全国新课标2卷高考文科数学与答案解析.docx
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全国新课标2卷高考文科数学与答案解析
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2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)
数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间
120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A
x|
1x
2,B
x|0x3,则A
B()
A.(-1,3)B
.(-1,0)
C
.(0,2)
D
.(2,3)
2.若a为实数,且2
ai
3i,则a
()
1
i
A.-4
B
.-3
C
.3
D
.4
3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:
万吨)柱形
图,以下结论中不正确的是()
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4.向量a1,1,b1,2,则2aba()
A.-1B.0C.1D.2
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5.设Sn是等差数列an的前n项和,若a1a3a5
3,则S5()
A.5B.7C.9D.11
6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分
体积与剩余部分体积的比值为()
1
1
1
1
A.8
B.
7
C.
6
D.
5
7.已知三点A1,0
,
,
,
,则
ABC
外接圆的圆心到原点的距离为
B03
C2
3
()
5
21
2
5
4
A.3
B.
3
C.
3
D.
3
8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损
术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a()
第8题图
A.0
B
.2
C
.4D.14
9.已知等比数列an
满足a1
1,a3a5
4a41,则a2()
4
A.2
B
.1C.
1
D.
1
2
8
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AB
是球
O
的球面上两点,∠
AOB
C
为该球面上的动点.若三
10.已知,
=90°,
棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为(
)
A.36π
B.64πC
.144π
D
.256π
11.如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x,将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),
则y=f(x)的图象大致为()
12.设函数fxln1x
1
,则使得fx
f2x1成立的x的取值范围
x2
1
是()
A.
1
,1
B.
1
C.
1
1
D.
1
1
-
,
,
-,
-
,
,
3
3
1
3
3
-
3
3
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.已知函数fxax32x的图象过点-1,4,则a________.
x+y-5≤0,
14.若x,y满足约束条件2x-y-1≥0,则z2xy的最大值为
x-2y+1≤0,
________.
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15.已知双曲线过点4,3
,且渐近线方程为y
1x,则该双曲线的标准方程
为________.
2
16.已知曲线yxlnx在点1,1
处的切线与曲线y
ax2
a2x
1相切,则
a________.
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
)
17.(本小题满分12分)
中,是
BC
上的点,
AD
平分
BAC
,
ABC
D
BD2DC
(1)求sinBsinC
(2)若BAC60,求B
18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查
了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方
图和B地区用户满意度评分的频数
分布表.
图①
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
分组
频数
2
8
14
10
6
(1)在图②中作出
B地区用户满意度评分的频率分布直方图,
并通过直方图比较两地区满意
度评分的平均值及分散程度
(不要求计算出具体值,给出结论即可
).
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图②
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级:
满意度评分低于70分70分到89分不低于90分
满意度等级不满意满意非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?
说明理由.
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19(本小题满分12分)如图,长方体ABCDABCD中,
AB
16
,
.
1111
BC
10,AA18,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1ED1F
4.过点E,F的
平面
与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.
20.(本小题满分12分)已知椭圆C:
x
2
y2
1a.b0的离心率为
2,点
a
2
b2
2
2,2在C上.
(1)求C的方程;
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:
直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
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21.(本小题满分12分)已知函数fxlnxa1x.
(1)讨论fx的单调性;
(2)当fx有最大值,且最大值大于2a2时,求a的取值范围.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图O是等腰三角形ABC内一点,⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.
(I)证明EF∥BC.
(II)若AG等于⊙O的半径,且AEMN23,求四边形EBCF的面积
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23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系
xOy中,曲线
x
tcos
0
),其中0
:
C1
在以O
y
tsin
(t为参数且t
为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中
曲线C2:
2sin
C3:
23cos.
(I)求C2与C3交点的直角坐标;
(II)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求AB最大值
24.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明:
(1)若ab>cd,则a+b>c+d;
(2)a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要条件.
2015·新课标Ⅱ卷第8页
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1、选A
2、故选D
3、选D
4、选C
5、解:
在等差数列中,因为
(a1
a5)5
5,故选A.
a1a3a53,所以a31,S5
5a3
2
6、解:
如图所示,选D.
7、选B.
8、故选B.
9、解:
因为
an满足a1
1,a3a5
4(a41),所以,
4
1
1.故选C.
a4
2
4(a4
1),解得a4
2,又a4
a1q3,所以q2,所以a2
a1q
2
4
2
10、解:
因为A,B
都在球面上,又
AOB90,C为该球面上动点,所以
三棱锥的体积的最大值为
1
1R2
R
1R3
36,所以R=6,所以球的表面积为
3
2
6
S=4πR2
144π,故选C.
D
PC
11、解:
如图,当点
P在BC上时,
BOPx,PBtanx,PA4tan2x,
PAPBtanx4tan2x,
x
AOB
当x时取得最大值15,
4
以A,B为焦点C,D为椭圆上两定点作椭圆,显然,当点P在C,D之间移动时PA+PB<15.
