中考数学一轮复习第二章方程与不等式第2节一元二次方程及其应用试题.docx

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中考数学一轮复习第二章方程与不等式第2节一元二次方程及其应用试题

2019-2020年中考数学一轮复习第二章方程与不等式第2节一元二次方程及其应用试题

课标呈现，指引方向

1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．

2．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．

3．能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程，体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．

4．*了解一元二次方程的根与系数的关系．

考点梳理，夯实基础

1．在整式方程中，只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程，它的一般形式是．其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项：

叫做二次项的系数．叫做一次项的系数．

【答案】1，2，ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．ax2，bx，c，a，b．

2．一元二次方程的解法：

（1）直接开平方法：

形如x2＝a（a≥0）或（x－b）2＝a（a≥0）的一元二次方程，就可用直接开平方的方法．

（2）配方法的一般步骤是：

①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数：

②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项：

③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化原方程为（x＋m）2＝n的形式：

⑤如果n是非负数，即n≥0，就可以用直接开平方求出方程的解．如果n＜0．则原方程无解．

（3）公式法：

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式是：

．

【答案】x＝（b2－4ac≥0）

（4）因式分解法：

因式分解法的一般步骤是：

①将方程的右边化为;②将方程的左边化成两个一次因式的乘积：

③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．

【答案】0

3．一元二次方程根的判别式：

关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）

（1）b2－4ac＞0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有的实数根，即x＝．

【答案】两个不相等，

（2）b2－4ac＝0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有的实数根，即x1＝x2＝．

【答案】两个相等，－

（3）b2－4ac＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）实数根．

【答案】没有

*4．一元二次方程根与系数的关系

若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两实根分别为x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．

【答案】－，．

第一课时

考点精析，专项突破

考点一一元二次方程的解

【例1】（xx攀枝花）若x＝－2是关于x的一元二次方程x2＋ax－a2＝0的一个根，则a的值为（）

A．－1或4B．－1或－4C．1或－4D．1或4

【答案】C

解题点拨：

把x＝－2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．

解：

根据题意，将x＝－2代入方程x2＋ax－a2＝0，得：

4－3a－a2＝0，

即a2＋3a－4＝0．

（a－1）（a＋4）＝0，

∴a－1＝0，或a＋4＝0，

解得：

a＝1或－4，

故选：

C．

考点二一元二次方程的解法

【例2】解方程：

（1）2（x－2）2－1＝0

（2）x2－2x－2＝0

（3）y2－7y＋10＝0（4）4x2－5x＋2＝0

解题点拨：

解一元二次方程时对方程结构的观察很重要，可先考虑能否用直接开平方，分解因式法，若不行则用求根公式法．

解：

（1）（x－2）2＝，

∴x－2＝±，x＝2±，

∴x1＝2＋，x2＝2－

（2）a＝1，b＝－2，c＝－2，△＝b2－4ac＝4－4×1×（－2）＝12，

∴x＝＝＝1±，

∴x1＝1＋，x2＝1－．

（3）（y－2）（y－5）＝0，y1＝2，y2＝5．

（4）a＝4，b＝－5，c＝2，

∴△＝25－4×2×4＝－7＜0．

∴方程没有实数根．

考点三根的判别式和韦达定理

【例3】

（1）（xx白贡）已知关于x的一元二次方程x2＋2x－（m－2）＝0有实数根，则m的取值范围是（）

A．m＞1B．m＜1C．m≥1D．m≤1

【答案】C

解题点拨：

根据关于x的一元二次方程x2＋2x－（m－2）＝0有实数根，可知△≥0．从而可以求得m的取值范围．

解：

∵关于x的一元二次方程x2＋2x－（m－2）＝0有实数根，

∴△＝b2－4ac＝22－4×1×[－（m－2）]≥0，

解得m≥1．故选C．

（2）（xx聊城）如果关于x的一元二次方程kx2－3x－1＝0有两个不相等的实根，那么k的取值范围

是．

【答案】k＞－且k≠0．

解题点拨：

根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（－3）2－4×k×（－1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．

