1、第二章 函数,2.1函数的概念及其表示2.2函数的基本性质2.3幂函数2.4指数函数2.5对数函数,1.理解函数的概念,掌握简单函数定义域的求法.2.学会用恰当的方法(解析法、列表法、图像法)表示函数.3.理解函数值的概念并掌握利用计算器求函数值的方法.4.了解简单的分段函数,并能简单应用.5.通过本节内容的学习,培养学生观察能力与数据处理能力.,21函数的概念及其表示,教学目标,变量 在一个变化过程中,数值发生变化的量称为变量.常量 在一个变化过程中,数值保持不变的量称为常量.函数与自变量 在某个变化过程中有两个变量,设为 x 和y,如果对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应
2、,那么变量y 称为变量x 的函数,x 称为自变量.正比例函数定形如=(k 是不等于零的常数)的函数称为正比例函数,其中常数k称为比例系数.,回顾初中接触过的函数相关概念,复习回顾,21函数的概念及其表示,21函数的概念及其表示,复习回顾,21函数的概念及其表示,请你根据初中学过的知识,思考下列实例中的两个变量之间的函数关系,写出相应的函数解析式及自变量的取值范围(用不等式表示),并求出表格内相应的函数值.面积正方形面积y是边长x的函数，可表示为 y=.自变量x的取值范围为,实例考察,21函数的概念及其表示,个人所得税按照我国税法规定，个人月收入的应纳税所得额中，超过1 500元不超过4 500
3、元的部分，需缴纳10%的个人所得税设某人月收入的应纳税所得额为x元（1 500 x4 500），个人缴纳的所得税为y元.这里y是x的函数，可表示为 y=.自变量x的取值范围为,实例考察,思考：在以上两例中,当 自 变 量 x 在 取 值 范 围 内 取 一 个 确 定 的值时,函数y 有几个值与之对应?,21函数的概念及其表示,在某一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某个实数集合D中的每一个值，按照某个对应关系（或称对应法则）f，y都有唯一确定的值与它相对应，那么我们就说y是x的函数（function），记作=(),其中，x称为自变量，x的取值范围（即集合D）称为函数的定义域，与x的值
4、相对应的y的值称为函数值，当x取遍D中所有值时，所得到的函数值y的集合称为函数的值域,函数的概念,小 结,21函数的概念及其表示,1函数的两大要素 2.求函数的定义域的方法,函数的概念,21函数的概念及其表示,例题解析,函数的概念,知识巩固1,21函数的概念及其表示,函数的概念,21函数的概念及其表示,函数的表示方法,函数的表示方法,例题解析,21函数的概念及其表示,函数的表示方法,例题解析,21函数的概念及其表示,例2用计算器计算下列函数值（精确到0.01）：(1)已知函数f(x)=，求f(2.4)的值(2)已知函数f(x)=，求f(1.72)的值(3)已知函数f(x)=x 3，求f(3.2
5、1)的值 用计算器算得：（1）f(2.4)0.83（2）f(1.72)1.31（3）f(3.21)=3.21333.08 小结：求x对应的函数值，只要把x的值直接代到函数解析 式中去进行计算就可以了。如无特别说明，所有计算都可以用计算器计算。,函数的表示方法,解,例题解析,21函数的概念及其表示,例3用描点法作函数y=的图像 函数y=的定义域为(-,0)(0,+)列表：,函数的表示方法,解,例题解析,21函数的概念及其表示,图2-2 小结：描点法作图流程：确定定义域列表描点连线。,（点击图例，查看动画演示）,函数的表示方法,例题解析,21函数的概念及其表示,例4图23是气象台自动温度记录仪的描
6、图针描绘的某一天温度随时间变化的图像图中，每一时刻t（单位：小时），都对应着唯一一个温度T（单位：）因此，温度T是时间t的函数，即Tf(t)图23,函数的表示方法,例题解析,21函数的概念及其表示,（1）写出函数()的定义域和值域（2）指出下午18点整时的气温（3）指出全天有多长时间气温不低于14？（4）描述全天的气温随时间增高和降低的情况,函数的表示方法,例题解析,21函数的概念及其表示,由函数图像可知：（1）函数()的定义域是0，24，值域是10，25（2）下午18点整时的气温约为20（3）从6点开始一直到20.5点共有14.5个小时气温不低于14（4）0点到3点以及13点到24点内气温随
