题.你能将这个问题抽象为数学问题吗?
【知识点】两点之间线段最短
【解题过程】连接AB,线段AB与直线l交于点C,到河边l的C处饮马可使马所走的路线全程最短.
【思路点拨】将A,B两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线,则AC+BC的最小值为线段AB的值.此情况可简称为“两点(直线异侧)一线型”.
【答案】如图,则点C就是所求点,即在河边l的C处饮马可使他所走的路线全程最短点:
●活动②整合旧知,探究新知
师:
问题解决了,可是将军思考了片刻,又提出了一个新的问题:
问题2.牧马人觉得蹚水过河很不方便,决定将帐篷B搬到河的另一侧即与马厩A位于河的同侧.如图,牧马人从图中的A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后回到B地.到河边什么地方饮马,可使马所走的路线全程最短?
学者海伦认真思索,利用轴对称的知识回答了这个问题.这就是著名的“将军饮马问题”.你能将这个问题抽象为数学问题吗?
l
将问题2抽象为数学问题:
如图,点A,B在直线l的同侧,能不能在直线l上找到一点C,使AC与BC的和最小?
【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短
【思路点拨】将A,B两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线.则“所走的路线全程最短”转化为“在直线l上找到一点C,使AC+BC最小”的数学问题.此情况可简称为“两点(直线同侧)一线型”.
【设计意图】学生通过动手操作,在具体感知轴对称图形特征的基础上,抽象出轴对称图形的模型.学生将实际问题抽象为数学问题,即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.
3.尝试解决数学问题
●活动③大胆猜想,建立模型
【解题过程】
(1)作点B关于直线l的对称点B′;
(2)连接AB′,与直线l相交于点C.则点C即为所求.
【答案】如图,则点C就是所求的点,即在河边l的C处饮马可使马所走的路线全程最短点.
师生活动:
学生独立思考,尝试画图,相互交流.
学生若有困难,教师可作如下提示:
1若点B与点A在直线异侧,如何在直线l上找到一点C,使AC与BC的和最小;
2现在点B与点A在直线同侧,能否将点B移到l的另一侧点B′处,且满足直线l上的任意一点C,都能保持CB=CB′?
⑶你能根据轴对称的知识,找到
(2)中符合条件的点B′吗?
【设计意图】一步一步引导学生,将同侧的两点转化为异侧的两点,为问题的解决提供思路.通过搭建台阶,为学生探究问题提供“脚手架”,将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题,渗透转化思想.
4.证明AC+BC“最短”
●活动
反思过程,验证新知
证明“最短作图”的正确性:
追问1你能用所学的知识证明AC+BC最短吗?
师生活动:
学生独立思考,相互交流,师生共同完成证明过程.
证明:
如图,在直线l上任取一点C′(与点C不重合),连接AC′,BC′,B′C′.
由轴对称的性质知,BC=B′C,BC′=B′C′,∴AC+BC=AC+CB′=AB′,AC′+C′B=
AC′+C′B′.又在△AB′C′中,AB′﹤AC′+B′C′,∴ AC+BC﹤AC′+BC′,
即AC+BC最短.
●活动⑤集思广益,理解新知
追问2:
证明AC+BC最短时,为什么要在直线l上任取一点C′(与点C不重合)?
师生活动:
学生相互交流,教师适时点拨,最后达成共识:
若直线l上任意一点(与点C不重合)与A,B两点的距离和都大于AC+BC,就说明AC+BC最小.
【设计意图】让学生进一步体会作法的正确性,提高逻辑思维能力.
追问3:
回顾探究过程,我们是通过怎样的过程、借助什么来解决问题的?
师生活动:
学生回答,相互补充.
【设计意图】让学生在反思的过程中,体会轴对称的“桥梁”作用,感悟转化思想,丰富数学活动经验.
探究运用轴对称解决距离之差最大问题
●活动①回顾旧知,引入新知
师:
上节课我们认识了精通数学、物理学的学者海伦,解决了数学史中的经典问题——“将军饮马问题”,但善于观察与思考的海伦在解决“两点(直线同侧)一线”的最短路径问题时他从另一角度发现了“最大值”的情况:
●活动②整合旧知,探究新知
例1.如图,A、B两点在直线l的异侧,在直线l上求作一点C,使|AC-BC|的值最大.
【知识点】轴对称变换,三角形三边的关系
【思路点拨】根据轴对称的性质、利用三角形三边的关系,通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.此题的突破点是作点A(或点B)关于直线l的对称点A′(或B′),利用三角形任意两边之差小于第三边,再作直线A′B(AB′)与直线l交点C.
【解题过程】如图1所示,以直线l为对称轴,作点A关于直线l的对称点A′,A′B的延长线交l于点C,则点C即为所求.
●活动③类比建模,证明新知
师:
回忆我们是怎么利用轴对称的知识证明“两点(直线同侧)一线型”时AC+BC最小的吗?
试类比证明“|AC-BC|最大”的作法是否正确性?
