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1勾股定理1
第十八章勾股定理
18.1勾股定理
第1课时 勾股定理
1.了解勾股定理的发现过程.
2.掌握勾股定理的内容.
3.会用面积法证明勾股定理.
自学指导:
阅读课本64页67页,完成下列问题.
知识探究
1.毕达哥拉斯在朋友家做客时,发现了.
2.通过你的观察,你发现了等腰直角三角形.
3.命题一:
如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边为c,那么.
4.汉代赵爽利用弦图证明了命题一,把这个命题称作.而西方人认为是毕达哥拉斯证明,所以西方人称作.
自学反馈
1.在直角三角形中,两条直角边的平方和等于.
2.在直角三角形中,两直角边分别为3、4,那么斜边为.
3.在直角三角形中,斜边为10,一直角边为6,则另一直角边为.
教师点拨:
运用勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”计算.
活动1小组讨论
探究一:
探究勾股定理:
两直角边的平方和等于斜边的平方.
(1)如图:
每个方格的面积均为1,请分别算出图中正方形A、B、C、A′、B′、C′的面积.
思考:
由A、B、C、A′、B′、C′的面积能得到什么结论?
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.
(2)赵爽弦图
解:
朱实=
ab;黄实=(a-b)2;
正方形的面积=4朱实+黄实=(a-b)2+
ab×4
=a2+b2-2ab+2ab
=a2+b2;
又正方形的面积=c2,
所以a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于第三边的平方.
探究二:
求出直角三角形中未知边的长度.
探究三:
一个门框的尺寸如图所示,一块长3米,宽2.2米的薄木板能否从门框内通过?
为什么?
分析:
木板横着、竖着,都不可能从门框内通过,所以只能试试斜着能否通过.
对角线AC(或BD)是斜着能通过的最大长度.
求出AC,再与木板的宽比较,就能知道木板能否通过.
活动2跟踪训练
1.在Rt△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c,∠C=90°.
(1)已知a=3,b=4.则c=.
(2)已知c=25,b=15.则a=.
(3)已知c=19,a=13.则b=.(结果保留根号)
(4)已知a∶b=3∶4,c=15,则b=.
教师点拨:
利用方程的思想求直角三角形有关线段的长.
2.
(1)直角三角形两条直角边的长分别为6和8,则斜边上的中线为.
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,则BC∶AC∶AB=∶∶.
(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,则AC∶BC∶AB=∶∶.
若AB=8,则AC=.又若CD⊥AB于D,则CD=.
注意:
以上两题中的三边关系在今后的解题中经常用到.(已知一边,可求另外两边.)
(4).在直角三角形中,两边分别为2,3.则第三边长为.
3.一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5米,如果梯子的顶端A沿着墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?
4.等边△ABC的边长为a,则高AD=?
面积S=?
课堂小结
1.勾股定理的内容及证明.
2.勾股定理的简单应用.
第2课时 勾股定理的应用
1.能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题.
2.在运用勾股定理解决实际问题过程中,感受数学的“转化”思想,体会数学的应用价值.
自学指导:
阅读课本68页至69页,完成下列问题.
知识探究
1.勾股定理的内容是:
.
2.
的线段是直角边为正整数的直角三角形的斜边.
3.
的线段是直角边为正整数的直角三角形的斜边.
自学反馈
1.如何画出长
,
的线段.
2.在数轴上画出
的线段.
活动1小组讨论
例1在数轴上画出表示的
点.
解:
利用勾股定理,可以得出,长为
的线段是直角边为正整数的直角三角形的斜边.
(1)画数轴,取点A,使OA=;
(2)过点A画数轴的垂线a,在a上取点B,使AB=.
(3)以点O为圆心,OB的长为半径作弧,弧与数轴的交点C.点C即为表示
的点.
例2利用勾股定理在数轴上画出表示
…的点.
活动2跟踪训练
1.在Rt△ABC中,∠C=90°;
(1)已知:
a=9,b=40,则c=;
(2)已知:
a=6,c=10,则b=;
(3)已知:
b=5,c=13,则a=;
(4)已知c=n2+1,b=2n,则a=.
教师点拨:
利用勾股定理,
(1)是已知直角边求斜边.
(2)(3)是已知斜边和一直角边求另一直角边.a=
或b=
.(4)的斜边是个多项式,运算要注意.
2.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩5000米,飞机每小时飞行多少千米?
教师点拨:
求速度,要把20秒换算成小时,20秒=
小时.
3.小明的妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机.小明量了电视机的屏幕后,发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽,他觉得一定是售货员搞错了.你能解释这是为什么吗?
注意:
我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机,是指其荧屏对角线的长度.
4.思考:
如图,有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A′点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A′点相对的B点处的食物,需要爬行的最短路程是多少?
(π的值取3.14)
教师点拨:
要求蚂蚁爬行的最短路径,需将空间图形转化成平面图形,即将A′和B所在的相邻的两个面展开,利用“两点之间,线段最短”,就可求得.
课堂小结
把实际问题转化成直角三角形,利用勾股定理进行计算.
第三课勾股定理的应用
学习目标:
1.会用勾股定理解决简单的实际问题。
2.树立数形结合的思想。
3.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,感受勾股定理的应用方法。
4.培养思维意识,发展数学理念,体会勾股定理的应用价值。
重点:
勾股定理的应用。
难点:
实际问题向数学问题的转化。
活动1
勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果在Rt△ABC中,∠C=90°,
那么a2+b2=c2
结论变形a2+b2=c2
a=;b=;c=
1、基本勾股数如:
大家一定要熟记3,4,5;5,12,13;7,24,25
2、2、如果a,b,c是一组勾股数,则ka、kb、kc(k为正整数)也是一组勾股数,
如:
6,8,10;9,12,15;10,24,26;14,48,50
活动2勾股定理的应用
例1:
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题这个问题意思是:
有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?