7、时间降低，3点到13点内气温随时间升高小结：用解析法、列表法和图像法表示函数各有利弊，可以根据需要择优而用，也可以将其中几种方法结合使用。,函数的表示方法,解,知识巩固2,21函数的概念及其表示,函数的表示方法,图24,21函数的概念及其表示,数学建模：用数学方法解决问题时，常常需要把问题中的有关 变量及其关系用数学的形式（代数式、方程、表、图或其他方法）表示出来，这个过程称为建立数学 模型，简称建模。函数模型：数学模型中的一种,即两个变量之间的函数关系.,函数关系的建立,函数关系的建立,21函数的概念及其表示,函数关系的建立,21函数的概念及其表示,例2网球赛记分规则如下：每局打四个球，赢第
8、一、二个球，每个得15分，赢第三、四个球，每个得10分双方得分之和满50分为一局以x表示打第几个球，y表示双方累计得分和试用列表法表示y与x之间的函数关系y=f(x)，并写出函数的定义域和值域 y与x之间的函数关系=()如下表：所以，函数=()的定义域是1，2，3，4，值域是15，30，40，50,函数关系的建立,解,21函数的概念及其表示,函数关系的建立,1图27中哪几个图像与下述三件事吻合得最好？为剩下的那个图像写出一件事（1）我骑车一路以匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一点时间；,知识巩固3,21函数的概念及其表示,函数关系的建立,图2-7,（点击图例，查看动画演示）,21函
9、数的概念及其表示,图2-7,（2）我离开宿舍不久，天下雨了，于是立刻返回宿舍取了雨衣再上路；,知识巩固3,（点击图例，查看动画演示）,知识巩固3,21函数的概念及其表示,（3）我出发以后，心情舒畅，边骑车，边欣赏四周景色，后来为了赶路便开始加速,函数关系的建立,（点击图例，查看动画演示）,图2-7,知识巩固3,21函数的概念及其表示,函数关系的建立,21函数的概念及其表示,实 践1.请你了解本市出租车的计费标准.2.假设不计停车、等候等费用,请你建立车费y(元)关于实际行车里程x(千米)的函数解析式.3.如果目的地较远,你能想出节省车费的办法吗?,实践,Excel是Microsoft Offi
10、ce大家族中的一员，是集文字、数据、图形、图表以及其他媒体对象于一体的流行软件，它操作简便，是我们开展数学探究活动的一个得力助手。下面我们介绍在Excel工作表中绘制函数（）=（1)+1 图象的方法，不妨作2，2上的图象。,21函数的概念及其表示,专题阅读,21函数的概念及其表示,（1）工作表的第一列输入自变量的值：在单元格A1，A2内分别输入2，1.9，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖曳“填充柄”，如图218，直到单元格内出现填充值2时为止；,图218,专题阅读,（点击图例，查看动画演示）,（点击图例，查看动画演示）,21函数的概念及其表示,（2）第二列产生对应的函数值：如图219
11、，在B1内输入“=（11）2+1”，敲回车键或在编辑栏内选中“”；,图219,专题阅读,21函数的概念及其表示,（3）拖曳B1格的填充柄至所需的单元格，得到与第一列相对应 的函数值；,图2110,专题阅读,（点击图例，查看动画演示）,21函数的概念及其表示,（4）光标置于数据区的任一位置，插入“图表”，选择“XY散点图/无数据点平滑线散点图”，点击“完成”，便得函数（）=(1)2+1在区间2，2上的图象，如图2110。,专题阅读,图2111,（点击图例，查看动画演示）,21函数的概念及其表示,用Excel作图的本质是描点画图，自变量的值用“等差趋势填充”生成，对应的函数值利用Excel的相对引
