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四年级奥数讲义精编整理
第一讲数学是聪明孩子喜爱的学科
1、数学是中国聪明孩子喜爱的学科
据说在很多国家,特别是美国,孩子们害怕数学,把数学作为“不受欢迎的学科”。
但在中国,情况很不相同,很多少年儿童喜爱数学,数学成绩也都很好。
的确,数学是中国人擅长的学科,如果在美国的中小学,你见到几个中国学生,那么全班数学的前几名就非他们莫属。
在数(shǔ)数(shù)阶段,中国儿童就显出优势。
中国人能用一只手表示1~10,而很多国家非用两只手不可。
中国人早就有位数的概念,而且采用最方便的十进制(不少国家至今还有12进制,60进制的残余)。
中国文字都是单音节,易于背诵,例如乘法表,学生很快就能掌握,再“傻”的人也都知道“不管三七二十一”.但外国人,一学乘法,头就大了.不信,请你用英语背一下乘法表,真是佶屈聱牙,难以成诵.
圆周率π=3.14159….背到小数后五位,中国人花一两分钟就够了.可是俄国人为了背这几个数字,专门写了一首诗,第一句三个单词,第二句一个,……要背π先背诗,我们看来简直自找麻烦,可他们还作为记忆的妙法.
四则运算应用题及其算术解法,也是中国数学的一大特色.从很古的时候开始,中国人就编了很多应用题,或联系实际,或饶有兴趣,解法简洁优雅,机敏而又多种多样,有助于提高学生学习兴趣,启迪学生智慧.例如:
“一百个和尚一百个馒头,大和尚一个人吃三个,小和尚三个人吃一个,问有几个大和尚,几个小和尚?
”
外国人多半只会列方程解.中国却有多种算术解法,如将每个大和尚“变”成9个小和尚,100个馒头表明小和尚是300个,多出200个和尚,是由于每个大和尚变小和尚,多变出8个,从而200÷8=25即是大和尚人数.小和尚自然是75人。
或将一个大和尚与3个小和尚编成一组,平均每人吃一个馒头.恰好与总体的平均数相等.所以大和尚与小和尚这样编组后不多不少,即大和尚是
100÷(3+1)=25人.
中国人善于计算,尤其善于心算.古代还有人会用手指计算(所谓“掐指一算”).同时,中国很早就有计算的器械,如算筹、算盘.后者可以说是计算机的雏形.
在数学的入门阶段——算术的学习中,我国的优势显然,所以数学往往是我国聪明的孩子喜爱的学科.
几何推理,在我国古代并不发达(但关于几何图形的计算,我国有不少论著),比希腊人稍逊一筹.但是,中国人善于向别人学习.目前我国中学生的几何水平,在世界上遥遥领先.曾有一个外国教育代表团来到我国一个初中班,他们认为所教的几何内容太深,学生不可能接受,但听课之后,不得不承认这些内容中国的学生不但能够理解,而且掌握得很好.
我国数学教育成绩显著.在国际数学竞赛中,我国选手获得众多奖牌,就是最有力的证明.从1986年我国正式派队参加国际数学奥林匹克以来,中国队已经获得了11次团体冠军.成绩骄人.当代著名数学家陈省身先生曾对此特别赞赏.他说“今年一件值得庆祝的事,是中国在国际数学竞赛中获得第一.……去年也是第一名.”(陈省身1990年10月在台湾成功大学的讲演“怎样把中国建为数学大国”)陈省身先生还预言:
“中国将在21世纪成为数学大国.”
成为数学大国,当然不是一件容易的事,不可能一蹴而就,它需要坚持不懈的努力.我们力争进一步普及数学知识,使数学为更多的青少年喜爱,帮助他们取得好的成绩,使喜爱数学的同学得到更好的发展,学到更多的知识和方法.
2、数字磁铁
人们称495是三位数中一个怪数,说它像磁铁:
任意一个数字不全相同的三位数,按照一定的规则减来减去,最多不超过六次运算,都会被它“吸引”过去——变成495!
