1、西交大计算方法上机报告计算方法（B）实验报告姓名：学号：学院： 专业：实验一 三对角方程组 Tx f 的求解实验目的掌握三对角方程组 Tx f 求解的方法。实验内容求三对角方程组 Tx f 的解，其中：4 -1 3-1 4 -1 2T O O O ， f M -1 4 1 2-1 4 3三、 算法组织 设系数矩阵为三对角矩阵bi Cia2 b2 c2 a3 b3 C3TOOOan i bn i Cn ibn则方程组 Txf 称为三对角方程组。设矩阵T非奇异，T可分解为T=LU,其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩 阵，记2. 将Tx f压缩为四个一维数组 a、bi、C、di , ai b、G是
2、T的三对角 线性方程组的三个对角， di 是右端向量。将分解矩阵压缩为三个一维数组li 、 i 、 ri3. 对T做Crout分解(也可以用Doolittle分解)导出追赶法的计算步骤如下:i bi, ri cifor i 2: nli ai , i 1， i b airi 1，ri Ci,yi di li% 1end4. 回代求解xxn yn / nfor i n 1: 1Xi (Yi GXi1)/ iend5停止，输出结果。四、 MATLAB程序MATLA程序见附件1.五、 结果及分析实验结果为：x (1.0000 1.0000 L 1.0000 1.0000)T实验二 Jacobi迭代和
3、Gauss-Seidel迭代解线性方程组实验目的掌握Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代解线性方程组的方法。实验内容用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代解电路电流方程组，使各部分电流误差均小于103。28i13i210%38i210i3010i225315i4015i345i405i230is 0二、算法组织形如Ax b的方程组，用Jacobi迭代求解x，算法组织如下:1.将系数矩阵A分解成对角元D、下三角部分元E和上三角部分兀 F,于是A D E F .2.由 Ax b (D EF)x bDx (E F)x bx D 1(E F)x D 1b。3.从而构成形如x(k 1
4、)Gx(k)d迭代格式：x(k 1)D 1(E F)x(k) D1b其中G D 1(E F)d D 1b4. 选取初始向量x(0)进行迭代计算。5. 当迭代后的解满足题中的约束条件 max x(k 1) X(k) 时迭代停止1 i n形如Ax b的方程组，用Gauss Seidel迭代求解x，算法组织如下:1将系数矩阵A分解成对角元D、下三角部分元E和上三角部分元F ,于是A D E F .2.由Ax b (D E F)x b (D E)x Fx bx (D E) 1Fx (DE)1b3.从而构成形如x(k1)Gx(k) d迭代格式：x(k1)(D E)1Fx(k) (DE)1b其中G (D
5、E) 1Fd(DE)1b4.选取初始向量x(0)进行迭代计算。5.当迭代后的解满足题中的约束条件maxx(k1) x(k)时迭代停止四、 MATLAB程序MATLA程序见附件2,其中1为Jacobi迭代，2为Gauss-Seidel迭代。五、 结果及分析Jacobi迭代结果：方程组的解为 x (0.3607 0.0335 0.0163 0.0054 0.0055)T迭代次数i 8Gauss Seidel 迭代结果：方程组的解为 x (0.3607 0.0335 0.0166 0.0055 0.0056)T迭代次数i 4由以上结果可知,达到相同的计算精度，Gauss Seidel迭代比Jacob
6、i迭代的速 度快，Gauss Seidel迭代比Jacobi迭代次数少。实验三 多项式插值及误差计算一、 实验目的掌握多项式插值的原理和基本方法。二、 实验内容1已知 f(x) - 2 ( 1 x 1)，对 n 5 , 10 , 201 25x2a. 计算函数f (x)在点x 1 - i , (i 0,1,2丄，n)处的值f(xj;nb. 求插值数据点 xi, yi (i 0,1,2丄，n)的Newton插值多项式Nn(x)和 三次样条插值多项式Sn(x)；2c. 对n 5 , 20，计算xk 1 k , (k 1:10,90:99)和相应的函数值100yk f Xk , Nn(Xk), Sn
7、(Xk);d. 计算 E Nn max yk Nn xk ， E Sn max yk Sn xk，解释所得到k k结果。三、 算法组织(1) 本题第一冋是简单的用matlab程序可以计算，算法很简单。(2) 本题在算法上第二问中的Newton插值多项式 叫仪)和三次样条插值多项 式&(X)。计算两种插值多项式的算法如下：1. 求Newton插值多项式Nn(x)，算法组织如下：Newton插值多项式的表达式如下：Nn(x) C0 C1(X X。) Cn(x X)(X Xj (X X. 1)其中每一项的系数Ci的表达式如下:根据上述公式，为了得到系数需计算:1 一阶差商 fx, f X,fXn2)