12、用功能“拖曳”产生，至于取点的多寡，可根据需要灵活调整（只要改变A1和A2格两个数的间隔步长）。在实际操作时，宜适度取点，这样既省时、省力，又能使绘出的图象更清晰、美观。你能用上面的方法绘制函数()=3的图象吗？,专题阅读,22函数的基本性质,教学目标,1.了解函数的奇偶性的概念及判断方法.2.理解函数的单调性及其判断方法.3.理解函数最大(小)值的概念及其几何意义,掌握简单函数的最大(小)值的求法.,函数的三种表示方法,解析法、列表法、图像法,22函数的基本性质,复习回顾,22函数的基本性质,实例考察,（点击图例，查看动画演示）,已知二次函数=2，反比例函数=2.请你通过计算，得到 与 的关
13、系，并通过观察它们的图像，指出函数的图像特征.二次函数=2 的定义域为：1=,1=,得到 1=2=,2=,得到 2=函数的图像特征：,22函数的基本性质,实例考察,反比例函数=2 图2-9的的定义域为：1=,1=,得到 1=2=,2=,得到 2=函数的图像特征：,图29,22函数的基本性质,偶函数：一般地，设函数=（）的定义域为D，如果对于任意的，却有（）=（），则称=（）为偶函数，如=2为偶函数。奇函数：一般地，设函数=（）的定义域为D，如果对于任意的 xD，都有（）=（），则称=（）为奇函数，如=2 非奇非偶函数：如果一个函数既非奇函数，又非偶函数，则 称为非奇非偶函数.,函数的奇偶性,2
14、2函数的基本性质,思考：1奇函数，偶函数的定义域有什么特征？（关于原点对称）2偶函数的图像一定是轴对称图形，反之成立吗？3奇函数的图像关于原点成中心对称，反之成立吗？,函数的奇偶性,例题解析,22函数的基本性质,函数的奇偶性,例题解析,22函数的基本性质,函数的奇偶性,例题解析,22函数的基本性质,例2如图210，已知奇函数=()在y轴右边部分的图像，试把函数=()的图像画完整 图210,函数的奇偶性,例题解析,22函数的基本性质,第一步，如图211a所示，在y轴右边的图像上适当取几个点O，A，B，C（一般取能够反映主要特征的点）；第二步，画出这些点关于原点的对称点O,A，B，C，用一条光滑曲
15、线顺次连结这些对称点，就得到了y=f(x)的完整图像，如图211b所示,图211,函数的奇偶性,知识巩固1,22函数的基本性质,函数的奇偶性,22函数的基本性质,知识巩固1,2如图212，已知偶函数=()在y轴左边部分的图像，试把函数=()的图像画完整，并比较(1)与(3)的大小 图212,函数的奇偶性,22函数的基本性质,知识巩固1,3如图213，已知奇函数=()在y轴右边部分的图像，试把函数=()的图像画完整，并求f(4)的值图213,函数的奇偶性,22函数的基本性质,增函数、减函数一般地，设函数=()的定义域上某个区间为I：如果对于任意的x1，x2I，当x1x2时，都有 f(x1)f(x
16、2)我们就说函数=()在区间I上是单调增函数，简称增函数，其图像沿x轴的正方向上升，如图2-15a 所示.如果对于任意的x1，x2I，当x1x2时，都有 f(x1)f(x2)我们就说函数=()在区间I上是单调减函数，简称减函数，其图像沿x轴的正方向下降，如图2-15b所示.,函数的单调性,函数的单调性,22函数的基本性质,图2-15,函数的单调性,（点击图例，查看动画演示）,22函数的基本性质,如果函数y=f（x）在区间I上是增函数或减函数，我们就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间I为函数y=f（x）的单调区间.如函数y=x2 2在（，0）上是减函数，区间（，0）为函数的单
17、调减区间，在（0，+）上是增函数，区间（，0）为函数的单调增区间。思考：=+（0）的单调区间是什么？（，+）,函数的单调性,22函数的基本性质,例题解析,例1图216所示为函数=(),10，10的图像，试根据图像指出这个函数的单调区间，并说明在每个单调区间上，它是增函数还是减函数 图216 函数y=f(x)的单调区间有10，4，4，1，1，2，2，8，8，10,函数的单调性,解,函数=在区间 10，4，1，2，8，10 上是减函数，在区间4，1，2，8上是增函数,22函数的基本性质,例题解析,函数的单调性,22函数的基本性质,例题解析,函数的单调性,22函数的基本性质,例题解析,函数的单调性,