信不信由你,它真的这么怪。
给定一个三位数,例如784。
把这个数中的各位数字(7、8、4),按照从大到小的顺序重新排列,得到874。
显然,它是用7、8、4组成的所有三位数中最大的一个数。
同样,可以排成最小的:
478。
“最大数”和“最小数”相减,有
继续对差数396作同样运算,又有
再对所得的结果作同样的运算,于是
至此,如果按照上面的规律继续算下去,结果总是495——出现了一个不变的常数495。
这是自然数王国的又一件怪事!
其他多位数中是不是也有这样的怪数呢?
除了495外,四位数中也有类似的怪数6174。
请看下面的例子:
人们将495、6174称为“磁铁数”。
把这个事实称为“磁铁数定理”。
3、数学回文
一提到李白,人们都知道这是我国唐代的大诗人。
如果把“李白”两个字颠倒一下,变成“白李”,这也可以是一个人的名字,此人姓白名李。
像这样,正着念、反着念都有意义的诗词字句都叫做回文。
文学史上,有许多与回文有关的故事。
清代,北京有个酒楼叫“天然居”。
一次,乾隆皇帝触景生情,以酒楼为题写对联,上联是:
客上天然居,居然天上客。
但是,这位博学多才的皇帝苦苦思索,却写不出下联。
因为下联的后五个字,必须是前五个字的颠倒,又要语意通顺,还要平仄协调,的确是很难的事。
直到很久以后,才有位读书人给出了下联:
僧游云隐寺,寺隐云游僧。
与此类似,数学里也有“回文式”。
我们借用上面的对联组成这样一个式子:
僧游×云隐寺=寺隐云×游僧
现在要问:
不同的汉字用不同的数字(0~9)代替,这个算式能成立吗?
能,而且不止一个:
12×231=132×21,12×462=264×21
13×341=143×3l,13×682=286×31
……
我们看到,这类等式不仅外形整齐、对称,“内部构造”也很巧妙:
每个等式中两位数的十位数字和三位数的百位数字的乘积,正好等于两位数的个位数字和三位数的个位数字的乘积;等式中三位数的十位数字恰好等于个位数字和百位数字的和。
例如,在12×231=132×2l中,1×2=2×1,且3=2+1;在12×693=396×21中,1×6=2×3,且9=6+3等。
掌握了这两个特点,就容易写出这类等式了,并且容易看出,关键是找出满足第一个特点的四个数字,从而三位数的十位数字也就确定了。
例如,3×6=9×2,这时三位数的十位数字是6+2=8,可得等式
39×682=286×93
当然,也可以由9×2=3×6,又2+6=8,得
93×286=682×39
这两种形式反映了同样四个数之间的关系,可以看作是一个等式的两种形式。
那么这类等式共有多少个呢?
我们可以从1开始,依次取2,3,…,9进行组合,然后再从2开始,依次取3,4,…,9进行组合,……看能组合成多少不完全相同的4个数字的乘积,并且第2、第4个数字的和不大于9,就能有多少个不同的等式。
1×2=2×1,又2+1=3,于是有
12×231=132×21;
1×3=3×1,又3+1=4,于是有
13×341=143×31;
1×4=4×1,又4+l=5,于是有
14×451=154×41;
1×4=2×2,又4+2=6,于是有
12×462=264×21;
依次类推,共可得到33个不同等式。
数学里还有“回文数”,其特征是:
从左到右读与从右到左读完全一样,例如,101,32123,9999等等。
两个相同位数的回文数,如果各位相加时能够“就地消化”,不发生进位情况,那么其和仍是一个回文数。
同样,在两个回文数相减时(规定要用大数减小数),如果不需要从上一位“借”,则其差也是一个回文数。
例如:
有趣的是,某些回文数在相加时即使要发生“进位”,但其和数却依然是个回文数。
例如:
这样的回文数的模式是aa…a(共n个a)与bb…b(共n个b),而且a与b应满足关系式a+b=1l,以及a>1,b<10。
假如你遇到一个不是回文数的普通数,怎样才能使它“变”成回文数呢?
