1、四年级奥数讲义精编整理第一讲 数学是聪明孩子喜爱的学科1、数学是中国聪明孩子喜爱的学科据说在很多国家，特别是美国，孩子们害怕数学，把数学作为“不受欢迎的学科” 。但在中国，情况很不相同，很多少年儿童喜爱数学，数学成绩也都很好。的确，数学是中国人擅长的学科，如果在美国的中小学，你见到几个中国学生，那么全班数学的前几名就非他们莫属。 在数(sh)数(sh)阶段，中国儿童就显出优势 。 中国人能用一只手表示110，而很多国家非用两只手不可。 中国人早就有位数的概念，而且采用最方便的十进制(不少国家至今还有12进制，60进制的残余)。 中国文字都是单音节，易于背诵，例如乘法表，学生很快就能掌握，再“傻
2、”的人也都知道“不管三七二十一”但外国人，一学乘法，头就大了不信，请你用英语背一下乘法表，真是佶屈聱牙，难以成诵 圆周率3.14159背到小数后五位，中国人花一两分钟就够了可是俄国人为了背这几个数字，专门写了一首诗，第一句三个单词，第二句一个，要背先背诗，我们看来简直自找麻烦，可他们还作为记忆的妙法 四则运算应用题及其算术解法，也是中国数学的一大特色从很古的时候开始，中国人就编了很多应用题，或联系实际，或饶有兴趣，解法简洁优雅，机敏而又多种多样，有助于提高学生学习兴趣，启迪学生智慧例如： “一百个和尚一百个馒头，大和尚一个人吃三个，小和尚三个人吃一个，问有几个大和尚，几个小和尚?” 外国人多半
3、只会列方程解中国却有多种算术解法，如将每个大和尚“变”成9个小和尚，100个馒头表明小和尚是300个，多出200个和尚，是由于每个大和尚变小和尚，多变出8个，从而200825即是大和尚人数小和尚自然是75人。或将一个大和尚与3个小和尚编成一组，平均每人吃一个馒头恰好与总体的平均数相等所以大和尚与小和尚这样编组后不多不少，即大和尚是100(31)25人 中国人善于计算，尤其善于心算古代还有人会用手指计算(所谓“掐指一算”)同时，中国很早就有计算的器械，如算筹、算盘后者可以说是计算机的雏形 在数学的入门阶段算术的学习中，我国的优势显然，所以数学往往是我国聪明的孩子喜爱的学科 几何推理，在我国古代并
4、不发达(但关于几何图形的计算，我国有不少论著)，比希腊人稍逊一筹但是，中国人善于向别人学习目前我国中学生的几何水平，在世界上遥遥领先曾有一个外国教育代表团来到我国一个初中班，他们认为所教的几何内容太深，学生不可能接受，但听课之后，不得不承认这些内容中国的学生不但能够理解，而且掌握得很好 我国数学教育成绩显著在国际数学竞赛中，我国选手获得众多奖牌，就是最有力的证明从1986年我国正式派队参加国际数学奥林匹克以来，中国队已经获得了11次团体冠军成绩骄人当代著名数学家陈省身先生曾对此特别赞赏他说“今年一件值得庆祝的事，是中国在国际数学竞赛中获得第一去年也是第一名”(陈省身1990年10月在台湾成功大
5、学的讲演“怎样把中国建为数学大国”)陈省身先生还预言：“中国将在21世纪成为数学大国”成为数学大国，当然不是一件容易的事，不可能一蹴而就，它需要坚持不懈的努力我们力争进一步普及数学知识，使数学为更多的青少年喜爱，帮助他们取得好的成绩，使喜爱数学的同学得到更好的发展，学到更多的知识和方法2、数字磁铁人们称495是三位数中一个怪数，说它像磁铁：任意一个数字不全相同的三位数，按照一定的规则减来减去，最多不超过六次运算，都会被它“吸引”过去变成495 ！ 信不信由你，它真的这么怪。给定一个三位数，例如784。把这个数中的各位数字(7、8、4)，按照从大到小的顺序重新排列，得到874。显然，它是用7、8
6、、4组成的所有三位数中最大的一个数。同样，可以排成最小的：478。“最大数”和“最小数”相减，有 继续对差数396作同样运算，又有 再对所得的结果作同样的运算，于是至此，如果按照上面的规律继续算下去，结果总是495出现了一个不变的常数495。这是自然数王国的又一件怪事!其他多位数中是不是也有这样的怪数呢?除了495外，四位数中也有类似的怪数6174。 请看下面的例子： 人们将495、6174称为“磁铁数”。把这个事实称为“磁铁数定理”。3、数学回文一提到李白，人们都知道这是我国唐代的大诗人。如果把“李白”两个字颠倒一下，变成“白李”，这也可以是一个人的名字，此人姓白名李。像这样，正着念、反着念