8、 二阶差商 fX,X1, fN,X2】,f Xn 1,Xn3) n 阶差商 fX0,X1, ,Xn 1, f X1, ,Xn1,Xn4) n + 1 阶差商 f X0, X1, , Xn 1,Xn2. 求三次样条插值多项式，算法组织如下:所谓三次样条插值多项式Sn(X)是一种对区间进行分段的分段函数，然后在每一 段上进行分析，即它在节点Xj (a x0 x1 xn 1 xn b)分成的每个小区间因此,只要确定了 Mi的值，就确定了整个表达式,M j的计算方法如下: Xi i,Xj上是3次多项式，其在此区间上的表达式如下：令:hi ihi hi hi i 6 i yi % y、 一 、di (
9、) 6f (x iXXi Jhi hi i hi i hi则Mi满足如下n-i个方程：i M i i 2 M i i M i 1 d，1,2, ,n 1 方程中有n+1个未知量，则令M0和Mn分别为零，则由上面的方程组可得到Mi(1 i n 1)的值，可得到整个区间上的三次样条插值多项式 Sn(x) o(3) 第三问和第四问的算法与第二问的算法类似，不再赘述。四、 MATLABg 序MATLA程序见附件3o五、 结果及分析第一问当n=5时，各节点及f(x)值为：x(0)=-1,y(0)=3.846154e-02x(1)=-6.000000e-01,y(1)=1.000000e-01x(2)=-
10、2.000000e-01, y(2)=5.000000e-01x(3)=2.000000e-01,y(3)=5.000000e-01x=6.000000e-01, y=1.000000e-01x(5)=1, y(5)=3.846154e-02当n=10寸,各节点及f(x)值为： x(0)=-1,y(0)=3.846154e-02 x(1)=-8.000000e-01,y(1)=5.882353e-02 x(2)=-6.000000e-01,y(2)=1.000000e-01 x(3)=-4.000000e-01,y(3)=2.000000e-01 x(4)=-2.000000e-01,y(4)
11、=5.000000e-01 x(5)=0,y(5)=1 x(6)=2.000000e-01,y(6)=5.000000e-01 x(7)=4.000000e-01,y(7)=2.000000e-01 x(8)=6.000000e-01,y(8)=1.000000e-01 x(9)=8.000000e-01,y(9)=5.882353e-02 x(10)=1,y(10)=3.846154e-02 当n=20寸,各节点及f(x)值为： x(0)=-1,y(0)=3.846154e-02 x(1)=-9.000000e-01,y(1)=4.705882e-02 x(2)=-8.000000e-01,
12、y(2)=5.882353e-02 x(3)=-7.000000e-01,y(3)=7.547170e-02 x(4)=-6.000000e-01,y(4)=1.000000e-01 x(5)=-5.000000e-01,y(5)=1.379310e-01 x(6)=-4.000000e-01,y(6)=2.000000e-01 x(7)=-3.000000e-01,y(7)=3.076923e-01 x(8)=-2.000000e-01,y(8)=5.000000e-01 x(9)=-1.000000e-01,y(9)=8.000000e-01 x(10)=0,y(10)=1 x(11)=1
13、.000000e-01,y(11)=8.000000e-01 x(12)=2.000000e-01,y(12)=5.000000e-01 x(13)=3.000000e-01,y(13)=3.076923e-01 x(14)=4.000000e-01,y(14)=2.000000e-01x(15)=5.000000e-01,y(15)=1.379310e-01x(16)=6.000000e-01,y(16)=1.000000e-01x(17)=7.000000e-01,y(17)=7.547170e-02x(18)=8.000000e-01,y(18)=5.882353e-02 x(19)=9
14、.000000e-01,y(19)=4.705882e-02 x(20)=1,y(20)=3.846154e-02第二问牛顿插值算法当n=5时Newton插值多项式的系数分别为：c0=3.846154e-02c1=1.538462e-01c2=1.057692e+00c3=-1.923077e+00c4=1.201923e+00c5=-5.551115e-16当n=10时Newton插值多项式的系数分别为：c0=3.846154e-02c1=1.018100e-01c2=2.601810e-01c3=7.918552e-01c4=2.686652e+00c5=-6.363122e+00c6=-
