初中数学竞赛辅导资料1.docx
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初中数学竞赛辅导资料1
初中数学竞赛辅导教案
第一课有理数运算
教学目标
1、复习整理有理数有关概念,整理本章知识网络;
2、培养学生综合运用知识解决问题的能力;
3、渗透数形结合的思想
教学重点和难点
重点:
有理数概念的理解
难点:
数轴、绝对值、相反数、倒数的理解及应用。
教学过程
例1计算1/99+2/99+3/99+…+296/99.
解:
1/99+2/99+3/99+…+296/99
=(1/99+296/99)+(2/99+295/99)+…+(148/99+149/99)
=3×296/2
=444.
想一想如果是求n项和1/99+2/99+3/99+…+n/99,能算出来吗?
该怎样算?
1/m+2/m+…+n/m呢?
例2观察发现这个算式中的任何相邻两项之和为1或-1,如果分别将式中的2、3两项,4、5两项,…结合(加括号)求和,就可以得到若干个其和为1的组,关键是最末一项(-1)n+1n是否编在了组里?
容易看出,如果这个算式有奇数项,那么(-1)n+1n已编入组里;如果这个算式有偶数项,那么最末一项(-1)n+1n=-n就未编入组里,应单独计算。
解:
原式=1+[(-2)+3]+[(-4)+5]+…+(-1)n+1n
=
想一想如果分别将式中的1、2两项,3、4两项,…,分组求和,怎样算?
例3计算11×-1
解:
11×-1
=(1+1)×-1
=+-1(分配律)
=-1(结合律)
=8
例4计算1/1+(2/1-1/2)+(3/1-2/2+1/3)+(4/1-3/2+2/3-1/4)+…+(9/1-8/2+7/3-6/4+…+1/9)。
解:
原式=(1/1+2/1+…9/1)-(1/2+2/2+…+8/2)+(1/3+2/3+…+7/3)-…(1/8+2/8)+1/9=(1+2+…+9)-1/2(1+2+…+8)+1/3(1+2+…+7)-…-1/8(1+2)+1/9=45-1/2×36+1/3×28-1/4×21+…-3/8+1/9=45-18+28/3-21/4+3-10/6+6/7-3/8+1/9=33(5/504)。
练习
1、选择题:
(1)计算3-6+9-12+…-1992等于()
(A)-332(B)332(C)-996(D)-996
(2)计算6666×5555-6665×2222等于()
(A)33330000(B)22220000(C)55550000(D)11110000
2、填空题:
(1)计算机36+63×0.125+×63+63×=;
(2)计算-21-×78+78×0.375-78×=;
(3)计算1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99=;
(4)求和++…+=;
(5)算式1-2+3-…-98+99-100中,除去9的倍数的九,其结果是;
(6)计算=;
(7)自然数N=1234567891011…1994,是由1到1994这1994个自然数顺次排列而成,从首位开始的第94个数字是a,第1994个数字是b,则a+b=;
3、五个数(-1)、(-2)、(-3)、1、2、中,设其中各个数之各为N1,任选两数之积的和为,任选三个数之积的和为N3,任选四个数之积的和为N4,五个数之积为N5,求和
N1+N2+N3+N4+N5。
4、计算×+1
5、(1989年上海市初一数学竞赛题)计算++++++++++…+++…+的和。
第二课.用图象法解一元二次方程
教学目标
1.在(一元二次方程)中,根据根的判别式和根与系数的关系,介绍了存在实数根,有理数根,整数根的充分必要条件.
2.要讨论两个实数根的符号,则可以建立不等式组.方程ax2+bx+c=0中,
1有两个实数根的充分必要条件是
②有两个正实数根的充要条件是(a≠0包含在之中)
③有一正一负实数根的充要条件是(a≠0,△>0均已包含在内)
④有一正一负实根且负根绝对值较大的充要条件是
3.在较小区间内讨论实数根,则常利用图象来建立不等式组.
4.一些含有绝对值符号的方程、不等式的题解,也可借助图象.