7、都有意义的诗词字句都叫做回文。文学史上，有许多与回文有关的故事。清代，北京有个酒楼叫“天然居”。一次，乾隆皇帝触景生情，以酒楼为题写对联，上联是：客上天然居，居然天上客。但是，这位博学多才的皇帝苦苦思索，却写不出下联。因为下联的后五个字，必须是前五个字的颠倒，又要语意通顺，还要平仄协调，的确是很难的事。直到很久以后，才有位读书人给出了下联：僧游云隐寺，寺隐云游僧。与此类似，数学里也有“回文式”。我们借用上面的对联组成这样一个式子：僧游云隐寺寺隐云游僧现在要问：不同的汉字用不同的数字(09)代替，这个算式能成立吗?能，而且不止一个： 1223113221， 1246226421 13341143
8、3l， 1368228631我们看到，这类等式不仅外形整齐、对称，“内部构造”也很巧妙：每个等式中两位数的十位数字和三位数的百位数字的乘积，正好等于两位数的个位数字和三位数的个位数字的乘积；等式中三位数的十位数字恰好等于个位数字和百位数字的和。例如，在122311322l中，1221，且321；在1269339621中，1623，且963等。掌握了这两个特点，就容易写出这类等式了，并且容易看出，关键是找出满足第一个特点的四个数字，从而三位数的十位数字也就确定了。例如，3692，这时三位数的十位数字是628，可得等式3968228693当然，也可以由9236，又268，得9328668239这两
9、种形式反映了同样四个数之间的关系，可以看作是一个等式的两种形式。那么这类等式共有多少个呢?我们可以从1开始，依次取2，3，9进行组合，然后再从2开始，依次取3，4，9进行组合，看能组合成多少不完全相同的4个数字的乘积，并且第2、第4个数字的和不大于9，就能有多少个不同的等式。 1221，又213，于是有 1223113221； 1331，又314，于是有 1334114331； 1441，又4l5，于是有 1445115441； 1422，又426，于是有 1246226421；依次类推，共可得到33个不同等式。数学里还有“回文数”，其特征是：从左到右读与从右到左读完全一样，例如，101，32
10、123，9999等等。两个相同位数的回文数，如果各位相加时能够“就地消化”，不发生进位情况，那么其和仍是一个回文数。同样，在两个回文数相减时(规定要用大数减小数)，如果不需要从上一位“借”，则其差也是一个回文数。例如：有趣的是，某些回文数在相加时即使要发生“进位”，但其和数却依然是个回文数。例如： 这样的回文数的模式是aaa (共n个a)与bbb(共n个b)，而且a与b应满足关系式ab1l，以及a1，b10。假如你遇到一个不是回文数的普通数，怎样才能使它“变”成回文数呢?办法很简单，只要把这个数加上它的逆序数就行了，这称为一次“操作”(或“变换”)，把这种“操作”反复进行下去，到头来你就可以得
11、出一个回文数。这就是有名的“回文数猜想”。它至今仍然是个谜：说它正确，却无法证明；说它不正确，又找不出一个反例。可能成为说明“回文数猜想”不成立的反例是196，因为有人用电子计算机对这个数进行了几十万步计算，仍然没有出现回文数，但是却没有人能证明这个数永远产生不了回文数。数学家还对“回文质数”进行了大量研究，发现了另外一些“谜”。101，131，353，919，这些自然数既是回文数，又是质数，叫做“回文质数”。第一个谜是：回文质数有无穷多个吗?数学家猜想它有无穷多个，但也仅仅是猜想。181和191，373和383，30103和30203等等，它们都是回文质数，并且每一对中间的数字是连续的，而其
12、他数字都是相同的，这样的两个数叫做“回文质数对”。第二个谜是：回文质数对有无穷多个吗?至今也没有解决。 数学家还发现，在回文数中，平方数是非常多的，例如，1211l2，1232111l2，1234321111l2，1234567898765432l1111111112。立方数也有类似情况，例如，133l113，136763111134、奇怪的无穷多整数有多少个?无穷个。偶数有多少个?无穷个。这样的问答是正确的。如果我问你：整数与偶数，哪一种数多?恐怕不少同学都会说，当然整数比偶数多了。进一步，恐怕还会有同学告诉我，“偶数的个数等于整数个数的一半”。什么道理呢?那是因为“奇数与偶数合起来就是整数
13、。而奇数与偶数是相同排列的，所以奇数与偶数一样多，大家都是整数的一半”。整数包括偶数，偶数是整数的一部分，全体大于部分，整数比偶数多，这不是显而易见、再明白不过的事吗?你认为这样回答有道理吗?16世纪意大利著名科学家伽利略的看法却与此相反，他曾提出过一个著名的悖论，叫做“伽利略悖论”，悖论的内容是：“整数和偶数一样多。”这似乎违背常识。不过，伽利略所说的，也绝不是没有道理。首先，我们论述的对象都是无穷个，而不是有限个，对于有限个来说，“全体大于部分”无可争议。从0到10的整数比从1到10的偶数就是多。但是，把这个用到无穷上就要重新考虑了。对于有限来说，说两堆物体数量一样多，只要把各堆物体数一下
