1、1勾股定理1第十八章勾股定理 18.1勾股定理第1课时勾股定理 1.了解勾股定理的发现过程. 2.掌握勾股定理的内容. 3.会用面积法证明勾股定理. 自学指导：阅读课本64页67页，完成下列问题. 知识探究 1.毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现了 . 2.通过你的观察，你发现了等腰直角三角形 . 3.命题一：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边为c，那么 . 4.汉代赵爽利用弦图证明了命题一，把这个命题称作 .而西方人认为是毕达哥拉斯证明，所以西方人称作 . 自学反馈 1.在直角三角形中，两条直角边的平方和等于 . 2.在直角三角形中，两直角边分别为3、4，那么斜边为 . 3.在直角三角
2、形中，斜边为10，一直角边为6，则另一直角边为 . 教师点拨：运用勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”计算.活动1小组讨论 探究一：探究勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方. (1)如图：每个方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A、B、C、A、B、C的面积. 思考：由A、B、C、A、B、C的面积能得到什么结论？ 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方. (2)赵爽弦图 解：朱实=ab；黄实=(a-b)2； 正方形的面积=4朱实+黄实=(a-b)2+ab4 =a2+b2-2ab+2ab =a2+b2； 又正方形的面积=c2， 所以a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于
3、第三边的平方. 探究二：求出直角三角形中未知边的长度. 探究三：一个门框的尺寸如图所示，一块长3米，宽2.2米的薄木板能否从门框内通过？为什么？ 分析：木板横着、竖着，都不可能从门框内通过，所以只能试试斜着能否通过.对角线AC(或BD)是斜着能通过的最大长度.求出AC，再与木板的宽比较,就能知道木板能否通过. 活动2跟踪训练 1.在RtABC中,A、B、C的对边为a、b、c，C=90. (1)已知a=3,b=4.则c= . (2)已知c=25,b=15.则a= . (3)已知c=19,a=13.则b= .(结果保留根号) (4)已知ab=34,c=15,则b= . 教师点拨：利用方程的思想求直
4、角三角形有关线段的长. 2.(1)直角三角形两条直角边的长分别为6和8,则斜边上的中线为 . (2)在RtABC中,C=90,A=30，则BCACAB= . (3)在RtABC中,C=90，AC=BC，则ACBCAB= . 若AB=8,则AC= .又若CDAB于D,则CD= .注意：以上两题中的三边关系在今后的解题中经常用到.（已知一边，可求另外两边.） （4）.在直角三角形中，两边分别为2,3.则第三边长为 . 3.一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米，如果梯子的顶端A沿着墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？ 4.等边ABC的边长为a,则高AD=
5、？面积S=？ 课堂小结 1.勾股定理的内容及证明. 2.勾股定理的简单应用.第2课时勾股定理的应用 1.能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题. 2.在运用勾股定理解决实际问题过程中，感受数学的“转化”思想，体会数学的应用价值. 自学指导：阅读课本68页至69页，完成下列问题. 知识探究 1.勾股定理的内容是： . 2.的线段是直角边为正整数 的直角三角形的斜边. 3.的线段是直角边为正整数 的直角三角形的斜边. 自学反馈 1.如何画出长，的线段. 2.在数轴上画出,的线段.活动1小组讨论 例1在数轴上画出表示的点. 解：利用勾股定理，可以得出，长为的线段是直角边为正整数 的直角三角
6、形的斜边. (1)画数轴，取点A，使OA= ； (2)过点A画数轴的垂线a，在a上取点B，使AB= . (3)以点O为圆心，OB的长为半径作弧，弧与数轴的交点C.点C即为表示的点. 例2利用勾股定理在数轴上画出表示的点. 活动2跟踪训练 1.在RtABC中,C=90； (1)已知:a=9,b=40,则c= ; (2)已知:a=6,c=10,则b= ; (3)已知:b=5,c=13,则a= ; (4)已知c=n2+1，b=2n，则a= . 教师点拨:利用勾股定理，(1)是已知直角边求斜边.(2)(3)是已知斜边和一直角边求另一直角边.a=或b=.(4)的斜边是个多项式，运算要注意. 2.飞机在空
7、中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩5000米，飞机每小时飞行多少千米？ 教师点拨：求速度，要把20秒换算成小时，20秒=小时. 3.小明的妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你能解释这是为什么吗？ 注意：我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度. 4.思考：如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？(的值取3.14)
8、 教师点拨：要求蚂蚁爬行的最短路径，需将空间图形转化成平面图形，即将A和B所在的相邻的两个面展开，利用“两点之间，线段最短”，就可求得.课堂小结 把实际问题转化成直角三角形，利用勾股定理进行计算.第三课 勾股定理的应用学习目标：1会用勾股定理解决简单的实际问题。2树立数形结合的思想。3经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。4培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。重点：勾股定理的应用。难点：实际问题向数学问题的转化。活 动 1勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果在Rt ABC中，C=90,那么a2+b2=c2结论变形a2+b2=c2a=
9、;b= ;c= 1、 基本勾股数如：大家一定要熟记 3，4，5； 5,12,13；7,24,252、 2、如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数，如：6,8,10；9,12,15；10,24,26；14,48,50活动2 勾股定理的应用例1:在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 练习1：小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当
10、他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。2在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_米。 活动3 折叠问题例4:矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长.练习3.如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,则BF=_。 练习4.如图，有一个直角三角形纸片，两直直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与
