1、完整版几何证明角平分线模型中级几何证明角平分线模型（中级）【知识要点】1、角平分线:证明两条线段相等）；（1 ）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（作用:（作用：证明两角相等或一（2）逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。条射线是一个角的角平分线）。2、角平分线常见用法（或辅助线作法）垂两边:如图1，已知BP平分ABC，过点 P 作 PA AB，PCBC，贝y PA PC。截两边:如图2，已知BP平分MBN，点A BM上，在BN上截取BCBA，贝y ABP也 CBP。角平分线+平行线7等腰三角形:如图3,已知BP平分ABC ,PA/ / AC ,
2、则 AB AP ;BP如图4,已知(1)三线合一（利用角平分线+垂线7等腰三角形）如图5，已知AD平分BAC，且 ADBC，贝y AB AC , BDCD 。3、角平分线比例定理AB如图6, AD为 ABC的角平分线，则 AC【经典例题】例1、已知如图，ABC中，BC AC，AD平分 CAB，若C 90，求证：AB AC CD ；如图，在Rt ABC中， ACB 90，CD AB于D，AF平分 CAB交CD于E,交CB于F ， 且EG / AB交CB于G。试求：CF与GB的大小关系如何？已知如图， ABC中，BC AC，AD平分 CAB，若 C 108，求证：AB AC BD ；DIE的周例4
3、、如图：已知I是 ABC的内心，DI/AB交BC于点D，EI/AC交BC于E。求证:长等于BC 。AB DE CBE FC 。例5、如图：已知在 ABC中， ABC的平分线与 ACB的外角平分线交于点 D , DE / BC，交AB于 点E，交AC于点F，求证：EF例6、如图，已知 ABC中 BAC 90 ,AB AC,CD垂直于 ABC的平分线BD于D , BD交AC于E ,求证：BE 2CD。BC于D，且0D 3，求【提升训练】1、如图，已知 ABC的周长是21,OB,OC分别平分 ABC和 ACB , ODABC的面积.0，贝y Sa ABO: Sabco:2 如图， ABC的三边AB、
4、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点Sa CAO= .的面积分别为50和39,求3.如图，/ AOB=30 , OP 平分/ AOB , PC/ OB , PD 丄 OB，如果 P C=6，那么4.如图，AD是 ABC的角平分线， DF丄AB，垂足为F, DE=DG， ADG和AED EDF的面积.5已知如图在 ABC中，/ ACB=90 , CD丄AB于D，/ A的平分线交 CD于F, BC于 于 H 求证：EC=CF=EH .6已知：如图，平行四边形 ABCD各角的平分线分别相交于点 E，F，G，H，7如图，等边 ABC中，AO是/ BAC的角平分线，D为AO上一点，以
5、CD为一边且在 CD下方作等边 CDE， 连接BE.(1)求证： ACD BCE ;(2)延长BE至Q，P为BQ上一点，连接 CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长.8.如图，已知在 ABC中，/ B=90，两直角边 AB=7 , 个距离是多少？9已知：如图在 ABC 中，/ C=90，AD 平分/ BAC，交 BC 于 D，若 BC=32，且 BD : CD=9 : 7,求：D 到AB边的距离.10 .如图， ABC中，点D在BC上，记 ABD的面积为 Sl， ACD的面积为S2，若S1: S2=AB : AC ,贝U AD 是 ABC的角平分线请说明理由.11、如图,已知在A
6、BC中，分别以AC, BC为边向外作正BCE、正ACD，BD与AE交于M，求证:(1) AEBD。(2)MC平分DME。EAB12、已知:如图，MBN的平分线。AP 、CP分别是 ABC外角 MAC和NCA的平分线，它们交于点 P，求证：BP为N13、如图，AB 2AC,BAD DAC , DA DB，求证:DCAC。C14、如图，已知 AC / BD、EA、EB分别平分 CAB和DBA,CD 过点 E，求证:AB AC BD 。D15、如图,ABC中，AD是 A的平分线，E,F分别为AB,AC上一点，且 EDF BAF 180，求证：DEDF 。16、已知:AC 平分 BAD, CE AB,
7、 BD 180，求证：AE AD BE。17、已知，在求证：EFABC中，BP、CP为角平分线,BE CF。过P点作EF / BC交AB于E ,交AC于F。18、已知如图,AD 平分 BAC , AC ABBD，求证:119、如图，在四边形 ABCD中，AC平分 BAD，过C作CE AB于E，并且AE -(AB AD)，求 2CD三者之间有怎样的等量关系 ？请写出你的结论并予以证明。23 如图所示，在四边形 ABCD中，/ A=90 ，AD=4，连接 BD，BD丄CD，/ ADB= / C.若P是BC边上一动 点，贝U DP长的最小值为 .25 已知：如图所示， AQ，BM，CN是 ABC的三
8、条角平分线试说明 AQ，BM，26 如图， ABC 中，/ C=90，AD 是角平分线，AC=8，AD=J，求/ B、BC、AB .27 .如图，已知/ BAC=90 , AD 丄 BC 于点 D，/ 1 = / 2, EF II BC 交 AC 于点 F.试说明 AE=CF .ACB=90 , PC=4近,PB=5 , AB=7 , 求 AP 的长.28 如图，已知点 B, C分别在射线 AN , AM上，/ MCB与/ NBC的平分线交于点 P.(1)求证：AP平分/ BAC ;(2)若/29 .如图, ABC 中，AC=BC , AD 平分/ BAC，若 AC+CD=AB，求/ C 的度
9、数. ABC中，D为BC的中点，DE丄BC交/ BAC的平分线于 E，EF丄AB，交AB于F, EG丄AC ,交31 如图，AC的延长线于 G,试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论.32 .已知:P为/ EAF平分线上一点，PB丄AE于B , PC丄AF于C,点M、N分别是射线 AE、AF上的点，且PM=PN .(1)(2)(3)当点在（当点1)M在线段AB 的条件下，在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时（如图AM+AN= AC ;的延长线上时（如图 2），若AC : PC=2 :1），求证：BM=CN ;1, PC=4，求四边形ANPM的面积.33 .已知:（1） 如图（2） 如图1,2,DAB=120当/当/，AC 平分/ DAB，/ B+ / D=180 . B= / D 时，B工/ D时，求证：AB+AD=AC ;猜想（1）中的结论是否发生改变并说明理由.34、如图，已知MAN120，AC平分90，则能得如下两个结论： DC BC ; AD（1）请你证明结论;ABAC ;（2）在图（2）中，把（1）中的条件“ ABCADC90 ”改为ABC ADC 180，其他条件不变，则（1 ） 明理由。中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若 不成立，请说N