理由:
在直线l上任找一点C′(异于点C),连接CA,C′A,C′A′,C′B.因为点A,A′关于直线l对称,所以l为线段AA′的垂直平分线,则有CA=CA′,所以CA-CB=CA′-CB=A′B.又因为点C′在l上,所以C′A=C′A′.又在△A′BC′中,C′A-C′B=C′A′-C′B<A′B,所以C′A′-C′B<CA-CB.
练习点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上,建立平面直角坐标系,如图所示.若P是x轴上使得|PA-PB|的值最大的点,Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点,请在图中画出点P与点Q.
【知识点】两点之间线段最短,三角形任意两边的差小于第三边,三角形任意两边的和大于第三边
【思路点拨】当点P与A、B共线时,即在线段AB的延长线上,点P为直线AB与x轴的交点,则此时P是x轴上使得|PA-PB|的值最大的点,即|PA-PB|=AB.将点A、B看成y轴同侧有两点:
在y轴上求一点Q,使得QA+QB最小
【解题过程】⑴延长线段AB,AB与x轴交于点P,则此时P是x轴上使得|PA-PB|的值最大的点,即|PA-PB|=AB;⑵作点A关于x轴的对称点A′,A′B的连线交y轴于点Q,则点Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点.
【答案】如图,点P与点Q即为所求:
探究利用平移解决造桥选址问题
●活动①结合实际,难点分解
师:
常说“遇山开路,遇水搭桥”,生活中的建桥问题与我们所学习的轴对称有什么关系呢?
如图,在笔直河岸CD上的点A处需建一座桥,连接河岸EF,且CD∥EF.显然当桥AB垂直于河岸时,所建的桥长最短.
●活动②生活中的实际问题
例2.如图,A、B两地位于一条河的两岸,现需要在河上建一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?
(假设河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)
【知识点】平移知识,两点之间线段最短
【思路点拨】需将实际问题抽象成数学问题:
从点A到点B要走的路线是A→M→N→B,如图所示,而MN是定值,于是要使路程最短,只要AM+BN最短即可.如图1,此时两线段AM、BN应在同一平行方向上,平移MN到AA′,则AA′=MN,AM+NB=A′N+NB,这样问题就转化为:
当点N在直线b的什么位置时,A′N+NB最小?
如图2,连接A′,B两点的线中,线段A′B最短,因此,线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求,即在点N处造桥MN,所得路径A→M→N→B是最短的.
图1
【解题过程】⑴如图2,平移MN到AA′(或者过点A作AA′垂直于河岸),且使AA′等于河宽.⑵连接BA′与河岸的一边b交于点N.⑶过点N作河岸的垂线交另一条河岸a于点M.
【答案】如图所示,则MN为所建的桥的位置.
图2
●活动③几何证明
上述作图为什么是最短的?
请你想想.
先让学生小组合作完成,进行展示、分享.
证明:
由平移的性质,得MN∥AA′,且MN=AA′,AM=A′N,AM∥A′N,所以A、B两地的距离:
AM+MN+BN=AA′+A′N+BN=AA′+A′B.如图2,不妨在直线b上另外任意取一点N′,若桥的位置建在N′M′处,过点N′作N′M′⊥a,垂足为M′,连接AM′,A′N′,N′B.由平行知:
AM′=A′N′,AA′=N′M′,则建桥后AB两地的距离为:
AM′+M′N′+N′B=A′N′+AA′+N′B=AA′+A′N′+N′B.在△A′N′B中,
∵A′N′+N′B>A′B,∴AA′+A′N′+N′B>AA′+A′B,即AM′+M′N′+N′B>AM+MN+BN.所以桥建在MN处,AB两地的路程最短.
【设计意图】利用平移等变换把问题转化为容易解决的已知问题,从而做出最短路径的选择.
练习如图1,江岸两侧有A、B两个城市,为方便人们从A城经过一条大江到B城的出行,今欲在江上建一座与两岸垂直的大桥,且笔直的江岸互相平行.应如何选择建桥的位置,才能使从A地到B地的路程最短?
【知识点】平移的知识,两点之间线段最短
【思路点拨】从A到B要走的路线是A→M→N→B,如图所示,而MN是定值,于是要使路程最短,只要AM+BN最短即可.此时两线段应在同一平行方向上,平移MN到AC,从C到B应是余下的路程,连接BC的线段即为最短的,此时不难说明点N即为建桥位置,MN即为所建的桥.
【解题过程】
(1)如图2,过点A作AC垂直于河岸,且使AC等于河宽;
(2)连接BC与河岸的一边交于点N;(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.
【答案】如图2所示,则MN为所建的桥的位置.
三、归纳总结:
解决线段最值问题时,我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,从而作出最短路径的方法来解决问题.
⑴“距离之差最大”问题的两种模型:
①如果两点在一条直线的同侧时,过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大;②如果两点在一条直线的异侧时,先作其中一点关于直线的对称点,转化为①即可.通常求最大值或最小值的情况,常取其中一个点的对称点来解决,而用三角形三边的关系来推证说明其作法的正确性.
⑵“造桥选址”问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时,可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零,转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.
略
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