数值分析第五版课后答案.docx
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数值分析第五版课后答案
数值分析第五版课后答案
2•给出/(x)=Imr数值表如下:
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
lar
一0.916291
一0.693147
一0・510826
-0.356675
-0.223144
用线性插值及二次插值计算InO.54的近似值•
解依据插值误差估计式选距离0.54较近的点为插值节点,并建立差商表如下:
一0.693147
-0.510826
-0.916291
写出Newton插值多项式
M(h)=-0.693147+1.823210Q—0.5)
N2)=M(_r)+(—0.204115〉(工一0.5)匕一0・6)
计算近似值
Ni(0.54)=一0.693147+1.823210(0.54—0.5)=—0.6202186
弘(0.54)=N】(0.54)—0.204115(0.54-0.5X0.54-0.6)=-0.616839
4・设门为互异节点(j=0.1■…山).求证:
a
(I)三卫(上=0,1■…,Q;
n
(ii)心一工)铅(门三o仏=1.2.•••■"
证明(i)令fS』工X若插值节点为X/7-0,1则/ 次播值多项武为 ["(工)=工球丿3 插值余项为R”(王〉=/(X)—Ln(X)=/—(/) (n+1)! /X—Ti-CkXVZ 又因为k<所以 严)(0=0,R心)二0 丿・01-nL'? / xsr("卜;(_"“(/〉r—0丿•()L'r/ SCO g(.)(一x)k-'x'=(彳一Qi三0 5.设/(x)6C2[a,6]且/(a)=fib)=0.求证: max|f(x)£(b—a),max|/z(j)\a^r^ib.O心疋6 证明令x=a和工=人以此为插值节点•则插值多项式为 Li(工)=/(a)-—;+f(b)y—-三0 <2—ob—a 应用插值余项公式有 y*7(^)(X—a)(.x—6)W max|/(g)Imax|(x—a)(x—b)|/Wba _(6—a)2max|fXx)| OaM临b 6.在一4 值求e「的近似值,要使截断误差不超过10一&,问使用函数表的步长h应取多少? 解若插值节点为it,r和工沖则分段二次插值多项式的插值余项为 式中Ml=Xi—h,工沖=$+札 \R: (r)l^ye1 max|(文—刀_))(_r—兀)〈工—J7°j)丨0 叫一】匚疋r,+】 插值点个数 是奇数,故实际可采用的函数值表步长 7•若必=2S求及 解根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解 £(: )(-】〉1巧”=£(: )(-1)-皿= 孑y”=(F? —F~T)°y”=(E"r)*(E—IYyn= 「2$%=L(%)=g=2— 8.如果fl工、是刃次多项式,记=f(j--T-h)—/(t).证明/(x)的&阶差分Nfa)(0W是rn-k次多项式,并且A^7(T>=0(/为正蔓牧). 证明对加次多项式/(才)应用Taylor公式有 A/(x)=/(z+A)—/(j)=/(j)AH-rr/^x)+•••4-Jf"'(x) Z! 初! 即△/(/)为m-1次的多项式・ =△(△/&)),对加一1>0次多项式应用上述推理过程知△(△/(工))=庄只工)是加一2次的多项式. 依此过程递推,知A7<^X0 所以必工)为常数,故s=0(/为正整数). 9.证明A(/*g*)=/*Ag*4-A/*. 证明A/igJ=/n-ign-i~Ag*=/n-igHi-fkgkn十/*gi-fkgk=gtrl(人+1—人>+fk(g^l一创)=g屮+介厶® 15.证明两点三次Hermite摘值余项是 尺3(刃='‘4;目(工—九)'(h—)? ,E€(N,才屮) 并由此求出分段三次Henniw猶值的课差限・ 证明若工W[工―文屮]・且插值多项式满足条件 円3{竝)=/(竝几H3(Xh-1)=产(工屮) H;(Z*)=f(x>)*H3'(jTh-I)=(.r*41) 知插值余项RQ)=/(文)一耳(工>有二重零点g和文卄故设R(攵)=以文)0—比)? (文一攵申〃 确定函数恥才几 当JC=X*或工屮时來工)取任何有限值均可I 当才H忑,J•屮时“&(仏°文屮),构造关于变量t的函数g(r)==/([)—丹3(『)一总(才)(〔一=*)2((—X*+l)2显然有 g(文▲)=0.g(i? )=0.)