1、陕西省咸阳百灵中学学年高二数学下学期第二次月考试题文咸阳百灵学校20202020学年度第二学期第二次月考高二数学（文）试题1. (1+i )( 2+i )=(2.给定下列命题:其中正确的命题个数是（A.3.已知x0, y0,且 x + y = 8,则(1 + x)(1 + y)的最大值为( )A.16 B.25 C.9 D . 364.已知a, b (0,1)，记 g ab,N= a+ b 1，贝U M与 N的大小关系是A.MkN BM= N C.MN D .不确定5.若 x0, y0,x + y M= F，N=忌+占，则M N的大小关系是A. M= N.MN6.若 abc,则下列不等式成立的
2、是（A. 一a c b-c1 1bc D . ac 3)的最小值是X 310.若x0,则4x*的最小值是（A.9C.13D.不存在2 2 2 211.设 a, b, c, d 为正数，a+ b+ c+ d= 1，贝U a + b + c + d 的最小值为（ ）12.对任意 x, y R, | x 1| + |x| + |y 1| + | y + 1| 的最小值为（ ）A. 1 B . 2 C . 3 D . 4二、填空题我们称 为正数a与b的算术平均值， 为正数a与b的几何平均值.14.xOy取相同的长度单位建立极坐标以原点0为极点，以X轴正半轴为极轴且与直角坐标系系.若圆C的极坐标方程为
3、25sin ，则其直角坐标方程为 .15.有以下四个条件：b0 a； 0ab； a 0b； a b 0.11其中能使-v -成立的有 个条件.a b 11 1 116.用数学归纳法证明“S = 不 + 卫+齐3 + 时 1( n N+ ) ”时，S1等于三、解答题x 1 cos17.在平面直角坐标系 xOy中，曲线C的参数方程为 (为参数).若以射线y sinOx为极轴建立极坐标系，求曲线 C的极坐标方程。18.解下列不等式:19.若正数x, y满足x+4y=4,求xy的最大值20.若a, b, c均为正数,求证：a+ b+ c ab+ bc+ ca.221.某单位建造一间地面面积为 12 m
4、的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面 的长度x不得超过5 mi房屋正面的造价为 400元/mi,房屋侧面的造价为150元/ mi,屋顶和地面 的造价费用合计为 5 800元，如果墙高为3 m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时： 总造价最低？1, n是正整数)22.用数学归纳法证明：(1 )n 1 n (其中、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）2. (1+i )( 2+i )=(D.3+3 iA. 1- iB.1+3 iC.3+ i2.给定下列命题:其中正确的命题个数是（A. 0 B答案 A当a0, b0时，错误.答案 B解析 (1 + x)(1 + y)
5、N D .不确定答案C解析M- N= ab- a-b+ 1 = (1 a)( 1 b)0 , MN.x + y x y5.若x0, y0, M=石N=苗+帀，则M N的大小关系是（)A . M= N B . MkN C. Me N D . MN答案 B解析 / x0, y0,. x + y + 11 + x0, 1 + x + y1 + y0,答案 B7.过点A4,牛与极点的直线的极坐标方程为 （ ）19.函数y =匚 + x(x 3)的最小值是x 3A.9B.3(V 1C.13D.不存在2x+2x+1 3 . I 2 3636,当且仅当2x=h ,即x=2解析：因为x0,所以4x+=2x时等
6、号成立.11.设a, b, c, d为正数,a+ b+ c+ d= 1,c2 + d2的最小值为C.1 D.解析 由柯西不等式(a + b2+ c2+ d2)(1 2+12 +2_(a+ b+ c + d)，因为 a + b+ c + d= 1,于是由上式得“222$ 2 ,2 2 J4( a + b + c + d )1,于疋 a + b + c + d4,1当且仅当a= b= c = d = 丁时取等号.412.对任意 x, y R, lx 1| + |x| + |y 1| + |y + 1| 的最小值为（ ）A. 1 B . 2 C . 3 D . 4解析：|x 1| + |x| + |
