完整版几何证明角平分线模型中级.docx
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完整版几何证明角平分线模型中级
几何证明
角平分线模型
(中级)
【知识要点】
1、角平分线:
证明两条线段相等);
(1)角平分线性质定理:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等(作用:
(作用:
证明两角相等或一
(2)逆定理:
在角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
条射线是一个角的角平分线)。
2、角平分线常见用法(或辅助线作法)
①垂两边:
如图1,已知BP平分
ABC,过点P作PAAB,PC
BC,贝yPAPC。
②截两边:
如图2,已知BP平分
MBN,点ABM上,在BN上截取
BC
BA,贝yABP也CBP。
③角平分线
+平行线7等腰三角形:
如图3,
已知
BP平分
ABC,
PA//AC,
则ABAP;
BP
如图4,
已知
(1)
④三线合一(利用角平分线
+垂线7等腰三角形)
如图5,已知AD平分
BAC,且AD
BC,贝yABAC,BD
CD。
3、角平分线比例定理
AB
如图6,AD为ABC的角平分线,则——
AC
【经典例题】
例1、
已知如图,ABC中,BCAC,AD平分CAB,若C90,求证:
ABACCD;
如图,在RtABC中,ACB90,CDAB于D,AF平分CAB交CD于E,交CB于F,且EG//AB交CB于G。
试求:
CF与GB的大小关系如何?
已知如图,ABC中,BCAC,AD平分CAB,若C108,求证:
ABACBD;
DIE的周
例4、如图:
已知I是ABC的内心,DI//AB交BC于点D,EI//AC交BC于E。
求证:
长等于BC。
A
BDEC
BEFC。
例5、如图:
已知在ABC中,ABC的平分线与ACB的外角平分线交于点D,DE//BC,交AB于点E,交AC于点F,求证:
EF
例6、如图,已知ABC中BAC90,ABAC,CD垂直于ABC的平分线BD于D,BD交AC于E,
求证:
BE2CD。
BC于D,且0D3,求
【提升训练】
1、如图,已知ABC的周长是21,OB,OC分别平分ABC和ACB,OD
ABC的面积.
0,贝ySaABO:
Sabco:
2•如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点
SaCAO=.
的面积分别为50和39,求
3.如图,/AOB=30°,OP平分/AOB,PC//OB,PD丄OB,如果PC=6,那么
4.如图,AD是^ABC的角平分线,DF丄AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和^AED△EDF的面积.
5•已知如图在△ABC中,/ACB=90°,CD丄AB于D,/A的平分线交CD于F,BC于于H•求证:
EC=CF=EH.
6•已知:
如图,平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,H,
7•如图,等边△ABC中,AO是/BAC的角平分线,D为AO上一点,以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连接BE.
(1)求证:
△ACDBCE;
(2)延长BE至Q,P为BQ上一点,连接CP、CQ使CP=CQ=5,若BC=8时,求PQ的长.
8.如图,已知在△ABC中,/B=90°,两直角边AB=7,个距离是多少?
9•已知:
如图在△ABC中,/C=90,AD平分/BAC,交BC于D,若BC=32,且BD:
CD=9:
7,求:
D到
AB边的距离.
10.如图,△ABC中,点D在BC上,记△ABD的面积为Sl,△ACD的面积为S2,若S1:
S2=AB:
AC,贝UAD是^ABC的角平分线•请说明理由.
11、如图,
已知在
ABC中,分别以AC,BC为边向外作正
BCE、正ACD,BD与AE交于M,求证:
(1)AE
BD。
(2)
MC平分
DME。
E
A
B
12、已知:
如图,
MBN的平分线。
AP、
CP分别是ABC外角MAC和
NCA的平分线,它们交于点P,求证:
BP为
N
13、如图,AB2AC,
BADDAC,DADB,求证:
DC
AC。
C
14、如图,已知AC//BD、EA、EB分别平分CAB和
DBA,CD过点E,
求证:
ABACBD。
D
15、如图,
ABC中,AD是A的平分线,E,F分别为AB,AC上一点,且EDFBAF180,求
证:
DE
DF。
16、已知:
AC平分BAD,CEAB,B
D180,求证:
AEADBE。
17、已知,在
求证:
EF
ABC中,BP、CP为角平分线,
BECF。
过P点作EF//BC交AB于E,
交AC于F。
18、已知如图,
AD平分BAC,ACAB
BD,求证:
1
19、如图,在四边形ABCD中,AC平分BAD,过C作CEAB于E,并且AE-(ABAD),求2
CD三者之间有怎样的等量关系?
请写出你的结论并予以证明。
23•如图所示,在四边形ABCD中,/A=90°,AD=4,连接BD,BD丄CD,/ADB=/C.若P是BC边上一动点,贝UDP长的最小值为.
25•已知:
如图所示,AQ,BM,CN是^ABC的三条角平分线•试说明AQ,BM,
26•如图,△ABC中,/C=90,AD是角平分线,AC=8,AD=^J^,求/B、BC、AB.
27.如图,已知/BAC=90°,AD丄BC于点D,/1=/2,EFIIBC交AC于点F.试说明AE=CF.
ACB=90,PC=4近,PB=5,AB=7,求AP的长.
28•如图,已知点B,C分别在射线AN,AM上,/MCB与/NBC的平分线交于点P.
(1)求证:
AP平分/BAC;
(2)若/
29.如图,
△ABC中,AC=BC,AD平分/BAC,若AC+CD=AB,求/C的度数.
△ABC中,D为BC的中点,DE丄BC交/BAC的平分线于E,EF丄AB,交AB于F,EG丄AC,交
31•如图,
AC的延长线于G,试问:
BF与CG的大小如何?
证明你的结论.
32.已知:
P为/EAF平分线上一点,PB丄AE于B,PC丄AF于C,点M、N分别是射线AE、AF上的点,且
PM=PN.
(1)
(2)
(3)
当点
在(
当点
1)
M
在线段AB的条件下,
在线段AB
上,点N在线段AC的延长线上时(如图
AM+AN=AC;
的延长线上时(如图2),若AC:
PC=2:
1),求证:
BM=CN;
1,PC=4,求四边形
ANPM的面积.
33.已知:
(1)如图
(2)如图
1,
2,
DAB=120°
当/
当/
,AC平分/DAB,/B+/D=180°.B=/D时,
B工/D时,
求证:
AB+AD=AC;
猜想
(1)中的结论是否发生改变并说明理由.
34、如图,已知
MAN
120,
AC平分
90,
则能得如下两个结论:
①DCBC;②AD
(1)请你证明结论②;
AB
AC;
(2)在图
(2)中,把
(1)
中的条件“ABC
ADC
90”
改为
ABCADC180,
其他条件不变,则
(1)明理由。
中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说
N
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