18、22函数的基本性质,知识巩固2,函数的单调性,22函数的基本性质,最大值 一般地,设函数y=f（x）的定义域为D 如果对于任意xD都有f（x）f（x0），则称f（x0）为函数y=f（x）的最大值,记作ymax=f（x0）最小值 如果对于任意的xD都有f（x）f（x0）则称f（x0）为函数y=f（x）的最小值记作 ymin=f（x2）如 函数yx22有 ymin=f（）2 函数yx2有ymax=f（）1,函数的最大值与最小值,函数的最大值与最小值,22函数的基本性质,例题解析,函数的最大值与最小值,小结：对于闭区间上的单调函数，必在区间端点处取得函数的最小值或最大值。,22函数的基本性质,例题解
19、析,函数的最大值与最小值,22函数的基本性质,例题解析,小结：求解最大值或最小值应用题的步骤：第一步：设两个变量（未知数）第二步：由条件例出函数解析式第三步：求出最大值或最小值第四步：根据实际问题的意义作正确答案,函数的最大值与最小值,22函数的基本性质,知识巩固3,图217,函数的最大值与最小值,22函数的基本性质,知识巩固3,3根据学过的知识完成下表：,函数的最大值与最小值,22函数的基本性质,本节主要学习了1函数奇偶性的定义及判断函数奇偶性的方法，特别要注意判断函数奇偶性时，一定要看其定义域是否关于原点对称.2函数的单调性，单调性是对某个区间而言的，同时理解定义的基础上，掌握函数单调性判
20、断的方法步骤.3函数最大值和最小值的概念及简单应用.,本节小结,1.了解实数指数幂的含义,掌握幂的运算法则.2.了解幂函数的概念,了解简单幂函数的图像与性质.3.体会用数形结合思想方法研究函数.,23幂函数,教学目标,23幂函数,实数指数幂,实数指数幂,23幂函数,实数指数幂,例 题 解 析,23幂函数,实数指数幂,例 题 解 析,23幂函数,实数指数幂,23幂函数,实数指数幂,例 题 解 析,23幂函数,实数指数幂,例 题 解 析,知识巩固1,23幂函数,实数指数幂,知识巩固1,23幂函数,实数指数幂,23幂函数,幂函数,例题解析,23幂函数,例2画出函数 的图像，结合图像讨论函数的性质 函
21、数列表：,例题解析,23幂函数,解,图218 从图上可以看到，函数 的图像从原点开始，在第一象限向右上方无限延伸（1）定义域：0，+）；（2）值域：0，+）且当x=0时，ymin=0；（3）函数 既不是奇函数，也不是偶函数；（4）函数 在定义域0,+)上是增函数,例题解析,23幂函数,（点击图例，查看动画演示）,23幂函数,图2-19 从图上可以看到，函数=2 的图像关于y轴对称，在第二象限，图像向上无限延伸，越来越靠近y轴，但与y轴永不相交；在第一象限，图像向右无限延伸，越来越靠近x轴，但与x轴永不相交,例题解析,（1）定义域：（,0）（0，+）；（2）值域：（0，+）；（3）函数=2 是偶
22、函数；（4）函数=2 在(，0)上是增函数，在（0，+）上是减函数思考:1结合=与=2及=2 图像总结=(0)在第一象限内性质.2结合=1 及=2 图像总结=(0）在第一象限内性质.,23幂函数,知识巩固2,23幂函数,知识巩固2,23幂函数,1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解指数函数的概念,了解指数函数图像的特征和性质.,教学目标,24指数函数,24指数函数,实例考察,24指数函数,实例考察,24指数函数,指数函数的概念,24指数函数,正整数指数幂 零指数幂a0=1（a0)负整数指数幂a-n=(a0)分数指数幂(a0,m,nN*,n1)(a0,m,nN*,n1),指数函数的概念,24指