=o g'(r*.〉=0,£心屮)=0 在S,工]和Dr,z*+lJ上对g(T)使用Rolle定理,存在®€(无,才〉及少W(w,x*-ti)使得 &'(》)=0,g'(%)=0 在a,巾),Cyl*罪),<72«x*+i)上对g'(=)使用Rolle定理,存在供|€5,巾),巾? €(6,%)和阻屮6(%,xhi)使得 g"(知)=g"(? ! 2)=g"(少.屮)=0 再依次对g(0和g"(“使用Rolle定理,知至少存在(比,工屮)使得gW(E)=0 而g⑷⑺=一虹小4! 将"弋入•得到 £€5•工屮) 推导过程表明W依赖于工点,及=• 综合以上过程可知 R(t)=“(&(a■一忑)2(工一卫^)2 下面建立分段三次Hermite插值的谋差限.记h(小为/Cr)在[a,刃上的基于等距节点的分段三次Hermite插值函数.xk=a+kh4=0,! •••♦n),h=b—a ■ n 在小区间[去,/小]上有 I/(x)—/A 7fmax\尸4)(力))max(_r—业)? (工一z屮尸 而最值 0才=十妙] max(工一及)■(工一z>+! 「Ll「•,maxs"(5―l)2h4= rkn<< 16 进而得误差估计 1/(文)- 越空简|八(如 】6・求一个次数不离于4次的多项式PCr〉•使它满足P(0)=P(0)=0,P(l)=P71)=HP (2)=1. 解法一利用Hermite插值可得到次数不高于4的多项式 几==1;为==打Wf>=0•加I=1 H3(x)=(才)+/(文) ◎(才)=(1一2三「卫■)(才二空)2=(1+2刃1)2 氐—XI竝一4 G&)=(1-2J~-r|)(-)2=(3—2&)疋 Jj—竝XI—To 仇(工)=兀(工一1)? 向=(工一1)JT2 所以Hj (2)=(3—2x)x2+(1*—1)j-? =—t3+2z~ 设=H3(x)4-A(t-^)2(j—t))2,其中・A为待定常数,令F (2)= 1得 于是 P3十一尸 这样可写岀Newton插值公式 P(x)=0+0(乂一0)十1(工一0)? —1(広一0)? (工一1)+ —0)'($—l)? =—1)+4-工? (&一1)? = 44 J-x2(r~3): 4 17•设f(.C二厂丄g在一5€工€5上取"=10•按等矩节点求分施线 1fJT 性插值函数ha)・计算各节点间中点处Za(j-)与/(x>的值,并佑计课差. 解若=5,rlc=5,则步长A==I=—5+ih=—5+ n 2(ow? w10).在区间Cx-上•分段线性插值瓯数为 /1°(X)=/(X,) 工汁】一広+工一r TT7TF+不 分段线性插值函数定义如下: 各节点间中点处函数值及插值函数值如下所示: 估计谋差: 在区间[乙,刀+门上 lf(jr)—击厂(。 (才一_r,)(工一e)= V叫ax|f5)Imax|(x—x,)(j~xr+l)\ max ・T=兀+曲] I(JC一刁)(工一心】)|U—2maxI5(5—1)I=丁 心$14 ")一? rfcy’门八船令 令厂(/)= 響吕予=0得心的驻点士1•于是 max\\/'(z)I}=max{If(0)I♦|/7±1)|*|/z(±5)|>=2一3£丁£5 故有结论 |*刃一甲(工〉|W*X2X*=扌 右端与2•无关■故 j/(J-)—Ih(x)KY&G[—5,5] 1&求/(文)=x2在[s耐上的分段线性插值函数人(刃,并估计误差•解在区间[a上5】=a.xn—b.hi=丁小一兀(0冬iWrz—1),/i=maxht. 函数八工)在! >八工宀]上的线性插值函数为 分段线性插值函数 /a(x)=ir(x)= 误差估计 右厂(£)(工一工,)(工一工如)W max|f(x)Imax|(x—旺)(工一不厶】)I= I/(vt)—h(x)|£maxIf(.r)—I^(x)|冬max牛=L 19.求f(工)=云在[sb]上的分段Hermitw祐值并估计误差• 解在区间[a”]上=a・.=b^hi=—jrt•令h=maxht. 在区间[乙,Xh-»]的Hermite插值函数为 乔max|/<4,(x)| 4a 肝(刃=川(1—2-1^)(£2^「+4左([一工,)(^^¥+\ 对于12)有 20.给定教抿表如下: 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 0.5000 0,5477 0.6245 0.6708 0.7280 试求三次样条褊值S(x),并满足条件 (ii Sz(0.25)=1.0000,S'(0・53)=0.6868;□(0.25)=U(0.53)=0. hh=0.30—0.25=0.05,hi=0.39—0.30=0.09 hz=0.45-0.39=0.06. 