14、，看看两堆物体的数量是否相等就可以。这个办法对“无穷”来说是不适用的，因为“无穷”本身就包括“数不完”的意思在内。看起来，我们得另想办法。据说，居住在非洲的有些部族，数数最多不超过3，但是他们却知道自己放牧的牛羊是否有丢失。办法是，早上开圈放羊时，让羊一只一只往外出。每出一只羊，牧羊人就拾一块小石头。显然，羊的个数和小石头的个数一样多。傍晚，放牧归来，每进圈一只羊，牧羊人从小石头堆中扔掉一块石头。如果羊全部进了圈，而小石头一个没剩，说明羊一只也没丢。非洲牧羊人实际上采取了“一对一”的办法，两堆物体只要能建立起这种一对一的关系，就可以说明两堆物体的数量一样多。这种办法同样可以用在无穷上，看看要比
15、较的两部分之间能否建立起这种一对一的关系。伽利略在整数和偶数之间建立的对应关系是 0 l 2 3 4 2 4 6 8 10 按这样的一种关系，给出一个整数，就可以找出一个偶数与之对应，给出的整数不同，与之相对应的偶数也不同；反过来，对于每一个偶数，都可以找到一个自然数与之对应，偶数不同，所对应的整数也不同，由此我们称整数与偶数之间建立了一对一的关系，所以我们说：“整数与偶数一样多”是正确的。这告诉我们，“无穷”是不能用“有限”中的法则来衡量的，许多对“有限”成立的性质，对“无穷”未必都成立。5、难逃“如来佛的掌心”西游记里的孙悟空是一个神通广大、本领高超的人物，他能七十二变，变虫、变树、变鬼怪
16、；还会腾云驾雾，一个筋斗可翻出十万八千里外。但不管他怎样变幻，一蹦有多远，总还是落在如来佛的掌心里，难以逃脱。当然，这只是一个神话故事。但是数学家发现，这样的现象竟然也会在数学的变幻中出现。 任意取一个自然数，不论这个数有多大，是奇数，还是偶数，它总会跌进一个循环的怪圈“421”里去，或者说最终总能得到1。这些数字也像孙悟空的筋斗一样，翻不出如来佛的掌心。这个特定的规则是什么呢?其实很简单：一个自然数，如果是偶数，那么用2去除它；如果是奇数，则将它乘以3并加1，如此反复计算，就会得到上述的结论。让我们试一试。比如，3是奇数，乘以3再加1，得10，10是偶数，除以2，得5，5是奇数，乘以3再加1
17、，得16，如此继续计算下去，最后变成1。22223+123+13 10 5 16 8 4 2 1。再如，从7出发：7221134175226134020101。如果从27出发，你会发现，得数忽大忽小，七拐八变，经过一百多步，最后也是回到1，你来试一试，好吗?有位数学家用计算机对7000亿以下的自然数逐一进行试算，结果无一例外。三十多年前，日本数学家角谷静试图证明它，但几经挫折，失败了。后来，又有许多数学家作尝试，也都没能成功，现在，人们只能把它叫做“角谷猜想”。6、趣谈“反证法”三个古希腊哲学家，由于争论问题再加上天气炎热都感到十分疲倦，于是在花园里的一棵大树下躺着休息，不一会儿都睡着了。这时
18、一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额。三个人醒来以后，彼此看了看，都笑了起来。因为每个人都以为是其他两人在互相取笑。隔了一会儿其中有一个人突然不笑了，因为他发觉自己的脸也被涂黑了。他是怎样觉察到的呢?实际上，发现自己脸被涂黑的人，并没有也不可能直接看到自己的脸。而是据他观察另外两人的表情进行分析、思考后，从反面说明自己的脸被涂黑了。为了叙述方便用甲、乙、丙代表这三个哲学家，并假设甲已发觉自己的脸被涂黑了。那么甲这样想：我们三个人都可以认为自己的脸没被涂黑。如果我的脸没给涂黑，那么乙能看到(当然对于丙也是一样的)，乙既然看到了我的脸没给涂黑，同时他又认为他的脸也没涂黑，那么乙就应该对丙的发笑而感
19、到奇怪。因为在这种情况下(甲、乙的脸都是干净的)丙就没有发笑的理由了。然而现在的事实是乙对丙发笑并不感到奇怪，可见乙是认为丙在笑我。由此可知，我的脸也被涂黑了。像这样，为了说明某一结论是正确的但不从正面直接说明而是通过说明它的反面是错误的，从而断定它本身是正确的方法，就叫“反证法”。对于某些从正面难以解答的数学题，采用反证法常常能收到出奇制胜的效果。例题 有10只鸽子飞进甲、乙、丙三个洞，那么至少有一个洞要飞进4只鸽子或者更多的鸽子。这结论正确吗?解：假设结论不正确，也就是说，假如一个洞里最多飞进了3只鸽子，那么3个洞里的鸽子总数最多是9只，这与原题的条件“有10只鸽子飞进3个洞里”矛盾。因此