15、1.767534e+01c7=8.484163e+01c8=-1.679157e+02c9=2.209417e+02c10=-2.209417e+02当n=20时Newtonf插值多项式的系数分别为：c0=3.846154e-02c1=8.597285e-02c2=1.583710e-01c3=2.860070e-01c4=5.335952e-01c5=1.037751e+00c6=2.001902e+00c7=2.796775e+00c8=-7.543931e+00c9=-1.011991e+02c10=-6.439941e+01c11=2.152780e+03c12=-7.267934e+
16、03c13=1.139374e+04c14=-3.538429e+03c15=-2.830744e+04c16=8.669152e+04c17=-1.592293e+05c18=2.237536e+05c19=-2.601786e+05c20=2.601786e+05三次样条插值算法当n=5时，取边界条件为自然样条的三次样条插值多项式的系 数分别为：4.1296-3.8259-3.82594.12960当n=10寸，取边界条件为自然样条的三次样条插值多项式的系数分别为:m =00.41011.48202.485618.5755-46.787818.57552.48561.48200.41010
17、当n=20寸，取边界条件为自然样条的三次样条插值多项式的系数分别为:00.36150.45430.75141.26812.21774.34387.781015.3016-4.3719-57.8141-4.371915.30167.78104.34382.21771.26810.75140.45430.3615 0第三问当n=5时，给定点xi的f(xi),N(xi),S(xi), 分别为：x(1)=-9.800000e-01, f=3.998401e-02, N=1.369250e-02,S=3.604615e-02x(2)=-9.600000e-01,S=3.371336e-02f=4.159
18、734e-02,N=-6.920000e-03,x(3)=-9.400000e-01,S=3.154575e-02f=4.330879e-02,N=-2.359981e-02,x(4)=-9.200000e-01,S=2.962591e-02f=4.512635e-02,N=-3.656615e-02,x(5)=-9.000000e-01,S=2.803644e-02f=4.705882e-02,N=-4.603365e-02,x(6)=-8.800000e-01,S=2.685992e-02f=4.911591e-02,N=-5.221231e-02,x(7)=-8.600000e-01,S
19、=2.617895e-02f=5.130836e-02,N=-5.530750e-02,x(8)=-8.400000e-01,S=2.607611e-02f=5.364807e-02,N=-5.552000e-02,x(9)=-8.200000e-01,S=2.663401e-02f=5.614823e-02,N=-5.304596e-02,x(10)=-8.000000e-01,S=2.793522e-02f=5.882353e-02,N=-4.807692e-02,x(11)=-7.800000e-01,S=3.006235e-02f=6.169031e-02,N=-4.079981e-0
20、2,x(12)=-7.600000e-01,S=3.309798e-02f=6.476684e-02,N=-3.139692e-02,x(13)=-7.400000e-01,S=3.712470e-02f=6.807352e-02,N=-2.004596e-02,x(14)=-7.200000e-01,S=4.222510e-02f=7.163324e-02,N=-6.920000e-03,x(15)=-7.000000e-01,S=4.848178e-02f=7.547170e-02,N=7.812500e-03,x(16)=-6.800000e-01,S=5.597733e-02f=7.9
21、61783e-02,N=2.398769e-02,x(17)=-6.600000e-01,S=6.479433e-02f=8.410429e-02,N=4.144635e-02,x(18)=-6.400000e-01,S=7.501538e-02f=8.896797e-02,N=6.003385e-02,x(19)=-6.200000e-01,S=8.672308e-02f=9.425071e-02,N=7.960019e-02,x(20)=-6.000000e-01,S=1.000000e-01f=1.000000e-01,N=1.000000e-01,x(21)=-5.800000e-01
22、,S=1.148885e-01f=1.062699e-01,N=1.210925e-01,x(22)=-5.600000e-01,S=1.312696e-01f=1.131222e-01,N=1.427415e-01,x(23)=-5.400000e-01,S=1.489844e-01f=1.206273e-01,N=1.648156e-01,x(24)=-5.200000e-01,S=1.678737e-01f=1.288660e-01,N=1.871877e-01,x(25)=-5.000000e-01,S=1.877783e-01f=1.379310e-01,N=2.097356e-01