解：

∵关于x的一元二次方程kx2－3x－1＝0有两个不相等的实数根，

∴k≠0且△＞0，即（－3）2－4×k×（－1）＞0，

解得：

k＞－且k≠0．

（3）设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－xx＝0的两个实数根．则m2＋3m＋n＝．

【答案】xx

解题点拨：

先利用一元二次方程根的定义得到m2＝－2m＋xx．则m2＋3m＋n可化简为xx＋m＋n，再根据根与系数的关系得到m＋n＝－2．然后利用整体代入的方法计算．

解：

∵m为一元二次方程x2＋2x－xx＝0的实数根，

∴m2＋2m－xx＝0，即m2＝－2m＋xx，

∴m2＋3m＋n＝－2m＋xx＋3m＋n＝xx＋m＋n，

∵m，n分别为一元二次方程x2＋2x－xx＝0的两个实数根，

∴m＋n＝－2．

∴m2＋3m＋n＝xx－2＝xx．

课堂训练，当堂检测

1．（xx沈阳）一元二次方程x2－4x＝12的根是（）

A．x1＝2，x2＝－6　　　B．x1＝－2，x2＝6

C．x1＝－2，x2＝－6D．x1＝2，x2＝6

【答案】B

2．（xx新疆）将一元二次方程x2－6x－5＝0配方后可变形为（）

A．（x－3）2＝14B．（x－3）2＝4C．（x＋3）2＝14D．（x＋3）2＝4

【答案】A

3．

（1）（xx大连）若关于x的方程2x2＋x－a＝0有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是．

（2）（xx成都）已知关于x的方程3x2＋2x－m＝0没有实数解，则m的取值范围是．

【答案】

（1）a＞－；

（2）m＜－．

4．解下列方程：

（1）2x2＋2x＝1．

解：

△＝4－4×2×（－1）＝12，

∴x＝＝，

∴x1＝，x2＝．

（2）x2－4x＋10＝0．

解：

△＝48－4×1×10＝8，

∴x＝＝2±，

∴x1＝2＋，x2＝2±．

（3）x2－10x＋21＝0．

解：

∵（x－3）（x－7）＝0，

∴x1＝3，x2＝7．

中考达标，模拟自测

A组基础训练

一、选择题

1．（xx舟山）一元二次方程2x2－3x＋1＝0根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根D．没有实数根

【答案】A

2．（xx黄冈）若方程3x2－4x－4＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2的值是（）

A．－4B．3C．－D．

【答案】D

3．（xx枣庄）若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是（）

【答案】B

4．（xx福州）下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2－4x＋c＝0一定有实数根的是（）

A．a＞0B．a＝0C．c＞0D．c＝0

【答案】D

二、填空题

5．（xx菏泽）已知x＝m是关于x的方程x2－2x－3＝0的一个根，则2m2－4m＝．

【答案】6

6．（xx通辽）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程x2－7x＋10＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为．

【答案】20

7．

（1）（xx云南）如果关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个相等的实数根，那么实数a的值为．

（2）（xx桂林）若关于x的一元二次方程（k－1）x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．

【答案】

（1）1或2，

（2）k＜5．且k≠1．

三、解答题

8．选择适当的方法解下列方程：

（1）（x＋3）2＝2．

解：

x1＝－1，x2＝－5．

（2）（＋1）x2－x＝0．

解：

x1＝0，x2＝．

（3）x2－5x＋2＝0．

解：

x1＝，x2＝．

（4）2（3x－2）＝（2－3x）（x＋1）

解：

x1＝，x2＝－3．

9．（xx东山）若t为实数，关于x的方程x2－4x＋t－2＝0的两个非负实数根为a、b，则代数式（a2－1）（b2－1）的最小值是多少？

解：

依题意得：

a＋b＝4，ab＝t－2

（a2－1）（b2－1）

＝（ab）2－（a2＋b2）＋1

＝（ab）2－（a＋b）2＋2ab＋1

＝（t－2）2＋2（t－2）－15

＝t2－2t－15，

又，得2≤t＜6，

所以，当t＝2时，t2－2t－15有最小值－15．

B组提高练习

10．（xx大庆）若x0是方程ax2＋2x＋c＝0（a≠0）的一个根，设M＝1－ac，N＝（ax0＋1）2，则M与N的大小关系正确的为（）

A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．不确定

【答案】B

（提示：

∵x0是方程ax2＋2x＋c＝0（a≠0）的一个根，∴ax02＋2x0＋c＝0，

即ax02＋2x0＝－c，则N－M＝（ax0＋1）2－（1－ac）＝a2x02＋2ax0＋1－1＋ac

＝a（ax02＋2x0）＋ac＝－ac＋ac＝0，∴M＝N，故选：

B）

11．（xx呼和浩特）已知a≥2，m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，则（m－1）2＋（n－1）2的最小值是．