20、，假设是错的，原题结论“至少有一个洞里飞进4只或更多的鸽子”是正确的。你看，问题就这样轻松地解决了。反证法的思路是多么奇妙啊!难怪英国近代数学家哈代称赞“反证法”是“数学家最有力的一件武器”“比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法还要高明”。象棋弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让给对方。第二讲 找规律知识要点与学法指导： 一、观察是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律： 1. 根据每相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数。 根据相隔的每两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数。 2. 要善于从整
21、体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律。 3. 数据之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。二、对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考：1. 对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析。2. 对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。3. 对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。例1 先找出下面数列的规律，并根据规律在括号里填上适当
22、的数。1、4、7、10、（ ）、16、19【分析与解】在这列数中,相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：10313或163=13像上面这样按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。在例1这个数列中，因为每相邻两个数的差都相等，所以叫做等差数列。试一试1先找出下面数列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。2，5，8，（ ），14，17例2 先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。 1、2、4、7、（ ）、16、22【分析与解】在这列数中，前4个数每相邻的两个数的差依次是1、2、3。由此可以推算7比括号里的数少4，括号里应填：7411或：16
23、511试一试2 先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。 3，4，6，9，13，（ ），24例3 先找出规律，然后在括号里填上适当的数。23、4、20、6、17、8、（ ）、（ ）、11、12【分析与解】在这列数中，可以分成两个数列，即第1、3、5、7、9的数排成一列；第2、4、6、8的数排成一列；这样就不难看出它们之间的规律了，分成的两个数列为23、20、17、（ ）、11；4、6、8、（ ）12，应填的两个数分别为14、10。试一试3 先找出规律，然后在括号里填上适当的数。 （ ），21，2，18，4，15，6，（ ），（ ）9，10例4 在数列1、1、2、3、5、8、13、（
24、）、34、55中，括号里应填什么数？【分析与解】经仔细观察、分析，不难发现：从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和。根据这一规律，括号里应填的数为：81321，或341321上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”。试一试4先找出规律，然后在括号里填上适当的数。 3，3，6，9，15，24，（ ），63，（ ），165例5 下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在里填上适当的数。（8、4）、（5、7）、（10、2）、（、9）【分析与解】经仔细观察、分析，不难发现：每个括号里的两个数相加的和都是12。根据这一规律，里所填的数应为：1293试一试5
