数学第七版上册第七版第二章-函-数.pptx
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第二章函数,2.1函数的概念及其表示2.2函数的基本性质2.3幂函数2.4指数函数2.5对数函数,1.理解函数的概念,掌握简单函数定义域的求法.2.学会用恰当的方法(解析法、列表法、图像法)表示函数.3.理解函数值的概念并掌握利用计算器求函数值的方法.4.了解简单的分段函数,并能简单应用.5.通过本节内容的学习,培养学生观察能力与数据处理能力.,21函数的概念及其表示,教学目标,变量在一个变化过程中,数值发生变化的量称为变量.常量在一个变化过程中,数值保持不变的量称为常量.函数与自变量在某个变化过程中有两个变量,设为x和y,如果对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么变量y称为变量x的函数,x称为自变量.正比例函数定形如=(k是不等于零的常数)的函数称为正比例函数,其中常数k称为比例系数.,回顾初中接触过的函数相关概念,复习回顾,21函数的概念及其表示,21函数的概念及其表示,复习回顾,21函数的概念及其表示,请你根据初中学过的知识,思考下列实例中的两个变量之间的函数关系,写出相应的函数解析式及自变量的取值范围(用不等式表示),并求出表格内相应的函数值.面积正方形面积y是边长x的函数,可表示为y=.自变量x的取值范围为,实例考察,21函数的概念及其表示,个人所得税按照我国税法规定,个人月收入的应纳税所得额中,超过1500元不超过4500元的部分,需缴纳10%的个人所得税设某人月收入的应纳税所得额为x元(1500x4500),个人缴纳的所得税为y元.这里y是x的函数,可表示为y=.自变量x的取值范围为,实例考察,思考:
在以上两例中,当自变量x在取值范围内取一个确定的值时,函数y有几个值与之对应?
21函数的概念及其表示,在某一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x在某个实数集合D中的每一个值,按照某个对应关系(或称对应法则)f,y都有唯一确定的值与它相对应,那么我们就说y是x的函数(function),记作=(),其中,x称为自变量,x的取值范围(即集合D)称为函数的定义域,与x的值相对应的y的值称为函数值,当x取遍D中所有值时,所得到的函数值y的集合称为函数的值域,函数的概念,小结,21函数的概念及其表示,1函数的两大要素2.求函数的定义域的方法,函数的概念,21函数的概念及其表示,例题解析,函数的概念,知识巩固1,21函数的概念及其表示,函数的概念,21函数的概念及其表示,函数的表示方法,函数的表示方法,例题解析,21函数的概念及其表示,函数的表示方法,例题解析,21函数的概念及其表示,例2用计算器计算下列函数值(精确到0.01):
(1)已知函数f(x)=,求f(2.4)的值
(2)已知函数f(x)=,求f(1.72)的值(3)已知函数f(x)=x3,求f(3.21)的值用计算器算得:
(1)f(2.4)0.83
(2)f(1.72)1.31(3)f(3.21)=3.21333.08小结:
求x对应的函数值,只要把x的值直接代到函数解析式中去进行计算就可以了。
如无特别说明,所有计算都可以用计算器计算。
函数的表示方法,解,例题解析,21函数的概念及其表示,例3用描点法作函数y=的图像函数y=的定义域为(-,0)(0,+)列表:
函数的表示方法,解,例题解析,21函数的概念及其表示,图2-2小结:
描点法作图流程:
确定定义域列表描点连线。
(点击图例,查看动画演示),函数的表示方法,例题解析,21函数的概念及其表示,例4图23是气象台自动温度记录仪的描图针描绘的某一天温度随时间变化的图像图中,每一时刻t(单位:
小时),都对应着唯一一个温度T(单位:
)因此,温度T是时间t的函数,即Tf(t)图23,函数的表示方法,例题解析,21函数的概念及其表示,
(1)写出函数()的定义域和值域
(2)指出下午18点整时的气温(3)指出全天有多长时间气温不低于14?