23、,x(26)=-4.800000e-01,S=2.085393e-01f=1.479290e-01,N=2.323415e-01,x(27)=-4.600000e-01,S=2.299974e-01f=1.589825e-01,N=2.548925e-01,x(28)=-4.400000e-01,S=2.519935e-01f=1.712329e-01,N=2.772800e-01,x(29)=-4.200000e-01,S=2.743686e-01f=1.848429e-01,N=2.994002e-01,x(30)=-4.000000e-01,S=2.969636e-01f=2.00000
24、0e-01,N=3.211538e-01,x(31)=-3.800000e-01,S=3.196192e-01f=2.169197e-01,N=3.424463e-01,x(32)=-3.600000e-01,S=3.421765e-01f=2.358491e-01,N=3.631877e-01,x(33)=-3.400000e-01,S=3.644763e-01f=2.570694e-01,N=3.832925e-01,x(34)=-3.200000e-01,S=3.863595e-01f=2.808989e-01,N=4.026800e-01,x(35)=-3.000000e-01,f=3
25、.076923e-01,N=4.212740e-01,x(36)=-2.800000e-01,S=4.282397e-01f=3.378378e-01,N=4.390031e-01,x(37)=-2.600000e-01,S=4.479184e-01f=3.717472e-01,N=4.558002e-01,x(38)=-2.400000e-01,S=4.665441e-01f=4.098361e-01,N=4.716031e-01,x(39)=-2.200000e-01,S=4.839577e-01f=4.524887e-01,N=4.863540e-01,x(40)=-2.000000e-
26、01,S=5.000000e-01f=5.000000e-01,N=5.000000e-01,x(41)=-1.800000e-01,S=5.145385e-01f=5.524862e-01,N=5.124925e-01,x(42)=-1.600000e-01,S=5.275466e-01f=6.097561e-01,N=5.237877e-01,x(43)=-1.400000e-01,S=5.390243e-01f=6.711409e-01,N=5.338463e-01,x(44)=-1.200000e-01,S=5.489717e-01f=7.352941e-01,N=5.426338e-
27、01,x(45)=-1.000000e-01,S=5.573887e-01f=8.000000e-01,N=5.501202e-01,x(46)=-8.000000e-02,S=5.642753e-01f=8.620690e-01,N=5.562800e-01,x(47)=-6.000000e-02,S=5.696316e-01f=9.174312e-01,N=5.610925e-01,x(48)=-4.000000e-02,S=5.734575e-01f=9.615385e-01,N=5.645415e-01,x(49)=-2.000000e-02,f=9.900990e-01,N=5.66
28、6156e-01,S=5.757530e-01x(50)=0, f=1, N=5.673077e-01, S=5.765182e-01x(51)=2.000000e-02,S=5.757530e-01f=9.900990e-01,N=5.666156e-01,x(52)=4.000000e-02,f=9.615385e-01,N=5.645415e-01,x(53)=6.000000e-02,S=5.696316e-01f=9.174312e-01,N=5.610925e-01,x(54)=8.000000e-02,S=5.642753e-01f=8.620690e-01,N=5.562800
29、e-01,x(55)=1.000000e-01,S=5.573887e-01f=8.000000e-01,N=5.501202e-01,x(56)=1.200000e-01,S=5.489717e-01f=7.352941e-01,N=5.426338e-01,x(57)=1.400000e-01,S=5.390243e-01f=6.711409e-01,N=5.338463e-01,x(58)=1.600000e-01,S=5.275466e-01f=6.097561e-01,N=5.237877e-01,x(59)=1.800000e-01,S=5.145385e-01f=5.524862e-01,N