11、AE重合，你能求出CD的长吗？ 5、 如图，ACB=ABD=90，CA=CB，DAB=30，AD=8，求AC的长。拓展应用 6、 如图，在ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求证：AD2-AB2=BDCD18.2勾股定理的逆定理第1课时勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理及其作用. 2.什么是互逆命题. 3.什么是互逆定理. 自学指导：阅读课本73页至74页，完成下列问题. 知识探究 1.古埃及人画直角的方法是：在一根绳子上打上等距离的 个结，然后以 个结、 个结、 个结的长度为 ，然后用木桩钉成一个三角形，其中一个角是直角. 2.互逆命题：在一对命题中，第一个命题的 恰好为第二个命题
12、的 ，而第一个命题的 恰好是第二个命题的 ，像这样的两个命题叫做 .我们把其中一个叫做 ，那么另一个就叫做它的 . 3.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，这两个定理为 . 4.勾股定理是：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.它的逆定理是：如果三角形的三边长a、b、c满足 ；那么这个三角形是直角三角形. 5.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为 (或 ). 自学反馈 说出下列命题的逆命题，并判断它们是否正确. (1)原命题：猫有四只脚.( ) 逆命题：有四只脚的是猫.( ) (2)原命题：对顶角相等.( ) 逆命题：相等的角是对
13、顶角.( ) (3)原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端的距离相等.( ) 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.( ) (4)原命题：角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.( ) 逆命题：在角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.( ) 教师点拨：任何一个命题都有逆命题；原命题正确，逆命题不一定正确，原命题不正确，逆命题可能正确.活动1小组讨论 例1证明：勾股定理的逆定理. 已知：ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a2+b2=c2； 求证：ABC是直角三角形. 例2判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形. (1)a=15，b=8，c=1
14、7； (2)a=13，b=14，c=15. 活动2跟踪训练 1.如果三条线段长a、b、c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？ 2.以下各组数为边长，能组成直角三角形的是( ) A.5，6，7 B.10，8，4 C.7，25，24 D.9，17，15 3.以下面各组正数为边长，能组成直角三角形的是( ) A.a-1，2a，a+1 B.a-1，2，a+1 C.a-1，2，a+1 D.a-1， a，a+1 4.说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？ （1)两直线平行，内错角相等. (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等. (3)全等三角形的对应角相等.
15、 (4)等腰三角形的底角相等. 5.古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m2-1，c=m2+1，那么a、b、c为勾股数.你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 课堂小结 1.勾股定理的逆定理. 2.互逆命题. 3.互逆定理. 4.勾股数.第2课时勾股定理的逆定理的应用 1.掌握勾股定理的逆定理. 2.能灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题. 自学指导：阅读课本74页至75页，完成下列问题. 知识探究 1.如果一个直角三角形的三条边长分别为a、b、c，c为斜边，那么它们满足 . 2.如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c，且有a2+b2=c2，那么
16、这个三角形是 . 自学反馈 下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？ (1)a=25 b=20 c=15 (2)a=13 b=2 c=15 (3)a=1 b=2 c= (4)abc=345 教师点拨：根据勾股定理逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小线段的平方和是否等于最大边长的平方.大边对的是大角，即大边对的角是直角.活动1小组讨论 例1某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，他们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”
17、号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿那个方向航行吗？ 分析：我们根据题意画出图，可以看出由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了. 例2在ABC中，D是BC边上的点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求DC的长. 例3已知ABBC，AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，求四边形ABCD的面积. 例4已知在正方形ABCD中，AE=EB，AF=14AD， 求证：CEEF. 分析：证垂直常常可以通过证直角得到.已知条件只有边的数量关系，故需要把边的关系转化为角度的关系. 活动2跟踪训练 1.下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的有 5，12，13 7，24，25 8，15，16 32，42，52+1， -1， +1， -1，2 2.ABC的三边为a、b、c且(a+b)(a-b)=c2,则( ) A.a边的对角是直角 B.b边的对角是直角 C.c边的对角是直角 D.是斜三角形 3.欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？ 课堂小结 勾股定理的应用: (1)判断三角形的形状. (2)用于求角度. (3)用于求边长. (4)用于求面积. (5)用于证垂直.