办法很简单,只要把这个数加上它的逆序数就行了,这称为一次“操作”(或“变换”),把这种“操作”反复进行下去,到头来你就可以得出一个回文数。
这就是有名的“回文数猜想”。
它至今仍然是个谜:
说它正确,却无法证明;说它不正确,又找不出一个反例。
可能成为说明“回文数猜想”不成立的反例是196,因为有人用电子计算机对这个数进行了几十万步计算,仍然没有出现回文数,但是却没有人能证明这个数永远产生不了回文数。
数学家还对“回文质数”进行了大量研究,发现了另外一些“谜”。
101,131,353,919,这些自然数既是回文数,又是质数,叫做“回文质数”。
第一个谜是:
回文质数有无穷多个吗?
数学家猜想它有无穷多个,但也仅仅是猜想。
181和191,373和383,30103和30203等等,它们都是回文质数,并且每一对中间的数字是连续的,而其他数字都是相同的,这样的两个数叫做“回文质数对”。
第二个谜是:
回文质数对有无穷多个吗?
至今也没有解决。
数学家还发现,在回文数中,平方数是非常多的,例如,
121=1l2,12321=11l2,1234321=111l2,…,1234567898765432l
=1111111112。
立方数也有类似情况,例如,133l=113,1367631=1113
4、奇怪的无穷多
整数有多少个?
无穷个。
偶数有多少个?
无穷个。
这样的问答是正确的。
如果我问你:
整数与偶数,哪一种数多?
恐怕不少同学都会说,当然整数比偶数多了。
进一步,恐怕还会有同学告诉我,“偶数的个数等于整数个数的一半”。
什么道理呢?
那是因为“奇数与偶数合起来就是整数。
而奇数与偶数是相同排列的,所以奇数与偶数一样多,大家都是整数的一半”。
整数包括偶数,偶数是整数的一部分,全体大于部分,整数比偶数多,这不是显而易见、再明白不过的事吗?
你认为这样回答有道理吗?
16世纪意大利著名科学家伽利略的看法却与此相反,他曾提出过一个著名的悖论,叫做“伽利略悖论”,悖论的内容是:
“整数和偶数一样多。
”这似乎违背常识。
不过,伽利略所说的,也绝不是没有道理。
首先,我们论述的对象都是无穷个,而不是有限个,对于有限个来说,“全体大于部分”无可争议。
从0到10的整数比从1到10的偶数就是多。
但是,把这个用到无穷上就要重新考虑了。
对于有限来说,说两堆物体数量一样多,只要把各堆物体数一下,看看两堆物体的数量是否相等就可以。
这个办法对“无穷”来说是不适用的,因为“无穷”本身就包括“数不完”的意思在内。
看起来,我们得另想办法。
据说,居住在非洲的有些部族,数数最多不超过3,但是他们却知道自己放牧的牛羊是否有丢失。
办法是,早上开圈放羊时,让羊一只一只往外出。
每出一只羊,牧羊人就拾一块小石头。
显然,羊的个数和小石头的个数一样多。
傍晚,放牧归来,每进圈一只羊,牧羊人从小石头堆中扔掉一块石头。
如果羊全部进了圈,而小石头一个没剩,说明羊一只也没丢。
非洲牧羊人实际上采取了“一对一”的办法,两堆物体只要能建立起这种一对一的关系,就可以说明两堆物体的数量一样多。
这种办法同样可以用在无穷上,看看要比较的两部分之间能否建立起这种一对一的关系。
伽利略在整数和偶数之间建立的对应关系是.