23、数函数,有理数指数幂的运算法则设a0，b0，p，qQ，则法则1+=法则2()法则3()=,指数函数的概念,例题解析,24指数函数,解,知识巩固1,24指数函数,24指数函数,指数函数的图像和性质,24指数函数,指数函数的图像和性质,（点击图例，查看动画演示）,图2-20,总结性质:,24指数函数,指数函数的图像和性质,例题解析,24指数函数,指数函数的图像和性质,例2利用指数函数的性质比较下列各题中两个实数的大小：（1）33.6与32.8（2）与（1）指数函数y=3x是增函数因为3.62.8，所以 33.632.8（2）指数函数y=是减函数因为2.53，所以,例题解析,24指数函数,指数函数的
24、图像和性质,解,例题解析,24指数函数,指数函数的图像和性质,例题解析,24指数函数,指数函数的图像和性质,知识巩固2,24指数函数,指数函数的图像和性质,24指数函数,指数函数的图像和性质,:指数函数的威力 美国著名的科学家，避雷针的发明人，本杰明富兰克林（Benjamin Franklin，17061790），一生为科学工作，他死后留下的财产只有一千英镑.令人惊讶的是，他竟留下了一份分配几百万英镑财产的遗嘱！这份有趣的遗嘱是这样写的：,专题阅读,本杰明富兰克林“一千英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英镑，那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民，他们得把这钱按每年5的利率借给一些年轻
25、的手工业者去生息.这款子过了100年增加到131000英镑.我希望，那时候用100000英镑来建立一所公共建筑物，剩下的31000英镑拿去继续生息100年.在第二个100年末了，这笔款增加到4061000英镑，其中1061000英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的3000000英镑让马萨诸塞州的公众来管理.此后，我可不敢多作主张了！”,专题阅读,富兰克林，留下区区的1000英镑，竟立了百万富翁般的遗嘱，莫非昏了头脑？让我们按照富兰克林非凡的设想实际计算一下.（结果精确到1镑）第一个100年：1000（15）100131501 第二个100年：31501（15）1004142421 第三个10
26、0年：3000000（15）100=？通过上面的计算，我们发现，富兰克林的遗嘱是站得住脚的.这是一个典型的指数模型y=1.05x,我们通过指数函数的图像就可以看出，当底数大于1时，图像随着指数呈逐渐递增的趋势，且上升速度越来越快，所以这笔财产会越来越多.由此可见指数函数的增大作用.,专题阅读,25对数函数,25对数函数,结合上一节的细胞分裂问题，认真思考下面的问题.细胞分裂的次数某种细胞的分裂规律为：1个细胞1次分裂成2个与它本身相同的细胞.即1个细胞经过第1次分裂成为2个；经过第2次分裂成为4个那么，第几次分裂后恰好出现16个细胞？第几次分裂后恰好出现128个细胞？设第6次分裂后恰好出现16
27、个细胞，即2b=16。由于24=16，所以b=4.思考:第几次分裂后出现10个细胞，即2b=10求b?,实例考察,25对数函数,对数的定义：一般地如果=(0，1)那么b称为数a为底N的对数,记作=log其中，a 为对数的底数，简称为底，N称为真数.提示:已知a、N 求b的运算是对数的运算.,对数的运算,25对数函数,通常,我们称等式=为指数式，称等式 log=为对数式.根据对数的定义,可以得到,当0,且1时,=log=由上述指数式与对数式的关系，可以得到如下结论：1零和负数没有对数；2 log 1=0 log=1(0,1)；3log=(0,1)；4log=(0,1).,对数的性质,25对数函数
28、,对数的性质,例题解析,例2 求下列各式的值：（1）log31；（2）log；（3）3log37；（3）log；（5）log28；（6）log；,例题解析,25对数函数,对数的性质,解:（1）log31=0 2 log 2 2=1 3 3log37=7(4)log=5 5 log 5 3=5 3=5 3 3（5）log28=log223=3（6）log 2 1 4=log 2 2=2,知识巩固1,25对数函数,对数的性质,25对数函数,若0，0，0，则有法则1 log=log+log 法则2 log=log log 法则3 log=log(nR),对数的运算法则,25对数函数,法则1和法则3的