【答案】6

（提示：

∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，∴m，n是关于x的方程x2－2ax＋2＝0的两个根，

∴m＋n＝2a，mn＝2，∴（m－1）2＋（n－1）2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝（m＋n）2－2mn－2（m＋n）＋2＝4a2－4－4a＋2＝4（a－）2－3，∵a≥2，∴当a＝2时，（m－1）2＋（n－1）2有最小值，

∴（m－1）2＋（n－1）2的最小值＝4（a－）2－3＝4（2－）2－3＝6．）

12．（xx鄂州）关于x的方程（k－1）x2＋2kx＋2＝0

（1）求证：

无论k为何值，方程总有实数根．

（2）设x1，x2是方程（k－1）x2＋2kx＋2＝0的两个根，记S＝＋＋x1＋x2，S的值能为2吗？

若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．

解：

（1）①当k－1＝0即k＝1时，方程为一元一次方程2x＋2＝0，x＝－1，有一个解；

②当k－1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，

△＝（2k）2－4×2（k－1）＝4k2－8k＋8＝4（k－1）2＋4＞0

方程有两不相等的实数根

综合①②得不论k为何值，方程总有实根．

（2）∵x1＋x2＝－，x1·x2＝，

∴S＝＋x1＋x2

∴S＝＝2k－2

若S＝2则2k－2＝2．k＝2．

∴S的值能为2．此时k的值为2．

第二课时

考点精析，专项突破

考点四、增长率问题

【例4】（xx泰州）随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从xx年的200万元增长到xx年的392万元．求该购物网站平均每年销售额增长的百分率．

解题点拨：

增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1＋增长率），参照本题，如果设平均增长率为x，根据“从xx年的200万元增长到xx年的392万元”，即可得出方程．

解：

设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x，

根据题意，得：

200（1＋x）2＝392，

解得：

x1＝0．4，x2＝－2．4（不符合题意，舍去）．

答：

该购物网站平均每年销售额增长的百分率为40%．

考点五、销售问题

【例5】（xx乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：

每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？

解题点拨：

本题的实质是两个量以标准上下变化，得到两个一次式，再将这两个一次式相乘即得到一元二次方程．

解：

设降价x元，则售价为（60－x）元，销售量为（300＋20x）件，

根据题意得，（60－x－40）（300＋20x）＝6080，

解得x1＝1，x2＝4，

又顾客得实惠，故取x＝4，即定价为56元，

答：

应将销售单价定为56元．

考点六、几何问题

【例6】（xx湖北）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2?

解题点拨：

用x表示出与几何图形相关的量，根据条件结合几何性质建立方程或关系式．

解：

设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25－2x＋1）m，由题意得x（25－2x＋1）＝80，

化简，得x2－13x＋40＝0，

解得：

x1＝5，x2＝8，

当x＝5时，26－2x＝16＞12（舍去），当x＝8时，26－2x＝10＜12，

答：

所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．

课堂训练，当堂检测

1．（xx年台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）

A．x（x－1）＝45B．x（x＋1）＝45C．x（x－1）＝45D．x（x＋1）＝45

【答案】A

2．（xx宁夏）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为602．两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列m关于x的方程是（）

A．x2＋9x－8＝0B．x2－9x－8＝0C．x2－9x＋8＝0D．2x2－9x＋8＝0

【答案】C

3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价0.5元，商场平均每天可多售出1件，若商场平均每天要盈利1200元，为了减少库存，每件衬衫应降价元．

【答案】20

4．（xx贺州）某地区xx年投入教育经费2900万元，xx年投入教育经费3509万元．

（1）求xx年至xx年该地区投入教育经费的年平均增长率；

（2）按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到xx年需投入教育经费4250万元，如果按

（1）中教育经费投人的增长率，到xx年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？

请说明理由．

（参考数据：

＝1.1，＝1.2，＝1.3，＝1.4）

解：

（1）设增长率为x，根据题意xx年为2900（1＋x）万元，xx年为2900（1＋x）2万元．

则2900（1＋x）2＝3509，

解得x＝0.1＝10%，或x＝－2.1（不合题意舍去）．

答：

这两年投入教育经费的平均增长率为10%．

（2）xx年该地区投入的教育经费是3509×（1＋10%）2＝4245.89（万元）．

4245.89＜4250．

答：

按

（1）中教育经费投入的增长率，到xx年该地区投入的教育经费不能达到4250万元．

中考达标，模拟自测

A组基础训练

一、选择题

1．（xx大连）某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长，若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（）