教学过程:
例1..已知:
方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实数根x1,x2满足:
0 求: k的取值范围. (1990年全国初中数学联赛题) 解: 先画出二次函数y=7x2-(k+13)x+k2-k-2的图象的略图. 根据图象的开口方向是向上,它与横轴有两个交点,这两点在点(1,0)的两旁, 的大体位置是: 分析图象可知 当x=0时,y>0, 记作f(0)>0; 当x=1时,y<0,f (1)<0; 当x=2时,y>0,f (2)>0. 得不等式组 解这个不等式组得 ∴原不等式组解集是 -2 答: k的取值范围是 -2 本题由三个点的横坐标0,1,2和它所对应的纵坐标范围建立不等式组. 例2. m取什么值时,方程x2+(m+2)x+3=0的两个根都大于1? 解: 根据抛物线y=x2+(m+2)x+3的开口向上;它在纵轴的交点为(0,3);与横轴的两个交点都在点(1,0)右边. 得图象的略图如下(左、右两图): 据图象分析当x=1时,y>0;顶点横坐标->1;纵坐标≤0. 得不等式组 解这个不等式组得 ∴原不等式组解集是 -6 答: 当-6 本题只有一个特殊点,故用了抛物线的顶点横、纵坐标. 例3.已知: 方程(1-m2)x2+2mx-1=0的两个实数根都在0到1之间(不包括0和1). 求: m的取值范围. 解: 函数y=(1-m2)x2+2mx-1的图象可由: ①它在纵轴上的截距是-1; ②与横轴的两个交点在0到1之间. 得知开口是向下的,画出略图如下: : 从图象分析: a<0;f (1)<0;0<-<1. 得不等式组 解这个不等式组 得 ∴不等式组解集是m>2. 本题因抛物线的顶点横坐标,上下都有界,故不用顶点的纵坐标. 例4.已知: 方程x2+2px+6=0的两个实数根,一根大于1,另一根小于1. 求: p的值. 解: 根据抛物线y=x2+2px+6的开口向上,它与横轴的两个交点的大致位置,画出略图如下: 根据图象可知: f (1)<0; 顶点纵坐标<0. 得不等式组 解这个不等式组, 得 ∴不等式组解集是p<-7. 答(略) 本题因顶点横坐标无法定,故只有两个不等式. 其实只要f (1)<0就可以了. 关键是建立充分必要条件的不等式组. 注意: (1)若方程可求得有理数根时,则可以直接建立不等式组. 如: 例3 可得两个根为和; (2)若符合基本对称式,则可用韦达定理来解. 如: 例4 可用x1-1>0, x2-1<0建立不等式(x1-1)(,x2-1)<0. 左边去括号后,再转化为关于p的不等式. 例5. a取什么值时,方程无解? ②有3个解? ③两个解? 解: 画出函数y=和y=a的图象, 它们的交点就是方程的解. ∵直线y=a平行于横轴. ∴①当a<-1时, 直线y=a与y=没有交点, 即方程无解; ②当a=1时, 直线y=1与.y=恰好有3个公共点, 即方程有3个解.; ③.当a=-1或a>1时, y=a与y=都有2个公共点,就是方程有2个解. 例6. 求代数式|x+1|+|x-1|+|x+2| 在-2 解: 作函数y=|x+1|+|x-1|+|x+2| 的图象. 由图象可知: 当x=-1, y有最小值3;当x=2时,y有最大值8. ∴代数式|x+1|+|x-1|+|x+2| 有最大值8和最小值3. 练习65 1. 一元二次方程k2x2+2(k-1)x+1=0有两个实数根的充分必要条件是_______可列方程组: 解得: ___________ 2. 一元二次方程x2+(m+2)x+m+5=0有一正一负的实数根的充分必要条件是______________,所以m的取值范围是________. 3. 一元二次方程2x2+4mx+3m-1=0有两个负实数根的充分必要条件是______,可列方程组: _解得: ______. 4. 已知一元二次方程(m+3x2-4mx+2m-1=0两个实数根异号且负根的绝对值较大. 求m的值. 5. 已知一元二次方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根, 那么a=___,b=_____. 6. 求代数式 在-3<x<3区间的最大值和最小值. 7. 已知方程(a2-1)x2-6(a+1)x+8=0有实数根,试确定a的取值范围. 8. k取什么值时,方程x2-11x+k=0两个实数根都大于5? 9. 若方程x2+(1-2m)x+m2-m=0两个实数根中,一根大于2,另一根小于2. 求m的取值范围. 10. 已知: 方程3x2+(m-1)x+3m+2=0两个实数根中,一根大于3,另一根小于2. 求: m的取值范围. 11.已知: m和n都是整数,且方程4x2-2mx+n=0的两个实数根,都在0和1之间(不包括0和1) 求: m,和n的值. 12. m取什么值时,方程x2-2mx+m2-1=0的两个实数根,都在-1和2之间(包括-1和2) 13. 二次函数y=(m2-4)x2+(m2-2m+24)x+6(m-6)的图象与横轴的两个交点的横坐标是两个不同的正整数,试确定m的值. 14. k取什么值时,方程k+=0 ①无解? ②有3个解? ③4个解? 15. 方程x2+y2=16和y=x2+4有一公共实数解,那么y的值是( ) (A)只有4 (B)-7,4 (C)0,4 (D)y无解, (E)y的所有的值. (提示: x2+y2=16的图象是以原点为圆心,4为半径的圆) 第三课时: .用方程解应用题 教学目标: 1.用方程的数学模型反映现实情境中的实际问题 2.认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意,寻找等量关系,建立数学模型 3.经历建立方程模型解决实际问题的过程,体会数学模型的应用价值,从而提高学习数学的兴趣 4.审明题意,寻找等量关系,将实际问题转化成分式方程的数学模型. 教学过程: 一、选择题: 1、甲乙两人同时从同一地点出发,相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A与B,若仍从原地出发,互换彼此的目的地,则甲在乙到达A之后35分钟到达B,甲乙的速度之比为( ) A.3∶5B.4∶3C.4∶5D.3∶4 2、某种产品按质量分为10个档次,生产最低档次产品,每件获利润8元,每提高一个档次,每件产品利润增加2元,用同样工时,最低档次产品每天可生产60件,提高一个档次将减少3件,如果获利润最大的产品是第R档次(最低档次为第一档次,档次依次随质量增加),那么R等于( ) A.5B.7C.9D.10 3、某商店出售某种商品每件可获利m元,利润为20%(利润=),若这种商品的进价提高25%,而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元,则提价后的利润率为( ) A.25%B.20%C.16%D.12.5%
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