高考导数问题常见题型总结.docx
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高考导数问题常见题型总结
高考有关导数问题解题方法总结
、考试内容
导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数;
两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值。
二、热点题型分析
题型一:
利用导数研究函数的极值、最值。
1.在区间上的最大值是2
2.已知函数处有极大值,则常数c=6
3.函数有极小值-1,极大值3
题型二:
利用导数几何意义求切线方程
1.曲线在点处的切线方程是
2.若曲线在P点处的切线平行于直线,则P点的坐标为(1,0)
3.若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为
4.求下列直线的方程:
解:
(1)
所以切线方程为
(2)显然点P(3,5)不在曲线上,所以可设切点为,则①又函数
的导数为,
所以过点的切线的斜率为,又切线过、P(3,5)点,所以有②,由①②联立方程组得,,即切点为(1,1)时,切线斜率为;当切点为(5,25)
时,切线斜率为;所以所求的切线有两条,方程分别为
题型三:
利用导数研究函数的单调性,极值、最值
1.已知函数的切线方程为y=3x+1
(I)若函数处有极值,求的表达式;
(n)在(I)的条件下,求函数在[—3,1]上的最大值;
(皿)若函数在区间[—2,1]上单调递增,求实数b的取值范围
解:
(1)由
过的切线方程为:
yf
(1)f
(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).
而过
由①②③得a=2,b二一4,c=5「.
2)
又在[-3,1]上最大值是13。
(3)y=f(x)在[—2,1]上单调递增,又由①知2a+b=0。
依题意在[—2,1]上xx有》0,即
1当;
2当;
3当
综上所述,参数b的取值范围是
2.已知三次函数在和时取极值,且.
(1)求函数的表达式;
(2)求函数的单调区间和极值;
(3)若函数在区间上的值域为,试求、应满足的条件.
解:
(1),
由题意得,是的两个根,解得,.
再由可得
(2),
当时,;当时,;
当时,;当时,;
当时,.•••函数在区间上是增函数;
在区间上是减函数;在区间上是增函数.
函数的极大值是,极小值是.
(3)函数的图象是由的图象向右平移个单位,向上平移4个单位得
到的,
所以,函数在区间上的值域为().
而,二,即.
于是,函数在区间上的值域为.
令得或.由的单调性知,,即.
综上所述,、应满足的条件是:
,且.
3.设函数.
若的图象与直线相切,切点横坐标为2,且在处取极值,求实
数的值;
2)
当b=1时,试证明:
不论a取何实数,函数总有两个不同的极
值点.
由题意,代入上式,解之得:
a=1,b=1.
2)当b=1时,
因故方程有两个不同实根.
不妨设,由可判断的符号如下:
因此是极大值点,是极小值点.,当b=1时,不论a取何实数,函
数总有两个不同的极值点。
题型四:
利用导数研究函数的图象
图象只可能是(
(A)(B)
2.函数(A)
1.如右图:
是f(X)的导函数,的图象如右图所示,贝Jf(X)的
OB、、2D3
题型五:
利用单调性、极值、最值情况,求参数取值范围
1.设函数
(1)求函数的单调区间、极值.
(2)若当时,XX有,试确定a的取值范围.
解:
(1)=,令得
列表如下:
f(x)
•••在(a,)上单调递增,在(-8,3)和(,+8)上单调递减
时,,时,
(2)v,a对称轴,
•在[a+1,a+2]上单调递减
依题,即
解得,又的取值范围是
2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=—与x=1时都取得极
值
(1)求a、b的值与函数f(X)的单调区间
2)若对x〔—1,2〕,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范
围。
解:
(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b
由f()=,f
(1)=3++b=0得a=,b=-2
f(x)=3x2—x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:
x
2
(—,—3)
2
-3
2
(—3,1)
1
(1,+)
f(x)
+
0
—
0
+
f(x)
极大值
极小值
所以函数f(x)的递增区间是(一,一)与(1,+),递减区间是(一,1)
(2)f(x)=x3-x2-2x+c,x:
-1,2〕,当x=—时,f(x)
=+c
为极大值,而f
(2)=2+c,则f
(2)=2+c为最大值。
要使f(x)c2(x[-1,2〕)xx成立,只需c
(2)=2+c,解得c-1或c2
题型六:
利用导数研究方程的根
1.已知平面向量=(,-1).=(,).
(1)若存在不同时为零的实数k和t,使=+(t2-3),二-k+t,丄,
试求函数关系式k=f(t)
3)•=0
整理后得-k+[t-k(t2-3)]+(t2-
V=0,=4,=1,.••上式化为-4k+t(t2-3)=0,即k=t(t2-3)
⑵讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况,可以看作曲线f(t)=t(t2-3)
与直线y=k的交点个数.
于是「(t)=(t2-1)=(t+1)(t-1).
令f’(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时,f’(t)、f(t)的变化情
况如下表:
t
(-a,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,+a)
f’(t)
+
0
-
0
+
F(t)
极大值
\
极小值
当t=—1时,f(t)有极大值,f(t)极大值=.
当t=1时,f(t)有极小值,f(t)极小值=—
函数f(t)=t(t2-3)的图象如图13—2—1所示,
可观察出:
(1)当k>或kv—时,方程f(t)—k=0有且只有一解;
⑵当k二或k二—时,方程f(t)—k=0有两解;
⑶当一Vkv时,方程f(t)—k=0有三解.
题型七:
导数与不等式的综合
1.设在上是单调函数.
1)求实数的取值范围;
(2)设》1,>1,且,求证:
.
解:
(1)若在上是单调递减函数,则须这样的实数a不存在.故在上不可能是单调递减函数.
若在上是单调递增函数,则W,
由于.从而Ovaw3.
(2)方法1、可知在上只能为单调增函数.若1W,则若1W矛
盾,故只有成立.
方法2:
设,两式相减得>1,u>1,
2.已知为实数,函数
1)若函数的图象上有与轴平行的切线,求的取值范围
(2)若,(I)求函数的单调区间(n)证明对任意的,不等式XX成立
解:
,
函数的图象有与轴平行的切线,有实数解
,,所以的取值范围是
由或;由
的单调递增区间是;单调减区间为
XX的最大值为,的极小值为,又
在上的最大值,最小值
对任意,XX有
题型八:
导数在实际中的应用
1.请您设计一个帐篷。
它下部的形状是高为的正六棱柱,上部的形
状是侧棱长为的正六棱锥(如右图所示)。
试问当帐篷的顶点0到底面
中心的距离为多少时,帐篷的体积最大?
解:
设00伪,则
由题设可得正六棱锥底面边长为:
,(单位:
)
故底面正六边形的面积为:
=,(单位:
)
帐篷的体积为:
(单位:
)
求导得。
令,解得(不合题意,舍去),,
当时,,为增函数;
当时,,为减函数。
答:
当00伪时,帐篷的体积最大,最大体积为。
2.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)
关于行驶速度(千米/小时)的函数解析式可以表示为:
已知甲、乙两地相距100千米。
(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗
油多少升?
II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?
最少为多少升?
解:
(I)当时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,
要耗没(升)。
(II)当速度为千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗
油量为升,
依题意得
令得
因为在上只有一个极值,所以它是最小值。
答:
当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油。
当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为。
题型九:
导数与向量的结合
求函数关系式;
(2)
则在上有
由;
由。
因为在t€上是增函数,所以不存在k,使在上XX成立。
故k的取
值范围是。
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