29、证明 设logaM=p,logaN=q,把它们化为指数式：M=ap,N=aq MN=apaq=ap+q Mn=(ap)n=apn所以 loga(MN)=logaap+q=p+q=logaM+logaN logaMn=logaapn=pn=nlogaM,对数的运算法则,例1 求log3+log 1 3(0，1)的值解 法一log3+log 1 3=log 3 1 3=log1=0法二log3+log 1 3=log3+(log 1 log 3)=0法三log3+log 1 3=log 3+log 3 1=log 3 log 3=0,例题解析,25对数函数,例2 已知log2=0.2（0，且1），
30、求 log29 log 116.解 log29 log 116=log a 1 4=log a 2 2=2 log 2=20.2=0.4,对数的运算法则,例3 计算：（1）log2（2）log 2(4226)（3）log3+2log3（4）log5100-2log52（1）log2=log2128=log227=（2）log2(4226)=log242+log226=2log24+6log22=22+61=10（3）（4）,例题解析,25对数函数,解,对数的运算法则,例题解析,25对数函数,换底公式,知识巩固2,25对数函数,常用对数和自然对数,25对数函数,定义:一般地,我们把形如=log(
31、0，1)的函数称为对数函数.我们把指数函数=(0,且 1),(,+)和对数函数=log(0,且 1),(0,+)之间的关系称为互为反函数的关系.,对数函数的概念,例题解析,25对数函数,对数函数的概念,知识巩固3,25对数函数,对数函数的概念,（点击图例，查看动画演示）,25对数函数,讨论=log 及=log 1 2 的图像和性质 图3-22小结性质两个图像都在y轴的右边两个图像都过点(1,0)=log 的图像沿x轴的正方向上开,在定义域内是增函数.=log 1 2 的图像沿x轴的正方向下降,在定义域内是减函数.,对数函数的图像和性质,25对数函数,一般地,对数函数=log(a0，且a1)的图
32、像和性质如下,对数函数的图像和性质,例题解析,25对数函数,对数函数的图像和性质,例题解析,25对数函数,对数函数的图像和性质,例题解析,25对数函数,对数函数的图像和性质,例题解析,25对数函数,对数函数的图像和性质,例题解析,25对数函数,解：（1）根据对数函数的性质，在（0，+）上，随着A的增大，lg增大，相应地，lglg0也增大（lg0为常数）.所以，随着A的增大，M也增大，即被测地震的最大振幅越大，地震震级就越大.（2）当A=20，A0=0.001时=lg20lg0.001=lg 20 0.001=lg20000=lg2+lg1044.3因此，这次地震约为里氏4.3级.,对数函数的图
33、像和性质,知识巩固4,25对数函数,1.利用函数的单调性比较log30.5,log31.1,log34.2的大小，并使用计算器验证.2请用，号填空：（1）log3.11.4 log3.1（2）log log（3）log30.4 0（4）log0.23 13已知下列不等式，比较a与b的大小：（1）log2.1alog2.1b（2）log0.3alog0.3b4.上述例3中，请计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）?计算结果能说明什么问题？,对数函数的图像和性质,25对数函数,本节主要介绍了对数的概念 对数的基本运算法则 对数函数的概念 对数函数的图像及性质 对数函数的简单应用.,本节小节,专题阅读,专题阅读,利用计算机作函数的图像 在学习和工作中，能否准确地作出函数的图像至关重要。我们所学的“描点法”作图，是最基本的作图方法，但这种方法操作起来比较麻烦，而且不够精