(4)描述全天的气温随时间增高和降低的情况,函数的表示方法,例题解析,21函数的概念及其表示,由函数图像可知:
(1)函数()的定义域是0,24,值域是10,25
(2)下午18点整时的气温约为20(3)从6点开始一直到20.5点共有14.5个小时气温不低于14(4)0点到3点以及13点到24点内气温随时间降低,3点到13点内气温随时间升高小结:
用解析法、列表法和图像法表示函数各有利弊,可以根据需要择优而用,也可以将其中几种方法结合使用。
函数的表示方法,解,知识巩固2,21函数的概念及其表示,函数的表示方法,图24,21函数的概念及其表示,数学建模:
用数学方法解决问题时,常常需要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式(代数式、方程、表、图或其他方法)表示出来,这个过程称为建立数学模型,简称建模。
函数模型:
数学模型中的一种,即两个变量之间的函数关系.,函数关系的建立,函数关系的建立,21函数的概念及其表示,函数关系的建立,21函数的概念及其表示,例2网球赛记分规则如下:
每局打四个球,赢第一、二个球,每个得15分,赢第三、四个球,每个得10分双方得分之和满50分为一局以x表示打第几个球,y表示双方累计得分和试用列表法表示y与x之间的函数关系y=f(x),并写出函数的定义域和值域y与x之间的函数关系=()如下表:
所以,函数=()的定义域是1,2,3,4,值域是15,30,40,50,函数关系的建立,解,21函数的概念及其表示,函数关系的建立,1图27中哪几个图像与下述三件事吻合得最好?
为剩下的那个图像写出一件事
(1)我骑车一路以匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一点时间;,知识巩固3,21函数的概念及其表示,函数关系的建立,图2-7,(点击图例,查看动画演示),21函数的概念及其表示,图2-7,
(2)我离开宿舍不久,天下雨了,于是立刻返回宿舍取了雨衣再上路;,知识巩固3,(点击图例,查看动画演示),知识巩固3,21函数的概念及其表示,(3)我出发以后,心情舒畅,边骑车,边欣赏四周景色,后来为了赶路便开始加速,函数关系的建立,(点击图例,查看动画演示),图2-7,知识巩固3,21函数的概念及其表示,函数关系的建立,21函数的概念及其表示,实践1.请你了解本市出租车的计费标准.2.假设不计停车、等候等费用,请你建立车费y(元)关于实际行车里程x(千米)的函数解析式.3.如果目的地较远,你能想出节省车费的办法吗?
实践,Excel是MicrosoftOffice大家族中的一员,是集文字、数据、图形、图表以及其他媒体对象于一体的流行软件,它操作简便,是我们开展数学探究活动的一个得力助手。
下面我们介绍在Excel工作表中绘制函数()=
(1)+1图象的方法,不妨作2,2上的图象。
21函数的概念及其表示,专题阅读,21函数的概念及其表示,
(1)工作表的第一列输入自变量的值:
在单元格A1,A2内分别输入2,1.9,选中这两个单元格后,按住鼠标左键并向下方拖曳“填充柄”,如图218,直到单元格内出现填充值2时为止;,图218,专题阅读,(点击图例,查看动画演示),(点击图例,查看动画演示),21函数的概念及其表示,
(2)第二列产生对应的函数值:
如图219,在B1内输入“=(11)2+1”,敲回车键或在编辑栏内选中“”;,图219,专题阅读,21函数的概念及其表示,(3)拖曳B1格的填充柄至所需的单元格,得到与第一列相对应的函数值;,图2110,专题阅读,(点击图例,查看动画演示),21函数的概念及其表示,(4)光标置于数据区的任一位置,插入“图表”,选择“XY散点图/无数据点平滑线散点图”,点击“完成”,便得函数()=
(1)2+1在区间2,2上的图象,如图2110。
专题阅读,图2111,(点击图例,查看动画演示),21函数的概念及其表示,用Excel作图的本质是描点画图,自变量的值用“等差趋势填充”生成,对应的函数值利用Excel的相对引用功能“拖曳”产生,至于取点的多寡,可根据需要灵活调整(只要改变A1和A2格两个数的间隔步长)。
在实际操作时,宜适度取点,这样既省时、省力,又能使绘出的图象更清晰、美观。
你能用上面的方法绘制函数()=3的图象吗?
