朝阳区高三年级第一次数学文科综合练习及答案.docx
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朝阳区高三年级第一次数学文科综合练习及答案
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试(文史类)2018.3
(考试时间120分钟满分150分)
第一部分(选择题共40分)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知全集为实数集,集合,,则
A.B.C.D.
2.在复平面内,复数所对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.已知平面向量,,且,则实数的值是
A.B.C.D.或
4.已知直线平面,则“直线”是“”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.已知为抛物线的焦点,过点的直线交抛物线于两点,若,则线段的中点到直线的距离为
A.2B.4C.8D.16
6.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于
A.B.
C.D.
7.函数的零点个数为
A.B.C.D.
8.某学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项目只设置一个一等奖,在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下:
小张说:
“甲或乙团队获得一等奖”;
小王说:
“丁团队获得一等奖”;
小李说:
“乙、丙两个团队均未获得一等奖”;
小赵说:
“甲团队获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得一等奖的团队是
A.甲B.乙C.丙D.丁
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.
9.执行如图所示的程序框图.若输入,则输出的值为________.
10.双曲线的焦距为__________;渐近线方程为_________.
11.已知圆:
内有一点,经过点的直线与圆交于,两点,当弦恰被点平分时,直线的方程为.
12.已知实数满足若取得最小值的最优解有无数多个,则的值为_________.
13.函数()的部分图象如图所示,
则;.
14.许多建筑物的地板是用正多边形的砖板铺成的(可以是多种正多边形).如果要求用这些正多边形的砖板铺满地面,在地面某一点(不在边界上)有块砖板拼在一起,则的所有可能取值为.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
已知数列的前项和满足.
(Ⅰ)求,,的值;
(Ⅱ)已知数列满足,,求数列的通项公式.
16.(本小题满分13分)
在中,已知,.
(Ⅰ)若,求的面积;
(Ⅱ)若为锐角,求的值.
17.(本小题满分13分)
某地区高考实行新方案,规定:
语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选出了三个科目作为选考科目.若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理、化学和生物”为其选考方案.
某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:
性别
选考方案确定情况
物理
化学
生物
历史
地理
政治
男生
选考方案确定的有6人
6
6
3
1
2
0
选考方案待确定的有8人
5
4
0
1
2
1
女生
选考方案确定的有10人
8
9
6
3
3
1
选考方案待确定的有6人
5
4
0
0
1
1
(Ⅰ)试估计该学校高一年级确定选考生物的学生有多少人?
(Ⅱ)写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数.(直接写出结果)
(Ⅲ)从选考方案确定的男生中任选2名,试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.
18.(本小题满分14分)
如图1,在梯形中,,,,于,.将沿折起至,使得平面平面(如图2),为线段上一点.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)若为线段中点,求多面体与多面体的体积之比;
(Ⅲ)是否存在一点,使得平面?
若存在,求的长.若不存在,请说明理由.
19.(本小题满分14分)
已知椭圆的离心率为,且过点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过椭圆左焦点的直线与椭圆交于两点,直线过坐标原点且直线与的斜率互为相反数,直线与椭圆交于两点且均不与点重合,设直线的斜率为,直线的斜率为.证明:
为定值.
20.(本小题满分13分)
已知函数.
(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若,求函数的单调区间;
(Ⅲ)若,求证:
.
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试答案(文史类)2018.3
一、选择题(本题满分40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
B
B
A
C
D
二、填空题(本题满分30分)
题号
9
10
11
答案
题号
12
13
14
答案
3,4,5,6
三、解答题(本题满分80分)
15.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ),,.………………4分
(Ⅱ)因为,
所以,当时,有,
则,即
所以是以为首项,为公比的等比数列.所以.
因为,所以.
则,
,
,
以上个式子相加得:
,
又因为,所以.………………13分
16.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)由,得,
因为,所以.
因为,所以.
故的面积.………………7分
(Ⅱ)因为,,因为为锐角,所以.
所以.……………13分
17.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)由数据可知,男生确定选考生物的学生有人,女生确定选考生物的学生有人,该学校高一年级有人.………………3分
(Ⅱ)选考方案确定的男生中,选择“物理、化学和地理”的人数是2人.…………6分
(Ⅲ)由数据可知,已确定选考科目的男生共6人.其中有3人选择“物理、化学和生物”,记为,,;有1人选择“物理、化学和历史”,记为;有2人选择“物理、化学和地理”,记为,.
从已确定选考科目的男生中任选2人,有,,,,,,,,,,,,,,,共15种选法.两位学生选考科目完全相同的选法种数有,,,,共4种选法.
设事件:
从已确定选考科目的男生中任选出2人,这两位学生选考科目完全相同.
则.………………13分
18.(本小题满分14分)
证明:
(Ⅰ)如图1,在梯形中,
因为,所以(如图2).
因为平面平面,且平面平面,
所以平面.
又因为平面,所以.………………4分
(Ⅱ)解:
由(Ⅰ)可知平面,
A′
H
E
D
M
B
C
所以,.
过点作于,则,
所以平面.
因为为中点,,所以.
设四棱锥的体积为,则
.
设三棱锥的体积为,则
.
所以
所以.………………9分
A′
(Ⅲ)解:
存在一点,使得平面.理由如下:
M
连结交于,连结,则
平面平面.
E
D
由平面,得.
N
B
C
所以.
在梯形中,
因为,所以∽.
又因为,,所以.
于是,所以.
又因为,,所以.故的长为.…………14分
19.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)由题意得解得,,.
故椭圆的方程为.………………5分
(Ⅱ)证明:
由题意可设直线的方程为,直线的方程为,
设点,,,,
则
.
由得,
所以,.
由得,所以.
所以.
所以.
故为定值,定值为.………………14分
20.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)若,则,,,
所以在点处的切线方程为.………………3分
(Ⅱ),.
令,则.
令,得.(依题意)
由,得;由,得.
所以,在区间上单调递减,在区间上单调递增
所以,.
因为,所以,.
所以,即.
所以函数的单调递增区间为.………………8分
(Ⅲ)由,,等价于,等价于.
设,只须证成立.
因为,,
由,得有异号两根.
令其正根为,则.
在上,在上.
则的最小值为
.
又,,
所以.
则.
因此,即.所以
所以.……………13分
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