A．100（1＋x）B．100（1＋x）2C．100（1＋x2）D．100（1＋2x）

【答案】B

2．（xx衡阳）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（）

A．x（x－10）＝900B．x（x＋10）＝900

C．10（x＋10）＝900D．2[x＋（x＋10）]＝900

【答案】B

3．（xx安徽）我省xx年的快递业务量为1．4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，xx年增速位居全国第一，若xx年的快递业务量达到4.5亿件，设xx年与xx年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）

A．1.4（1＋x）＝4.5B．1.4（1＋2x）＝4.5

C．1.4（1＋x）2＝4.5D．1.4（1＋x）＋1.4（1＋x）2＝4.5

【答案】C

4．（xx白贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，则矩形的长是（）米．

A．25B．50C．25或50D．以上都不正确

【答案】C

二、填空题

5．（xx十堰）某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是．

【答案】10%

6．（xx巴中）如图，某农场有一块长40m．宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，则小路的宽是．

【答案】2m

7．（xx兰州）股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再张，叫做涨停：

当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停，已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是．

【答案】0.9（1＋x）2＝1

三、解答题

8．某校语文备课组为了增强学生写作兴趣创办刊物《萌芽》，得到了全校师生的欢迎．他们将刊物以适当的价格销售后所得利润资助贫困学生，已知印制100本《萌芽》的成本比印制40本的2倍还多440元．

（1）求每本《萌芽》的成本是多少元？

（2）经销售调查发现：

每本《萌芽》售价定为33元，可售出120本，若每本降价1元，可多售出20本，为尽量增加销量让更多的人读到这本刊物，当每本降价多少元时，可获得1400元的利润资助贫困学生？

解：

（1）设每本《萌芽》的成本是x元，

100x＝2×40x＋440

解得：

x＝22

答：

每本《萌芽》的成本是22元．

（2）设每本降价y元时，可获1400元利润；

（33－y－22）（120＋20y）＝1400

解得：

y1＝1（舍去），y2＝4

答：

每本降价4元时，可获1400元利润．

9．（xx内江）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．

（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；

（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？

如果有，求出最大值和最小值：

如果没有，请说明理由．

解：

（1）苗圃园与墙平行的一边长为（30－2x）米．依题意可列方程

x（30－2x）＝72，即x2－15x＋36＝0．解得x1＝3，x2＝12．因为墙长为18米，所以x1＝3舍去

∴x＝12．

（2）依题意，得8≤30－2x≤18．解锝6≤x≤11．

面积S＝x（30－2x）＝－2（x－）2＋（6≤x≤11）．

①当x＝时，S有最大值，S最大＝；

②当x＝11时，S有最小值，S最小＝11×（30－22）＝88．

B组提高练习

10．一玩具城以49元／个的价格购进某种玩具进行销售，并预计当售价为56元／个时，每天能售出14个玩具．现需进一步调整销售方案．将每个玩具的售价提高了a%，从而每天的销售量降低了2a%，当每天的销售利润为147元时，则a的值为（）

A．12.5或20B．12.5或25C．20或25D．25或75

【答案】B

（提示：

根据题意，56（1＋n%）·14（l－2a%）－14（1－2a%）·49=147，解得a=25或12.5．）

11．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m元的商品，甲超市连续两次降价20%；乙超市一次性降价40%；丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是．

【答案】乙

（提示：

在甲家超市购买需付：

m（1－20%）2=0.64m元；在乙家超市购买需付：

m（1－40%）=0.6m元；在丙家超市购买需付：

m（1－30%）（1－10%）=0.63元．而实际问题m>0，故0.64m>0.63m>0.6m，所以顾客在乙家超市购买最划算．）

12．近期猪肉价格不断走高，引起丁民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．

（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？

（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元．5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售，某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的÷，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了二.%，求a的值．

解：

（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元；

根据题意得：

2.5x（1＋60%）x≥100，

解得：

x≥25．

答：

今年年初猪肉的最低价格为每千克25元：

（2）设5月20日两种猪肉总销量为1；根据题意得：

40（1－a%）×（1＋n%）＋40×（1＋a%）=40（1＋a%）,

令a%=y，原方程化为：

40（1－y）×（l＋y）＋40×（l＋y）=40（1＋y），

整理得：

，

解得：

y=0.2，或y=0（舍去），

则a%=0.2，∴a=20；

答：

a的值为20.