专题阅读,22函数的基本性质,教学目标,1.了解函数的奇偶性的概念及判断方法.2.理解函数的单调性及其判断方法.3.理解函数最大(小)值的概念及其几何意义,掌握简单函数的最大(小)值的求法.,函数的三种表示方法,解析法、列表法、图像法,22函数的基本性质,复习回顾,22函数的基本性质,实例考察,(点击图例,查看动画演示),已知二次函数=2,反比例函数=2.请你通过计算,得到与的关系,并通过观察它们的图像,指出函数的图像特征.二次函数=2的定义域为:
1=,1=,得到1=2=,2=,得到2=函数的图像特征:
22函数的基本性质,实例考察,反比例函数=2图2-9的的定义域为:
1=,1=,得到1=2=,2=,得到2=函数的图像特征:
图29,22函数的基本性质,偶函数:
一般地,设函数=()的定义域为D,如果对于任意的,却有()=(),则称=()为偶函数,如=2为偶函数。
奇函数:
一般地,设函数=()的定义域为D,如果对于任意的xD,都有()=(),则称=()为奇函数,如=2非奇非偶函数:
如果一个函数既非奇函数,又非偶函数,则称为非奇非偶函数.,函数的奇偶性,22函数的基本性质,思考:
1奇函数,偶函数的定义域有什么特征?
(关于原点对称)2偶函数的图像一定是轴对称图形,反之成立吗?
3奇函数的图像关于原点成中心对称,反之成立吗?
函数的奇偶性,例题解析,22函数的基本性质,函数的奇偶性,例题解析,22函数的基本性质,函数的奇偶性,例题解析,22函数的基本性质,例2如图210,已知奇函数=()在y轴右边部分的图像,试把函数=()的图像画完整图210,函数的奇偶性,例题解析,22函数的基本性质,第一步,如图211a所示,在y轴右边的图像上适当取几个点O,A,B,C(一般取能够反映主要特征的点);第二步,画出这些点关于原点的对称点O,A,B,C,用一条光滑曲线顺次连结这些对称点,就得到了y=f(x)的完整图像,如图211b所示,图211,函数的奇偶性,知识巩固1,22函数的基本性质,函数的奇偶性,22函数的基本性质,知识巩固1,2如图212,已知偶函数=()在y轴左边部分的图像,试把函数=()的图像画完整,并比较
(1)与(3)的大小图212,函数的奇偶性,22函数的基本性质,知识巩固1,3如图213,已知奇函数=()在y轴右边部分的图像,试把函数=()的图像画完整,并求f(4)的值图213,函数的奇偶性,22函数的基本性质,增函数、减函数一般地,设函数=()的定义域上某个区间为I:
如果对于任意的x1,x2I,当x1x2时,都有f(x1)f(x2)我们就说函数=()在区间I上是单调增函数,简称增函数,其图像沿x轴的正方向上升,如图2-15a所示.如果对于任意的x1,x2I,当x1x2时,都有f(x1)f(x2)我们就说函数=()在区间I上是单调减函数,简称减函数,其图像沿x轴的正方向下降,如图2-15b所示.,函数的单调性,函数的单调性,22函数的基本性质,图2-15,函数的单调性,(点击图例,查看动画演示),22函数的基本性质,如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,我们就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I为函数y=f(x)的单调区间.如函数y=x22在(,0)上是减函数,区间(,0)为函数的单调减区间,在(0,+)上是增函数,区间(,0)为函数的单调增区间。
思考:
=+(0)的单调区间是什么?
