1、工程数学线性代数课后答案同济第五版123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566第五章 相似矩阵及二次型1 试用施密特法把下列向量组正交化(1)(a1, a2, a3)1111231 49解 根据施密特正交化方法b1 a1111b ,a b2 ba 122 1b,b1 1 10 1b ,a b ,a 1 3 2 3b3 a b b3 1 2b ,b b ,b 1 1 2 213 12 1(2)(a
2、1, a2, a3) 10 1 1 1 10 1 1 1 10解 根据施密特正交化方法b1 a1 10 1 1b ,a b2 ba1 22 1b ,b 1 11 3 1 32 1b ,a b ,a 1 3 2 3b3 a bb3 1 2b ,b b ,b 1 1 2 21 5 1 3 342 下列矩阵是不是正交阵 :67 112 13121121 3121(1) ;解 此矩阵的第一个行向量非单位向量 , 故不是正交阵1 8 4(2)9894919494979 9 9解 该方阵每一个行向量均是单位向量 且两两正交 故为正交阵3 设 x 为 n 维列向量 x Tx 1 令 H E 2xxT 证明
3、H 是对称的正交阵证明 因为H T (E 2xxT)T E 2(xxT)T E 2(xxT)TE 2(x T)TxT E 2xxT所以 H 是对称矩阵因为H TH HH (E 2xxT)(E 2xxT)E 2xxT 2xxT (2xxT)(2xxT)E 4xxT 4x(xTx)xTE 4xxT 4xxTE所以 H 是正交矩阵4 设 A 与 B 都是 n 阶正交阵 证明 AB 也是正交阵证明 因为 A B 是 n 阶正交阵 故 A 1 AT B 1 BT(AB)T(AB) BTATAB B 1A 1AB E故 AB 也是正交阵5 求下列矩阵的特征值和特征向量 :(1)2 5 1 130232;6
4、8 2 1 2解 |A E| 5 3 3 ( 1)3 1 0 2故 A 的特征值为 1(三重)对于特征值 1 由A E3511 20231100010110得方程(A E)x 0 的基础解系 p1 (1 1 1) T 向量 p1 就是对应于特征值 1 的特征值向量 .(2)123213336; 1 2 3解 |A E| 2 1 3 ( 1)( 9) 3 3 6故 A 的特征值为 1 0 2 1 3 9对于特征值 1 0 由A1 2 3 21 3 3 36100210310T得方程 Ax 0的基础解系 p1 ( 1 1 1)向量 p1是对应于特征值 1 0的特征值向量.对于特征值 2 1, 由A
5、 E223223337200200 31 0 T 向量 p2 就是对应于特征值 2 1 的特得方程(A E)x 0 的基础解系 p2 ( 1 1 0)征值向量对于特征值 3 9 由A8 2 39E 2 8 33 3 3100110 112 069得方程(A 9E)x 0 的基础解系 p3 (1/2 1/2 1)T 向量 p3 就是对应于特征值 3 9 的特征值向量(3) 0 0 01001001001 0 0 0.解001100|A E| (0100101) 2( 1)22( 1)2故 A 的特征值为 1 2 1 3 4 1对于特征值 1 2 1 由A E1 0 010110011010011
6、000 01 0 001001000T p2 (0 1 1 0)T 向量 p1 和 p2 是对 得方程(A E)x 0 的基础解系 p1 (1 0 0 1)应于特征值 1 2 1 的线性无关特征值向量对于特征值 3 4 1 由A E1001011 001101 0 011000010001001000得方程(A E)x 0的基础解系 p3 (1 0 0 1)T p4 (0 1 1 0)T 向量p3 和p4是对应于特征值 3 4 1 的线性无关特征值向量T 与 A 的特征值相同 6 设 A 为 n 阶矩阵 证明 A证明 因为 T E| |(A E)T| |A E|T |A E|A所以 AT 与A
7、 的特征多项式相同 从而 AT 与 A 的特征值相同7 设 n 阶矩阵 A、B 满足 R(A) R(B) n 证明 A 与 B 有公共的特征值 有公共的特征向量证明 设R( A) r R(B) t 则 r t n若 a1 a2 an r 是齐次方程组 Ax 0 的基础解系 显然它们是 A 的对应于特征值 0 的线性无关的特征向量70类似地 设b1 b2 bn t 是齐次方程组 Bx 0 的基础解系 则它们是 B 的对应于特征值 0 的线性无关的特征向量由于(n r) (n t) n (n r t) n 故 a1 a2 an r b1 b2 bn t 必线性相关 于是有不全为 0 的数 k1 k
8、2 kn r l1 l2 ln t 使k1a1 k2a2 kn ran r l1b1 l2b2 ln rbn r 0记 k1a1 k2a2 kn ran r (l1b1 l2b2 ln r bn r )则 k1 k2 kn r 不全为 0 否则 l1 l2 ln t 不全为 0 而l1b1 l2b2 ln r bn r 0与 b1 b2 bn t 线性无关相矛盾因此 0 是 A 的也是 B 的关于 0 的特征向量 所以 A 与 B 有公共的特征值 有公共的特征向量8 设 A 2 3A 2E O 证明 A 的特征值只能取 1 或 2证明 设 是 A 的任意一个特征值 x 是A 的对应于 的特征向
9、量 则(A2 3A 2E)x 2x 3 x 2x ( 2 3 2)x 0因为 x 0 所以2 3 2 0 即 是方程 2 3 2 0 的根 也就是说 1 或 29 设 A 为正交阵 且|A| 1 证明 1 是 A 的特征值证明 因为 A 为正交矩阵 所以 A 的特征值为 1 或 1因为|A|等于所有特征值之积 又|A| 1 所以必有奇数个特征值为 1 即1 是 A 的特征值10 设 0 是 m 阶矩阵 Am nBn m 的特征值 证明 也是 n 阶矩阵 BA的特征值证明 设x 是AB 的对应于 0 的特征向量 则有(AB)x x于是 B(AB)x B( x)或 BA( B x) (Bx)从而
10、是BA 的特征值 且 Bx 是BA 的对应于 的特征向量11 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 2 3 求|A 3 5A2 7A|解 令 ( ) 3 5 2 7 则 (1) 3 (2) 2 (3) 3 是 (A)的特征值 故|A 3 5A2 7A| | (A)| (1) (2) (3) 3 2 3 1812 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 2 3 求|A* 3A 2E|解 因为|A| 1 2 ( 3) 6 0 所以 A 可逆 故A* |A |A 1 6A 171A* 3A 2E 6A1 3A 2E令 ( ) 61 3 2 2 则 (1) 1 (2) 5 ( 3) 5 是 (A)的特征值 故|A* 3A 2E| | 6A1 3A 2E| | (A)|(1) (2) ( 3) 1 5 ( 5) 2513 设 A、B 都是 n 阶矩阵 且 A 可逆 证明 AB 与 BA 相似证明 取P A 则P1ABP A 1ABA BA即 AB 与 BA 相似14 设矩阵2 0 1A 3 1 x 可相似对角化 求 x4 0 5解 由2 0 1|A E x