又函数f(x)不是一次函数,故选B.
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12、解:
因为函数
f(x)
ln(1
x)
1
是偶函数,x
[0,)时函数是增函数
1
x2
f(x)
f(2x1)
x
2x1,x2
(2x1)2,解得1
x1.故选A.
3
第二卷
一、填空题:
本大题共
4个小题,每小题
5分
13、答:
a=-2
14、解:
当x=3,y=2时,z=2x+y取得最大值8.
15、解:
设双曲线的方程为
x2
4y2
k(k
0),点(4,,3)代入方程,解得k4.
双曲线的标准方程为
x2
y2
1
4
16、解:
y'
1
1,
切线的斜率为
2,切线方程为y
2x
1.
x
将
y2x
与
ax
2
(a
联立得
ax
2
ax
20,
1y
2)x1
由
a
2
8a
0,
解得
或
a
0.a
时曲线为
y
2x
与切线平行,不符。
a8
0
1
所以a
8.
二、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分
12分)
17、解:
(Ⅰ)由正弦定理得
sin
B
AC,
sin
C
AB
再由三角形内角平分线定理得
AC
DC
1,sin
B
1.
AB
BD
2
sin
C
2
(Ⅱ)
BAC
60,
B
C
120
由()得sin
B
1
sinC
2sin
B,
sin(120
B)2sinB,
展开得
1
sin
C
.
2
tanB
3,
B30.
3
18、解:
(1)B地区频率分布直方图如图所示
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B地区用户满意度评分的频率分布直方图
频率
组距
0.040
0.035
0.030
0.025
0.020
0.015
0.010
0.005
O
50
60
70
80
90
100
满意度评分
比较A,B两个地区的用户,由频率分布直方图可知:
A地区评分均值为
45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5
分
B地区评分均值为
55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5
分
A地区用户评价意见较分散,
B地区用户评价意见相对集中。
(2)A地区的用户不满意的概率为
0.3+0.2+0.1=0.6,
B地区的用户不满意的概率为
0.05+0.20=0.25,
所以A地区的用户满意度等级为不满意的概率大。
19、解:
(I)在AB上取点
M,在DC上取点
N,使得
D1
AM=DN=10,然后连接EM,MN,NF,即组成正方形
EMNF,
即平面α。
A1
E
(II)两部分几何体都是高为
10的四棱柱,所以体积之比
D
等于底面积之比,即
V1
SAMEA1
4
10
7
A
V2
SEMBB1
.
6
12
9
20、解、(I)如图所示,由题设得
c
2,
Y
a
2
B
4
2
1
,
M
又点的坐标满足椭圆的方程,所以
2
b
2
a
联立解得:
A
O
a2
8,b2
4,所以切线C的方程为:
x2
y2
1.
8
4
(II)设A,B
两点的坐标为
(x1,y1),(x2,y2),点M的坐标为(m,n),kom
n.
m
则x12
2y12
8,x22
2y22
8,
上面两个式子相减得:
2(y2
2
y1
2
)
(x2
2
x1
2
)
0.变形得y2
y1
1x1
x2
12m
x2
x1
2y1
y2
22n
FC1
B1
C
B
C(2,2)
X
m
.
2n
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kl
kom
y2
y1
n
m
n
1
x2
x1
m
(
)
.(定值)
2n
m
2
21、解:
已知f
x
lnxa1
x.
(1)
f'(x)
1
a.
x
当a
0时,函数f(x)在(0,
)上是增函数;
当a
0时,函数f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,
)上是减函数.
a
a
(II)由
(1)知,当a0时,函数f(x)在x
1时取得最大值f
(1)a
1lna.
a
a
由a1
lna
2a
2,整理得lna
a10.
设
g(x)lnxx1,
则(
)
1
1
在(,
)是增
g'x
a0x0,g'(x)0,g(x)
0
x
函数。
又
g
(1)
0,
上述不等式即
g(a)g
(1),
0a1,
即
a
)
(0,1.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题
号
22、(I)证明:
由切线的性质得
AE=AF,所以△AEF是等
腰三角形,又AB=AC,
A
所以AE
AF,AEF
ABC,EF∥BC.
G
AB
AC
(II)解:
E
F
连接OE,则OE
AE,
AG
OEOG
R,
O
OA
2R,4R2
R2
(23)2,R
2,OM2
B
MDNC
MD
1MN
3,
OD
1
AD
2R
1
5,
AB
AD
10.
2
cos30
3
OE
AB,
BAD
30
,BAC
60
ABC,
AEF都是等边三角形.
1
10
2
1
2
16
3
S四边形EBCF
2
sin60
2
3
sin60
3
3
.
2
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23.在直角坐标系
xOy中,曲线
C1
x
tcos
(t为参数且t
0),其中0
:
tsin
y
在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中
曲线C2:
2sin
C3:
2
3cos.
(I)求C2与C3交点的直角坐标;
(II)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求AB最大值.
解:
(I)曲线C2:
2sin,C
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