(,+),函数的单调性,22函数的基本性质,例题解析,例1图216所示为函数=(),10,10的图像,试根据图像指出这个函数的单调区间,并说明在每个单调区间上,它是增函数还是减函数图216函数y=f(x)的单调区间有10,4,4,1,1,2,2,8,8,10,函数的单调性,解,函数=在区间10,4,1,2,8,10上是减函数,在区间4,1,2,8上是增函数,22函数的基本性质,例题解析,函数的单调性,22函数的基本性质,例题解析,函数的单调性,22函数的基本性质,例题解析,函数的单调性,22函数的基本性质,知识巩固2,函数的单调性,22函数的基本性质,最大值一般地,设函数y=f(x)的定义域为D如果对于任意xD都有f(x)f(x0),则称f(x0)为函数y=f(x)的最大值,记作ymax=f(x0)最小值如果对于任意的xD都有f(x)f(x0)则称f(x0)为函数y=f(x)的最小值记作ymin=f(x2)如函数yx22有ymin=f()2函数yx2有ymax=f()1,函数的最大值与最小值,函数的最大值与最小值,22函数的基本性质,例题解析,函数的最大值与最小值,小结:
对于闭区间上的单调函数,必在区间端点处取得函数的最小值或最大值。
22函数的基本性质,例题解析,函数的最大值与最小值,22函数的基本性质,例题解析,小结:
求解最大值或最小值应用题的步骤:
第一步:
设两个变量(未知数)第二步:
由条件例出函数解析式第三步:
求出最大值或最小值第四步:
根据实际问题的意义作正确答案,函数的最大值与最小值,22函数的基本性质,知识巩固3,图217,函数的最大值与最小值,22函数的基本性质,知识巩固3,3根据学过的知识完成下表:
函数的最大值与最小值,22函数的基本性质,本节主要学习了1函数奇偶性的定义及判断函数奇偶性的方法,特别要注意判断函数奇偶性时,一定要看其定义域是否关于原点对称.2函数的单调性,单调性是对某个区间而言的,同时理解定义的基础上,掌握函数单调性判断的方法步骤.3函数最大值和最小值的概念及简单应用.,本节小结,1.了解实数指数幂的含义,掌握幂的运算法则.2.了解幂函数的概念,了解简单幂函数的图像与性质.3.体会用数形结合思想方法研究函数.,23幂函数,教学目标,23幂函数,实数指数幂,实数指数幂,23幂函数,实数指数幂,例题解析,23幂函数,实数指数幂,例题解析,23幂函数,实数指数幂,23幂函数,实数指数幂,例题解析,23幂函数,实数指数幂,例题解析,知识巩固1,23幂函数,实数指数幂,知识巩固1,23幂函数,实数指数幂,23幂函数,幂函数,例题解析,23幂函数,例2画出函数的图像,结合图像讨论函数的性质函数列表:
例题解析,23幂函数,解,图218从图上可以看到,函数的图像从原点开始,在第一象限向右上方无限延伸
(1)定义域:
0,+);
(2)值域:
0,+)且当x=0时,ymin=0;(3)函数既不是奇函数,也不是偶函数;(4)函数在定义域0,+)上是增函数,例题解析,23幂函数,(点击图例,查看动画演示),23幂函数,图2-19从图上可以看到,函数=2的图像关于y轴对称,在第二象限,图像向上无限延伸,越来越靠近y轴,但与y轴永不相交;在第一象限,图像向右无限延伸,越来越靠近x轴,但与x轴永不相交,例题解析,
(1)定义域:
(,0)(0,+);
(2)值域:
(0,+);(3)函数=2是偶函数;(4)函数=2在(,0)上是增函数,在(0,+)上是减函数思考:
1结合=与=2及=2图像总结=(0)在第一象限内性质.2结合=1及=2图像总结=(0)在第一象限内性质.,23幂函数,知识巩固2,23幂函数,知识巩固2,23幂函数,1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解指数函数的概念,了解指数函数图像的特征和性质.,教学目标,24指数函数,24指数函数,实例考察,24指数函数,实例考察,24指数函数,指数函数的概念,24指数函数,正整数指数幂零指数幂a0=1(a0)负整数指数幂a-n=(a0)分数指数幂(a0,m,nN*,n1)(a0,m,nN*,n1),指数函数的概念,24指数函数,有理数指数幂的运算法则设a0,b0,p,qQ,则法则1+=法则2()法则3()=,指数函数的概念,例题解析,24指数函数,解,知识巩固1,24指数函数,24指数函数,指数函数的图像和性质,24指数函数,指数函数的图像和性质,(点击图例,查看动画演示),图2-20,总结性质:
24指数函数,指数函数的图像和性质,例题解析,24指数函数,指数函数的图像和性质,例2利用指数函数的性质比较下列各题中两个实数的大小:
(1)33.6与32.8
(2)与
(1)指数函数y=3x是增函数因为3.62.8,所以33.632.8
(2)指数函数y=是减函数因为2.53,所以,例题解析,24指数函数,指数函数的图像和性质,解,例题解析,24指数函数,指数函数的图像和性质,例题解析,24指数函数,指数函数的图像和性质,知识巩固2,24指数函数,指数函数的图像和性质,24指数函数,指数函数的图像和性质,:
指数函数的威力美国著名的科学家,避雷针的发明人,本杰明富兰克林(BenjaminFranklin,17061790),一生为科学工作,他死后留下的财产只有一千英镑.令人惊讶的是,他竟留下了一份分配几百万英镑财产的遗嘱!
这份有趣的遗嘱是这样写的:
专题阅读,本杰明富兰克林“一千英镑赠给波士顿的居民,如果他们接受了这一千英镑,那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民,他们得把这钱按每年5的利率借给一些年轻的手工业者去生息.这款子过了100年增加到131000英镑.我希望,那时候用100000英镑来建立一所公共建筑物,剩下的31000英镑拿去继续生息100年.在第二个100年末了,这笔款增加到4061000英镑,其中1061000英镑还是由波士顿的居民来支配,而其余的3000000英镑让马萨诸塞州的公众来管理.此后,我可不敢多作主张了!
”,专题阅读,富兰克林,留下区区的1000英镑,竟立了百万富翁般的遗嘱,莫非昏了头脑?
让我们按照富兰克林非凡的设想实际计算一下.(结果精确到1镑)第一个100年:
1000(15)100131501第二个100年:
31501(15)1004142421第三个100年:
3000000(15)100=?
通过上面的计算,我们发现,富兰克林的遗嘱是站得住脚的.这是一个典型的指数模型y=1.05x,我们通过指数函数的图像就可以看出,当底数大于1时,图像随着指数呈逐渐递增的趋势,且上升速度越来越快,所以这笔财产会越来越多.由此可见指数函数的增大作用.,专题阅读,25对数函数,25对数函数,结合上一节的细胞分裂问题,认真思考下面的问题.细胞分裂的次数某种细胞的分裂规律为:
1个细胞1次分裂成2个与它本身相同的细胞.即1个细胞经过第1次分裂成为2个;经过第2次分裂成为4个那么,第几次分裂后恰好出现16个细胞?
第几次分裂后恰好出现128个细胞?
设第6次分裂后恰好出现16个细胞,即2b=16。
由于24=16,所以b=4.思考:
第几次分裂后出现10个细胞,即2b=10求b?