7、y 1| + |y+ 1| | x 1 x| +1 y 1 （y+ 1）| = 1 + 2 = 3.答案：C 二、填空题13.对任意两个正数 a, b,有 Jab（此式当且仅当a= b时取=”号）.我们称 为正数a与b的算术平均值， 为正数a与b的几何平均值.14.以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴且与直角坐标系 xOy取相同的长度单位建立极坐标15.16.有以下四个条件:1 1 a b.丄L - 1 1 1 1解析：t b 0,.厂 0. T a 0,. 0. . 7 b a ah1 1 b a a.- 11 11 a0ba0, bb综上知，均能使1成立.答案:a b16.用数学归纳法证明“
8、S = + + 3n+ 1 n+ 2 n+ 31+ + 3n+ 11 1( n N+ ) ” 时，S 等于1 1 1解析 n= 1 时，n+ 1 = 2, 3n+ 1 = 4,. S = 2 + 3+23 4三、解答题x 1 cos17.在平面直角坐标系 xOy中，曲线C的参数方程为 （为参数）.若以射线y sinOx为极轴建立极坐标系，求曲线 C的极坐标方程。【解析】由 - 3为参妳 得曲线C普通方程为b-厅+於y 騒沁又由厂,可得曲线C的根坐标方程为卩二加沾夕，故选D.y = fisififf18.解下列不等式：(1)|5 x 2| 8; (2)| x + 1| + |x|8 ? 5x 2
9、8 或 5x 22 或 x2或xw 5 .(2)解法一：利用分类讨论的思想方法.3 当 xw 1 时，一x 1 x2，解得一2x 1;当1x0 时，x+ 1 x2,解得1x0 时，x + 1 + x2，解得 0Wx31因此，原不等式的解集为 x| 2x0 ,令 f (x) = |x+ 1| + |x| 2 = 1 1W x0 ,2x 3 x 1 .作函数f（x）的图像（如图）,3 1 3 1知当f(x)o时，一2x2* 故原不等式的解集为 x| 2x2 .法三：利用数形结合的思想方法.由绝对值的几何意义知，I x + 1|表示数轴上点 F(x)到点 A 1)的距离，I x|表示数轴上 点P(x
10、)到点0(0)的距离.由条件知，这两个距离之和小于 2.作数轴(如图)，知原不等式的解集为 x 3 x1 .法四：利用等价转化的思想方法.原不等式？ 0W| x + 1|2 |x| , (x+ 1)2(2 |x|) 2,且 |x|2 ,2 2即 OW 4| x|3 2x，且 | x|2. 16x(3 2x)，且一2x2.3 i 3 1解得2x2. 故原不等式的解集为 x x219.若正数x, y满足x+4y=4,则xy的最大值为 .解析：由平均值不等式可得 x+4y=4，当且仅当 x=4y=2时等号成立，所以4 . - , ab+ , bc+ , ca.证明：t a, b, c为正实数， a+
11、 b2 ab, b+ cbc, c+ a2 ca.由上面三式相加可得(a+ b) + (b+ c) + (c+ a).,： ab+ 2.： bc+ 2;ca，即 a+ b+ c岑 ab+ bc+ca.x= t + 1 ,.21 -在平面直角坐标系XOy中，直线1的参数方程为y= 2t （t为参数），曲线C的参2（0为参数）.试求直线I和曲线C的普通方程，并求出它们的公共x= 2tan 0 ,数方程为y= 2ta n 0点的坐标.x = t + 1,解：因为直线I的参数方程为 （t为参数）,y = 2t由x = t + 1，得t = x- 1,代入y= 2t，得到直线I的普通方程为2x y 2=
12、 0.同理得到 曲线C的普通方程为y2= 2x.y = 2 x 1 , 1联立方程组 2 解得公共点的坐标为（2,2） , ， 1 .y = 2x, 221.某单位建造一间地面面积为 12 m的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 mi房屋正面的造价为 400元/ m房屋侧面的造价为150元/ ,屋顶和地面的造价费用合计为 5 800元，如果墙高为3 m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时，总造价最低？（2xx 150 + x 4001 l（x + 解由题意可得，总造价y=3 I X 丿+5 800=900 1 兀丿+5800（0 900 X刃 X +5 800 =13 000（元）,当且仅当x=,即x=4时，等号成立.故当侧面的长度为 4 m时，总造价最低.22.用数学归纳法证明：（1 ）n 1 n （其中 1,n是正整数）.1 1