练习1:
小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高度。
2.在一棵树的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。
另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高_________________________米。
活动3折叠问题
例4:
矩形ABCD如图折叠,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8,BC=10,求折痕AE的长.
练习3.如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,则BF=___________。
练习4.如图,有一个直角三角形纸片,两直直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗?
5、如图,∠ACB=∠ABD=90°,CA=CB,∠DAB=30°,AD=8,求AC的长。
拓展应用
6、如图,在△ABC中,AB=AC,D点在CB延长线上,求证:
AD2--AB2=BD·CD
18.2勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理及其作用.
2.什么是互逆命题.
3.什么是互逆定理.
自学指导:
阅读课本73页至74页,完成下列问题.
知识探究
1.古埃及人画直角的方法是:
在一根绳子上打上等距离的个结,然后以个结、个结、个结的长度为,然后用木桩钉成一个三角形,其中一个角是直角.
2.互逆命题:
在一对命题中,第一个命题的恰好为第二个命题的,而第一个命题的恰好是第二个命题的,像这样的两个命题叫做.我们把其中一个叫做,那么另一个就叫做它的.
3.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,这两个定理为.
4.勾股定理是:
如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
它的逆定理是:
如果三角形的三边长a、b、c满足;那么这个三角形是直角三角形.
5.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为(或).
自学反馈
说出下列命题的逆命题,并判断它们是否正确.
(1)原命题:
猫有四只脚.()
逆命题:
有四只脚的是猫.()
(2)原命题:
对顶角相等.()
逆命题:
相等的角是对顶角.()
(3)原命题:
线段垂直平分线上的点,到这条线段两端的距离相等.()
逆命题:
到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.()
(4)原命题:
角平分线上的点,到这个角的两边的距离相等.()
逆命题:
在角的内部到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上.()
教师点拨:
任何一个命题都有逆命题;原命题正确,逆命题不一定正确,原命题不正确,逆命题可能正确.
活动1小组讨论
例1证明:
勾股定理的逆定理.
已知:
△ABC的三边长分别为a、b、c,且满足a2+b2=c2;
求证:
△ABC是直角三角形.
例2判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形.
(1)a=15,b=8,c=17;
(2)a=13,b=14,c=15.
活动2跟踪训练
1.如果三条线段长a、b、c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的三角形是不是直角三角形?
为什么?
2.以下各组数为边长,能组成直角三角形的是()
A.5,6,7B.10,8,4
C.7,25,24D.9,17,15
3.以下面各组正数为边长,能组成直角三角形的是()
A.a-1,2a,a+1B.a-1,2,a+1
C.a-1,2
,a+1D.a-1,
a,a+1
4.说出下列命题的逆命题,这些命题的逆命题成立吗?
(1)两直线平行,内错角相等.
(2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等.
(3)全等三角形的对应角相等.
(4)等腰三角形的底角相等.
5.古希腊的哲学家柏拉图曾指出,如果m表示大于1的整数,a=2m,b=m2-1,c=m2+1,那么a、b、c为勾股数.你认为对吗?
如果对,你能利用这个结论得出一些勾股数吗?
课堂小结
1.勾股定理的逆定理.
2.互逆命题.
3.互逆定理.
4.勾股数.
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
1.掌握勾股定理的逆定理.
2.能灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题.
自学指导:
阅读课本74页至75页,完成下列问题.
知识探究
1.如果一个直角三角形的三条边长分别为a、b、c,c为斜边,那么它们满足.
2.如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c,且有a2+b2=c2,那么这个三角形是.
自学反馈
下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形?
如果是,那么哪一个角是直角?
(1)a=25b=20c=15
(2)a=13b=2c=15
(3)a=1b=2c=
(4)a∶b∶c=3∶4∶5
教师点拨:
根据勾股定理逆定理,判断一个三角形是不是直角三角形,只要看两条较小线段的平方和是否等于最大边长的平方.大边对的是大角,即大边对的角是直角.
活动1小组讨论
例1某港口位于东西方向的海岸线上,“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里,他们离开港口一个半小时后相距30海里,如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿那个方向航行吗?
分析:
我们根据题意画出图,可以看出由于“远航”号的航向已知,如果求出两艘船的航向所成的角,就能知道“海天”号的航向了.
例2在△ABC中,D是BC边上的点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,求DC的长.
例3已知AB⊥BC,AB=3,BC=4,CD=12,DA=13,求四边形ABCD的面积.
例4已知在正方形ABCD中,AE=EB,AF=14AD,
求证:
CE⊥EF.
分析:
证垂直常常可以通过证直角得到.已知条件只有边的数量关系,故需要把边的关系转化为角度的关系.
活动2跟踪训练
1.下列各组数为边长的三角形中,能构成直角三角形的有
①5,12,13②7,24,25③8,15,16④32,42,52
⑤
+1,
-1,
⑥
+1,
-1,2
2.△ABC的三边为a、b、c且(a+b)(a-b)=c2,则()
A.a边的对角是直角
B.b边的对角是直角
C.c边的对角是直角
D.是斜三角形
3.欲登12米高的建筑物,为安全需要,需使梯子底端离建筑物5米,至少需多长的梯子?
课堂小结
勾股定理的应用:
(1)判断三角形的形状.
(2)用于求角度.
(3)用于求边长.
(4)用于求面积.
(5)用于证垂直.
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