实例考察,25对数函数,对数的定义:
一般地如果=(0,1)那么b称为数a为底N的对数,记作=log其中,a为对数的底数,简称为底,N称为真数.提示:
已知a、N求b的运算是对数的运算.,对数的运算,25对数函数,通常,我们称等式=为指数式,称等式log=为对数式.根据对数的定义,可以得到,当0,且1时,=log=由上述指数式与对数式的关系,可以得到如下结论:
1零和负数没有对数;2log1=0log=1(0,1);3log=(0,1);4log=(0,1).,对数的性质,25对数函数,对数的性质,例题解析,例2求下列各式的值:
(1)log31;
(2)log;(3)3log37;(3)log;(5)log28;(6)log;,例题解析,25对数函数,对数的性质,解:
(1)log31=02log22=133log37=7(4)log=55log53=53=533(5)log28=log223=3(6)log214=log22=2,知识巩固1,25对数函数,对数的性质,25对数函数,若0,0,0,则有法则1log=log+log法则2log=loglog法则3log=log(nR),对数的运算法则,25对数函数,法则1和法则3的证明设logaM=p,logaN=q,把它们化为指数式:
M=ap,N=aqMN=apaq=ap+qMn=(ap)n=apn所以loga(MN)=logaap+q=p+q=logaM+logaNlogaMn=logaapn=pn=nlogaM,对数的运算法则,例1求log3+log13(0,1)的值解法一log3+log13=log313=log1=0法二log3+log13=log3+(log1log3)=0法三log3+log13=log3+log31=log3log3=0,例题解析,25对数函数,例2已知log2=0.2(0,且1),求log29log116.解log29log116=loga14=loga22=2log2=20.2=0.4,对数的运算法则,例3计算:
(1)log2
(2)log2(4226)(3)log3+2log3(4)log5100-2log52
(1)log2=log2128=log227=
(2)log2(4226)=log242+log226=2log24+6log22=22+61=10(3)(4),例题解析,25对数函数,解,对数的运算法则,例题解析,25对数函数,换底公式,知识巩固2,25对数函数,常用对数和自然对数,25对数函数,定义:
一般地,我们把形如=log(0,1)的函数称为对数函数.我们把指数函数=(0,且1),(,+)和对数函数=log(0,且1),(0,+)之间的关系称为互为反函数的关系.,对数函数的概念,例题解析,25对数函数,对数函数的概念,知识巩固3,25对数函数,对数函数的概念,(点击图例,查看动画演示),25对数函数,讨论=log及=log12的图像和性质图3-22小结性质两个图像都在y轴的右边两个图像都过点(1,0)=log的图像沿x轴的正方向上开,在定义域内是增函数.=log12的图像沿x轴的正方向下降,在定义域内是减函数.,对数函数的图像和性质,25对数函数,一般地,对数函数=log(a0,且a1)的图像和性质如下,对数函数的图像和性质,例题解析,25对数函数,对数函数的图像和性质,例题解析,25对数函数,对数函数的图像和性质,例题解析,25对数函数,对数函数的图像和性质,例题解析,25对数函数,对数函数的图像和性质,例题解析,25对数函数,解:
(1)根据对数函数的性质,在(0,+)上,随着A的增大,lg增大,相应地,lglg0也增大(lg0为常数).所以,随着A的增大,M也增大,即被测地震的最大振幅越大,地震震级就越大.
(2)当A=20,A0=0.001时=lg20lg0.001=lg200.001=lg20000=lg2+lg1044.3因此,这次地震约为里氏4.3级.,对数函数的图像和性质,知识巩固4,25对数函数,1.利用函数的单调性比较log30.5,log31.1,log34.2的大小,并使用计算器验证.2请用,号填空:
(1)log3.11.4log3.1
(2)loglog(3)log30.40(4)log0.2313已知下列不等式,比较a与b的大小:
(1)log2.1alog2.1b
(2)log0.3alog0.3b4.上述例3中,请计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1)?
计算结果能说明什么问题?
对数函数的图像和性质,25对数函数,本节主要介绍了对数的概念对数的基本运算法则对数函数的概念对数函数的图像及性质对数函数的简单应用.,本节小节,专题阅读,专题阅读,利用计算机作函数的图像在学习和工作中,能否准确地作出函数的图像至关重要。
我们所学的“描点法”作图,是最基本的作图方法,但这种方法操作起来比较麻烦,而且不够精
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- 数学 第七 上册 第二