25、在里填上适当的数 （4、10） （3、11） （2、12） （、9）例6 根据下表中数的排列规律，在空格里填上适当的数。12186815748【分析与解】经仔细观察、分析表格中的数可以发现：12618，8715，即每一横行中间的数等于两边的两个数的和。依此规律，空格中应填的数为：4812。试一试6根据下表中数的排列规律，在空格里填上适当的数。1266817148例7 根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？【分析与解】经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系： 5 60 6 4 80 8 根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为： 8 240 24括
26、号里应填的数为：8301024试一试7 找规律写图形中？所表示的数。36？192821874395例8 找规律计算。（1）8118（81）97963（2）7227（72）95945（3）6336（）99【分析与解】经仔细观察、分析可以发现：一个两位数与交换它的十位、个位位置后得到的两位数相减，只要将十位与个位上两个数字的差乘以9，所得的积就是这两个数的差。6336（63）93927试一试8 （1）5445（ ）9（ ）（ ）（ ） （2）5225 （3）9669 例9 用“格子乘法”计算13572468。【分析与解】 1. 格子乘法：500多年前，意大利的一本算术书中讲述了一种“格子乘法”，后
27、来传入中国，在明朝的算法统宗中称为“铺地锦”。2. 例如：计算13572468 先画一个矩形，把它分成44个小格，在小格的上方和右方依次写上乘数和被乘数的各个数字，再用对角线把小格一分为二，分别记录上述各位数字相应乘积的十位数与个位数，把这些乘积从右到左，沿斜线方向相加，满十进一。最后得出：135724683349076试一试9 用格子乘法计算4678 35746练习二1. 先找出下面各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。（1）3、6、9、12、（ ）、18、21（2）33、28、23、（ ）、13、（ ）、3（3）3、6、12、（ ）、48、（ ）、192（4）128、64、32、（
28、）、8、（ ）、22. 先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。（1）10、11、13、16、20、（ ）、31（2）3、2、5、2、7、2、（ ）、（ ）、11、2（3）81、64、49、36、（ ）、16、（ ）、4、1、0（4）30、2、26、2、22、2、（ ）、（ ）、14、23. 先找出规律，然后在括号里填上适当的数（先把这列数分成两个数列，再找规律）。（1）13、2、15、4、17、6、（ ）、（ ）（2）3、29、4、28、6、26、9、23、（ ）、（ ）、18、14（3）32、20、29、18、26、16、（ ）、（ ）、20、12（4）2、9、6、10、18、1
29、1、54、（ ）、（ ）、13、4864. 先找出规律，然后在括号里填上适当的数。（1）2、2、4、6、10、16、（ ）、（ ）（2）34、21、13、8、5、（ ）、2、（ ）（3）3、7、15、31、63、（ ）、（ ）（4）1、3、6、8、16、18、（ ）、（ ）、76、785. 下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在里填上适当的数。（1）（6、9）、（7、8）、（10、5）、（、13）（2）（1、24）、（2、12）、（3、8）、（4、）（3）（1、3）、（5、9）、（7、13）、（9、）（4）（64、62）、（48、46）、（29、27）、（15、）（5）（8、6）、（16、3）、（24、2）、（12、）6. 找规律，在空格里填上适当的数。7. 根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数。 （3） （4）8. 利用规律计算。（1）5335 （2）8228 （3）9229（4）6116 （5）9559 （6）75579. 找规律计算（1）6226（62）1181188（2）8778（87）111511165（3）5445（）1111（4）9669（）1111（5）7447（）1111 10. 用格子乘法计算下面各题。 5238 69721 346273 14633276 7536 1253318 20