0l234…
↓↓↓↓↓
246810…
按这样的一种关系,给出一个整数,就可以找出一个偶数与之对应,给出的整数不同,与之相对应的偶数也不同;反过来,对于每一个偶数,都可以找到一个自然数与之对应,偶数不同,所对应的整数也不同,由此我们称整数与偶数之间建立了一对一的关系,所以我们说:
“整数与偶数一样多”是正确的。
这告诉我们,“无穷”是不能用“有限”中的法则来衡量的,许多对“有限”成立的性质,对“无穷”未必都成立。
5、难逃“如来佛的掌心”
《西游记》里的孙悟空是一个神通广大、本领高超的人物,他能七十二变,变虫、变树、变鬼怪;还会腾云驾雾,一个筋斗可翻出十万八千里外。
但不管他怎样变幻,一蹦有多远,总还是落在如来佛的掌心里,难以逃脱。
当然,这只是一个神话故事。
但是数学家发现,这样的现象竟然也会在数学的变幻中出现。
任意取一个自然数,不论这个数有多大,是奇数,还是偶数,它总会跌进一个循环的怪圈“4—2—1”里去,或者说最终总能得到1。
这些数字也像孙悟空的筋斗一样,翻不出如来佛的掌心。
这个特定的规则是什么呢?
其实很简单:
一个自然数,如果是偶数,那么用2去除它;如果是奇数,则将它乘以3并加1,如此反复计算,就会得到上述的结论。
让我们试一试。
比如,3是奇数,乘以3再加1,得10,10是偶数,除以2,得5,5是奇数,乘以3再加1,得16,如此继续计算下去,最后变成1。
÷2
÷2
÷2
÷2
×3+1
÷2
×3+1
3105168421。
再如,从7出发:
7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→…→1。
如果从27出发,你会发现,得数忽大忽小,七拐八变,经过一百多步,最后也是回到1,你来试一试,好吗?
有位数学家用计算机对7000亿以下的自然数逐一进行试算,结果无一例外。
三十多年前,日本数学家角谷静试图证明它,但几经挫折,失败了。
后来,又有许多数学家作尝试,也都没能成功,现在,人们只能把它叫做“角谷猜想”。
6、趣谈“反证法”
三个古希腊哲学家,由于争论问题再加上天气炎热都感到十分疲倦,于是在花园里的一棵大树下躺着休息,不一会儿都睡着了。
这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额。
三个人醒来以后,彼此看了看,都笑了起来。
因为每个人都以为是其他两人在互相取笑。
隔了一会儿其中有一个人突然不笑了,因为他发觉自己的脸也被涂黑了。
他是怎样觉察到的呢?
实际上,发现自己脸被涂黑的人,并没有也不可能直接看到自己的脸。
而是据他观察另外两人的表情进行分析、思考后,从反面说明自己的脸被涂黑了。
为了叙述方便用甲、乙、丙代表这三个哲学家,并假设甲已发觉自己的脸被涂黑了。
那么甲这样想:
我们三个人都可以认为自己的脸没被涂黑。
如果我的脸没给涂黑,那么乙能看到(当然对于丙也是一样的),乙既然看到了我的脸没给涂黑,同时他又认为他的脸也没涂黑,那么乙就应该对丙的发笑而感到奇怪。
因为在这种情况下(甲、乙的脸都是干净的).丙就没有发笑的理由了。
然而现在的事实是乙对丙发笑并不感到奇怪,可见乙是认为丙在笑我。
由此可知,我的脸也被涂黑了。
像这样,为了说明某一结论是正确的.但不从正面直接说明.而是通过说明它的反面是错误的,从而断定它本身是正确的方法,就叫“反证法”。
对于某些从正面难以解答的数学题,采用反证法常常能收到出奇制胜的效果。
例题有10只鸽子飞进甲、乙、丙三个洞,那么至少有一个洞要飞进4只鸽子或者更多的鸽子。
这结论正确吗?
