1、高考导数问题常见题型总结高考有关导数问题解题方法总结、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和 极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。1 在区间上的最大值是 22.已知函数处有极大值，则常数 c = 63函数有极小值 1 , 极大值 3题型二：利用导数几何意义求切线方程1.曲线在点处的切线方程是2.若曲线在P点处的切线平行于直线，则P点的坐标为 (1,0)3.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为4.求下列直线的方程：解：( 1)所以切线方程为(2)显然点P (3, 5)不在曲
2、线上，所以可设切点为，则又函数的导数为，所以过点的切线的斜率为，又切线过、P(3,5)点，所以有，由 联立方程组得,即切点为( 1, 1)时,切线斜率为；当切点为( 5, 25)时,切线斜率为；所以所求的切线有两条,方程分别为题型三：利用导数研究函数的单调性,极值、最值1已知函数的切线方程为 y=3x+1(I)若函数处有极值，求的表达式;(n)在(I)的条件下，求函数在3, 1上的最大值;(皿)若函数在区间2, 1上单调递增，求实数b的取值范围解：( 1 )由过的切线方程为：y f (1) f (1)(x 1),即 y (a b c 1) (3 2a b)(x 1).而过由得 a=2 , b二
3、一4, c=5.2)又在 3， 1上最大值是 13。(3) y=f(x)在2, 1上单调递增，又由知 2a+b=0。依题意在2, 1上xx有0,即1当；2当；3当综上所述,参数 b 的取值范围是2已知三次函数在和时取极值,且(1)求函数的表达式；(2)求函数的单调区间和极值；(3)若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件解： (1) ，由题意得，是的两个根，解得，再由可得(2)，当时，;当时，;当时，；当时，；当时，.函数在区间上是增函数;在区间上是减函数；在区间上是增函数.函数的极大值是，极小值是.(3)函数的图象是由的图象向右平移个单位，向上平移 4个单位得到的，所以，函数在区间上的值域
4、为().而，二，即.于是，函数在区间上的值域为.令得或.由的单调性知，即.综上所述，、应满足的条件是：，且3设函数若的图象与直线相切，切点横坐标为2,且在处取极值，求实数 的值；2)当 b=1 时,试证明：不论 a 取何实数,函数总有两个不同的极值点由题意,代入上式,解之得： a=1, b=12)当 b=1 时,因故方程有两个不同实根不妨设,由可判断的符号如下：因此是极大值点，是极小值点.，当 b=1时，不论a取何实数，函数总有两个不同的极值点。题型四：利用导数研究函数的图象图象只可能是(A)( B)2 .函数(A )1.如右图:是f (X)的导函数， 的图象如右图所示，贝J f (X)的OB
5、、2D 3题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1.设函数(1)求函数的单调区间、极值.(2)若当时，XX有，试确定a的取值范围.解：（ 1）=，令得列表如下：f (x)在（a,）上单调递增，在（-8, 3）和（，+8）上单调递减时，时，（2）v,a对称轴,在 a+1 , a+2 上单调递减依题,即解得，又的取值范围是2.已知函数f (x) = x3 + ax2 + bx+ c在x=与x= 1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（X）的单调区间2）若对 x 1, 2,不等式 f （ x）c2 恒成立,求 c 的取值范围。解：(1) f (x)= x3 + ax2 + bx + c
6、, f (x) = 3x2 + 2ax + b由 f ()=, f (1)= 3+ + b = 0得 a=, b=-2f (x) = 3x2 x-2=( 3x + 2)( x-1)，函数 f (x)的单调区间 如下表:x2( ,3)2-32(3 , 1)1(1，+ )f (x)+00+f (x)极大值极小值所以函数f (x)的递增区间是(一，一)与(1,+),递减区间 是(一，1)(2) f (x)= x3-x2-2x + c, x :- 1, 2，当 x=时，f (x)=+ c为极大值，而f (2)= 2 + c,则f (2)= 2+ c为最大值。要使 f (x) c2 (x - 1,2)x
7、x 成立，只需 c (2)= 2+c,解得 c- 1 或 c2题型六：利用导数研究方程的根1.已知平面向量=(,-1).=(,).(1)若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2 -3),二-k+t，丄,试求函数关系式k=f(t)3) =0整理后得-k+t-k(t2-3) + (t2-V =0, =4, =1,.上式化为-4k+t(t2-3)=0 ，即 k=t(t2-3)讨论方程t(t2-3)-k=0 的解的情况，可以看作曲线f(t)= t(t2-3)与直线y=k的交点个数.于是(t)= (t2 -1)= (t+1)(t-1).令f (t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f (t)
8、、f(t)的变化情况如下表:t(-a, -1)-1(-1,1)1(1,+ a)f(t)+0-0+F(t)极大值极小值当t= 1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=.当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=函数f(t)=t(t2-3) 的图象如图13 2 1所示,可观察出:(1)当k或kv时，方程f(t) k=0有且只有一解;当k二或k二时，方程f(t) k=0有两解; 当一V kv时，方程f(t) k=0有三解.题型七：导数与不等式的综合1设在上是单调函数 .1)求实数的取值范围；(2)设1, 1,且，求证：.解：(1) 若在上是单调递减函数，则须这样的实数 a 不存在. 故在 上不可
9、能是单调递减函数 .若在上是单调递增函数，则W,由于.从而Ovaw 3.(2)方法1、可知在上只能为单调增函数.若1W,则若1W矛盾，故只有成立 .方法2:设，两式相减得 1,u 1,2已知为实数，函数1)若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围(2)若，(I)求函数的单调区间 (n)证明对任意的，不等式XX成立解：，函数的图象有与轴平行的切线，有实数解，所以的取值范围是由或；由的单调递增区间是；单调减区间为XX 的最大值为，的极小值为，又在上的最大值，最小值对任意， XX 有题型八：导数在实际中的应用1请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为的正六棱锥(如右图
10、所示)。试问当帐篷的顶点 0到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设00伪，则由题设可得正六棱锥底面边长为：，（单位：）故底面正六边形的面积为： =，（单位：）帐篷的体积为：（单位：）求导得。令，解得（不合题意，舍去），当时，为增函数；当时，为减函数。答：当00伪时，帐篷的体积最大，最大体积为。2统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米 / 小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距 100 千米。（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时,要耗没（升）。（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升,依题意得令得因为在上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最 少为。题型九：导数与向量的结合求函数关系式;(2)则在上有由;由。因为在t 上是增函数，所以不存在 k,使在上XX成立。故k的取值范围是。
