工程数学线性代数课后答案同济第五版.docx
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工程数学线性代数课后答案同济第五版
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66
第五章相似矩阵及二次型
1试用施密特法把下列向量组正交化
(1)
(a1,a2,a3)
1
1
1
1
2
3
1
4
9
解根据施密特正交化方法
b1a
1
1
1
1
[b,a]
b2b
a1
2
21
[b,b]
11
1
0
1
[b,a][b,a]
1323
b3abb
312
[b,b][b,b]
1122
1
3
1
2
1
(2)
(a1,a2,a3)
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
解根据施密特正交化方法
b1a
1
1
0
1
1
[b,a]
b2b
a
12
21
[b,b]
11
1
3
1
3
2
1
[b,a][b,a]
1323
b3ab
b
312
[b,b][b,b]
1122
1
5
1
3
3
4
2下列矩阵是不是正交阵:
67
1
1
2
1
3
1
2
1
1
2
1
3
1
2
1
(1);
解此矩阵的第一个行向量非单位向量,故不是正交阵
184
(2)
9
8
9
4
9
1
9
4
9
4
9
7
999
解该方阵每一个行向量均是单位向量且两两正交故为正交阵
3设x为n维列向量xTx1令HE2xxT证明H是对称的正交阵
证明因为
HT(E2xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)T
E2(xT)TxTE2xxT
所以H是对称矩阵
因为
HTHHH(E2xxT)(E2xxT)
E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT)
E4xx
T4x(xTx)xT
E4xxT4xxT
E
所以H是正交矩阵
4设A与B都是n阶正交阵证明AB也是正交阵
证明因为AB是n阶正交阵故A1ATB1BT
(AB)T(AB)BTATABB1A1ABE
故AB也是正交阵
5求下列矩阵的特征值和特征向量:
(1)
2
5
1
1
3
0
2
3
2
;
68
212
解|AE|533
(1)3
102
故A的特征值为1(三重)
对于特征值1由
AE
3
5
1
1
2
0
2
3
1
~
1
0
0
0
1
0
1
1
0
得方程(AE)x0的基础解系p1(111)T向量p1就是对应于特征值1的特
征值向量.
(2)
1
2
3
2
1
3
3
3
6
;
123
解|AE|213
(1)(9)
336
故A的特征值为102139
对于特征值10由
A
1
2
3
2
1
3
3
3
6
~
1
0
0
2
1
0
3
1
0
T
得方程Ax0的基础解系p1(111)
向量p1是对应于特征值10的特征值向
量.
对于特征值21,由
AE
2
2
3
2
2
3
3
3
7
~
2
0
0
2
0
0
3
1
0
T向量p2就是对应于特征值21的特
得方程(AE)x0的基础解系p2(110)
征值向量
对于特征值39由
A
823
9E~
283
333
1
0
0
1
1
0
1
1
2
0
69
得方程(A9E)x0的基础解系p3(1/21/21)T向量p3就是对应于特征值39的
特征值向量
(3)
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
.
解
0
0
1
1
0
0
|AE|(
0
1
0
0
1
0
1)2
(1)2
2
(1)2
故A的特征值为121341
对于特征值121由
AE
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
~
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
Tp2(0110)T向量p1和p2是对得方程(AE)x0的基础解系p1(1001)
应于特征值121的线性无关特征值向量
对于特征值341由
AE
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
~
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
得方程(AE)x0的基础解系p3(1001)Tp4(0110)T向量p3和p4是对应于
特征值341的线性无关特征值向量
T与A的特征值相同6设A为n阶矩阵证明A
证明因为
TE||(AE)T||AE|T|AE|
|A
所以AT与A的特征多项式相同从而AT与A的特征值相同
7设n阶矩阵A、B满足R(A)R(B)n证明A与B有公共的特征值有公
共的特征向量
证明设R(A)rR(B)t则rtn
若a1a2anr是齐次方程组Ax0的基础解系显然它们是A的对应于特
征值0的线性无关的特征向量
70
类似地设b1b2bnt是齐次方程组Bx0的基础解系则它们是B的对应
于特征值0的线性无关的特征向量
由于(nr)(nt)n(nrt)n故a1a2anrb1b2bnt必线性相关于
是有不全为0的数k1k2knrl1l2lnt使
k1a1k2a2knranrl1b1l2b2lnrbnr0
记k1a1k2a2knranr(l1b1l2b2lnrbnr)
则k1k2knr不全为0否则l1l2lnt不全为0而
l1b1l2b2lnrbnr0
与b1b2bnt线性无关相矛盾
因此0是A的也是B的关于0的特征向量所以A与B有公共的特征
值有公共的特征向量
8设A23A2EO证明A的特征值只能取1或2
证明设是A的任意一个特征值x是A的对应于的特征向量则
(A23A2E)x2x3x2x(232)x0
因为x0所以
2320即是方程2320的根也就是说1或2
9设A为正交阵且|A|1证明1是A的特征值
证明因为A为正交矩阵所以A的特征值为1或1
因为|A|等于所有特征值之积又|A|1所以必有奇数个特征值为1即
1是A的特征值
10设0是m阶矩阵AmnBnm的特征值证明也是n阶矩阵BA的特征值
证明设x是AB的对应于0的特征向量则有
(AB)xx
于是B(AB)xB(x)
或BA(Bx)(Bx)
从而是BA的特征值且Bx是BA的对应于的特征向量
11已知3阶矩阵A的特征值为123求|A35A27A|
解令()3527则
(1)3
(2)2(3)3是(A)的特征值故
|A35A27A||(A)|
(1)
(2)(3)32318
12已知3阶矩阵A的特征值为123求|A*3A2E|
解因为|A|12(3)60所以A可逆故
A*|A|A16A1
71
A*3A2E6A
13A2E
令()6
1322则
(1)1
(2)5(3)5是(A)的特征值故
|A*3A2E||6A
13A2E||(A)|
(1)
(2)(3)15(5)25
13设A、B都是n阶矩阵且A可逆证明AB与BA相
似
证明取PA则
P
1ABPA1ABABA
即AB与BA相似
14设矩阵
201
A31x可相似对角化求x
405
解由
201
|AEx
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