解:
假设结论不正确,也就是说,假如一个洞里最多飞进了3只鸽子,那么3个洞里的鸽子总数最多是9只,这与原题的条件“有10只鸽子飞进3个洞里”矛盾。
因此,假设是错的,原题结论“至少有一个洞里飞进4只或更多的鸽子”是正确的。
你看,问题就这样轻松地解决了。
反证法的思路是多么奇妙啊!
难怪英国近代数学家哈代称赞“反证法”是“数学家最有力的一件武器”.“比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法还要高明”。
象棋弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子,数学家索性把全局拱手让给对方。
第二讲找规律
知识要点与学法指导:
一、观察是解决问题的根据。
通过观察,得以揭示出事物的发展和变化规律,在一般情况下,我们可以从以下几个方面来找规律:
1.根据每相邻两个数之间的关系,找出规律,推断出所要填的数。
根据相隔的每两个数之间的关系,找出规律,推断出所要填的数。
2.要善于从整体上把握数据之间的联系,从而很快找出规律。
3.数据之间的联系往往可以从不同的角度来理解,只要言之有理,所得出的规律都可以认为是正确的。
二、对于较复杂的按规律填数的问题,我们可以从以下几个方面来思考:
1.对于几列数组成的一组数变化规律的分析,需要我们灵活地思考,没有一成不变的方法,有时需要综合运用其他知识,一种方法不行,就要及时调整思路,换一种方法再分析。
2.对于那些分布在某些图中的数,它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关,这是我们解这类题的突破口。
3.对于找到的规律,应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。
例1先找出下面数列的规律,并根据规律在括号里填上适当的数。
1、4、7、10、()、16、19
【分析与解】
在这列数中,相邻的两个数的差都是3,即每一个数加上3都等于后面的数。
根据这一规律,括号里应填的数为:
10+3=13或16-3=13
像上面这样按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
在例1这个数列中,因为每相邻两个数的差都相等,所以叫做等差数列。
试一试1
先找出下面数列的规律,并根据规律在括号里填上适当的数。
2,5,8,(),14,17
例2先找出下列数排列的规律,然后在括号里填上适当的数。
1、2、4、7、()、16、22
【分析与解】
在这列数中,前4个数每相邻的两个数的差依次是1、2、3。
由此可以推算7比括号里的数少4,括号里应填:
7+4=11或:
16-5=11
试一试2
先找出下列数排列的规律,然后在括号里填上适当的数。
3,4,6,9,13,(),24
例3先找出规律,然后在括号里填上适当的数。
23、4、20、6、17、8、()、()、11、12
【分析与解】
在这列数中,可以分成两个数列,即第1、3、5、7、9的数排成一列;第2、4、6、8的数排成一列;这样就不难看出它们之间的规律了,分成的两个数列为23、20、17、()、11;4、6、8、()12,应填的两个数分别为14、10。
试一试3
先找出规律,然后在括号里填上适当的数。
(),21,2,18,4,15,6,(),()9,10
例4在数列1、1、2、3、5、8、13、()、34、55……中,括号里应填什么数?
【分析与解】
经仔细观察、分析,不难发现:
从第三个数开始,每一个数都等于它前面两个数的和。
根据这一规律,括号里应填的数为:
8+13=21,或34-13=21
上面这个数列叫做斐波那切(意大利古代著名数学家)数列,也叫做“兔子数列”。
试一试4
先找出规律,然后在括号里填上适当的数。
3,3,6,9,15,24,(),63,(),165……
例5下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的,在□里填上适当的数。
(8、4)、(5、7)、(10、2)、(□、9)
【分析与解】
经仔细观察、分析,不难发现:
每个括号里的两个数相加的和都是12。
根据这一规律,□里所填的数应为:
12-9=3
试一试5
在□里填上适当的数
(4、10)(3、11)(2、12)(□、9)
例6根据下表中数的排列规律,在空格里填上适当的数。
12
18
6
8
15
7
4
8
【分析与解】
经仔细观察、分析表格中的数可以发现:
12+6=18,8+7=15,即每一横行中间的数等于两边的两个数的和。
依此规律,空格中应填的数为:
4+8=12。
试一试6
根据下表中数的排列规律,在空格里填上适当的数。
12
6
6
8
1
7
14
8
例7根据前面图形中的数之间的关系,想一想第三个图形的括号里应填什么数?