屆=0.53-0.45=0.08 」二】一A=h]人1斗•血'f4-hj (i)已知一阶导数边界条件,弯矩方程组 -2 1・ 5 2 9 14 14 3 2 I T 3 9 4 T 1 1 2. -0.920L M, -0.7193 M? =6 -0.5440 M, 一0.4050 -0.3525_ 解此方程得 =一2・027& Mj=一1.4643, 胚=-1.0313 H=-0.8072.M,=—0.6539三次样条表达式为 (1.8783P-2.4227x? 十1.859lx+0.1573.x6[0.25.0.30] 0.8019x3一1.4538x2+L5685/+0.1863口€[0.30.0.39] S(JT)=£Lr 0.6225x3-1.244Ox2+1.4866h+0.197O.zGCO.39.0.45] 0.3194x3-0.8348x2+1.3025工十0.2246•才6[0.45,0.53] (il)已知二阶导数边界条件.M,=M)=0•弯矩方程组 L2 9 0・ 14 3 9 2 T T 0y2 解此方程得 M{=一1.8809.M? 'M}- — 0.7193「 M? =6 —— 0.5440 M. 0.4050. 一0.8616. M3=一 1.0304 三次样条表达式为 一6.2697工3+4.7023卡一0.2059匸+0.3555• 1.8876F—2.6393*+1.9966工+0.1353. 一0.4689x3十0.1178x2+0.9213工+0.2751, 第三章 4•计算下列圉数/3在C[0,1]上的||/||€.: ||/|1,与||/||2: (1)f(x)=(x-l)3? (2)/(jr)=; 解(1》f(x)=3(乂一1)? $0“€(0,])・故f“)单增・ lifII=;=maxia—1尸丨=max{|/(0)h! /(L)i}=1 II/Hi=jI/ 仃仁=[加皿『=[fd-z)^]7=咅 (2)||f\\.: =max工_£=max{|/(O)|,/(-y),丨/⑴丨>=* (Kr II/III=j11八工)丨肛=£(*_门吐十];(工_*)壮=+ ||门仁=[[尸3肛『=[£(x-|)'dx]T=咖 &对权函釵pd)=l+x\区问[一1・1)试求首项系数为1的正交多项式%(! •)■n=0.1.2,3. 解在区间上定义内积(/・g)=/(r)g(.r)p(.r)dr —(・S♦炉)=0=0&=@。 修)=136/525=]7 (修■处)一136/525一“俾_(卩八尹)=70 P(N)=(工_比)#_02爭]=,—™X ]8.f(r)—sin今工.农[—1«1J上按勒让慮多项式.展开求三次最佳平方逼 近多项式. 解记;"冷二。 为勒让德正交多项式 Q (p..♦f)=O*(pl•f,(p2»/)=0 (如/)=他二型 7T fg的三次最佳平方逼近多项式为 士舎召P,=0+马PZ〉+o+-=! 、(P八PJ兀兀 120(21-2r>|420(疋一10)3亠 7T : 攵;X27T 1.5532z-0.5622jc3 19•观测输体的直线运动,得出以下数据: 时间小 0 0.(1 1.9 3.0 3.9 5.0 距离5/m 0 10 30 50 80 110 求运动方殺・ 解经描图发现f和,近似服从线性规律.故作线性模型5-d+6/,令 9=span〈l・升•计算离散内积有 (1.1)=工1'=6<(【•/)=W=14.7 (f•厂)=另巧=53.63 s片 (1 求解法方程组得 -614.7nr<2-jr280- .14.753.63」b」—Ll078. a=-? .855048.h=22.25376 运动方程为 平方误差 $=亠7.855048+22.25376? 5 g=为[步一$(/,)]? 2.1X102 j・l) 20.已知实验数据如下: 用最小二乘法求形如y=a^bx2的经验公式•并计算均方误差•解©=span{l,z2},计算离散内积 44 (1,1)=212=5,<1>x2)=为#=5327 2)=刀工;=7277699 jj (1.y)=^2v>=271.4.(£? y)=才才;兀=369321.5 解法方程组 5327-)rai「271.4- L53277277699JLbJL369321.5. aQ0・972579»b=0.050035 21.