【分析与解】
经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系:
5606
4808
根据这一规律,第三个圈中右下角应填的数为:
824024
括号里应填的数为:
8×30÷10=24
试一试7
找规律写图形中?
所表示的数。
3
6
?
19
2
8
2
18
7
4
39
5
例8找规律计算。
(1)81-18=(8-1)×9=7×9=63
(2)72-27=(7-2)×9=5×9=45
(3)63-36=(□-□)×9=□×9=□
【分析与解】
经仔细观察、分析可以发现:
一个两位数与交换它的十位、个位位置后得到的两位数相减,只要将十位与个位上两个数字的差乘以9,所得的积就是这两个数的差。
63-36=(6-3)×9=3×9=27
试一试8
(1)54-45=()×9=()×()=()
(2)52-25=(3)96-69=
例9用“格子乘法”计算1357×2468。
【分析与解】
1.格子乘法:
500多年前,意大利的一本算术书中讲述了一种“格子乘法”,后来传入中国,在明朝的《算法统宗》中称为“铺地锦”。
2.例如:
计算1357×2468
先画一个矩形,把它分成4×4个小格,在小格的上方和右方依次写上乘数和被乘数的各个数字,再用对角线把小格一分为二,分别记录上述各位数字相应乘积的十位数与个位数,把这些乘积从右到左,沿斜线方向相加,满十进一。
最后得出:
1357×2468=3349076
试一试9
用格子乘法计算46×78357×46
练习二
1.先找出下面各列数的排列规律,然后在括号里填上适当的数。
(1)3、6、9、12、()、18、21
(2)33、28、23、()、13、()、3
(3)3、6、12、()、48、()、192
(4)128、64、32、()、8、()、2
2.先找出下列数排列的规律,然后在括号里填上适当的数。
(1)10、11、13、16、20、()、31
(2)3、2、5、2、7、2、()、()、11、2
(3)81、64、49、36、()、16、()、4、1、0
(4)30、2、26、2、22、2、()、()、14、2
3.先找出规律,然后在括号里填上适当的数(先把这列数分成两个数列,再找规律)。
(1)13、2、15、4、17、6、()、()
(2)3、29、4、28、6、26、9、23、()、()、18、14
(3)32、20、29、18、26、16、()、()、20、12
(4)2、9、6、10、18、11、54、()、()、13、486
4.先找出规律,然后在括号里填上适当的数。
(1)2、2、4、6、10、16、()、()
(2)34、21、13、8、5、()、2、()
(3)3、7、15、31、63、()、()
(4)1、3、6、8、16、18、()、()、76、78
5.下面括号里的两个数是按一定的规律组合的,在□里填上适当的数。
(1)(6、9)、(7、8)、(10、5)、(□、13)
(2)(1、24)、(2、12)、(3、8)、(4、□)
(3)(1、3)、(5、9)、(7、13)、(9、□)
(4)(64、62)、(48、46)、(29、27)、(15、□)
(5)(8、6)、(16、3)、(24、2)、(12、□)
6.找规律,在空格里填上适当的数。
7.根据前面图形中数之间的关系,想一想第三个图形的括号里应填什么数。
(3)
(4)
8.利用规律计算。
(1)53-35
(2)82-28(3)92-29
(4)61-16(5)95-59(6)75-57
9.找规律计算
(1)62+26=(6+2)×11=8×11=88
(2)87+78=(8+7)×11=15×11=165
(3)54+45=(□+□)×11=□×11=□
(4)96+69=(□+□)×11=□×11=□
(5)74+47=(□+□)×11=□×11=□
10.用格子乘法计算下面各题。
52×3869×721346×2731463×3276
75×361253×31820
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