程耒化学反应中,由实验将分粹物液度与时间关糸如下: 0510152025303540455055 01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64 用最小二乘法求丿=/(/). 解观察所给数据特点•樓立拟合模教,=处讨(%>0)・该模史关于参数非线性•两边取对数得 】n$=Ina—丄b.记Ina=A 解法方程组 (—•lnv)—5.032489 得到拟合模型 拟合平方误差 .v-5.215103H呼^X10~4 II S2=另[丁亿)一卩丁=3.3769X 第四章 1.磚定下列求积公式中的待定多數■使其代数祐确度尽量高•并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度・ (1)/(x)d.rAJ(一力)+AJ(0)+J-A (2)「A-JX-h)+A./(0)+A)/(/£); J—: h ⑶「心&5心1土字也a ・】3 (4)£/(.r)d^a亚丿血2+^2[f(o)—/(A)]・ 解(I)将心=1.工・卡分别代入公式两端并令其左右相等•得 +A“+人二2h v—hA_、+hA.|—0 +hA\=〒/ lV 解得A_,=4=£・4,=y.所求公式至少具有2次代数精确度.又由于 A才d才=£(一力户十£•护 Jk33 \dr关£(—力)°+£•於 J-a33 故J/3(1文心•(一+*好(0)十令yw具有3次代数精确度. (3)当/(x)«1时•易知有 [[/(&)心=y[/(~1)42/«q)十3/(々门 令求积公式对f 则可解得 in=—0.2899ui\T|=0.6899 <或 iX2=0.5266I心=—0.1266 将f(J)=*代人已确定的求积公式,则 「严山工*[./•(-1)(匕刀 故求积公式具有2次代数精确度•所求节点为小=-0.2899•九=0.5266或 X]=0.6899•心=—0.1266. 2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下刊积分. 解())复化梯形公式rt—=0丿=1♦/(jt)=丁亠・—八h=丄 4+jt8 丁8=[/<<2>+2另/■(及)十/($>]=0.11140 复化辛普森公式/=* Sr=-y+4为八忑+鸟)+2才fg〉+0.21157 D-上=1 (3)n=4・QH1.6=9/=2J(才)=/x 复化梯形公式为 Tj=缸/(a)+2ffg)+/W]=17.22774 复化辛普森公式为 .33 S4=*[/(4)+4工/(心.*)十2工戶耳)+/(小]=17.3222 3.直接验证柯特斯公式(4.9)具有5次代数精确度.证明柯特斯公式为 ML_ /(-r)dx=备才[7/(如>+32/(4)+12/(工2)+32/(工3)+7/Xq)]令f(x)=1•则 j/(jr)dj=b—a "g(,[7/(.T")+32/(.x})+12/(j*2)+32/(x3)+7f(.xK门=—a 令/(x)=才・则 f/(x)dj-=fxdx=—a'} 罟[7/(戏)+32/(4)十12/(x2)+32fg)+7/(^)]=一a2)令/(x)=x2,得 f/(r)dj=x2dj=£(沪—a3) Jutfo 罟[7f(乩)+32/(q)+12/(比)+32/(心)+7/(q)]=*(,一)令f(jr)=x3♦则 f/(T)dx=jr2djr—-^-(64一a') JtfJa4 舒#[7广(心)十32/(^)十12/(乜)十32/(心)十7/(小)]=+"-/)令fCr)=丘,则 『/(工)山=『”牡=*(b'-芒) ^^[7f(.xn)+32/(x,)+12/(x,)+32/(忑)+7/(j.)]=y(6s-a? )令/(x)=+・则 "/(Qdx=f\7dx=4•(沪一沪) 守[7/(乩)十32/Xr)+12/(z? )+32/(加)+7/(r)]=*(胪一J) 令f(x)=工6■则 『/(刃血#^^[7/(心)+32/(z,)+12/(x2)+32/(乃)+7/(刀)]因此,该柯特斯公式具有5次代数精度. •• 4.用辛普森公式求积分并传计课差. 解5=十4e'T-He'1]=0.63233 D 误差 IRS丨=|一需(号)'八5)|〈 嗇X*Xe“=0,00035・让(0,1> 5.推导下列三种矩形求积公式. <1>「f(P4二十£^21(6—门2; JuG (2》/(x)dz=(/>—«)/(/? )—a)2; JrC (3)£/(T)d.r=da)/(宁)十^^5-a)3. 解 (1)左矩形公式•将/(才)在a处展开•得 /(.r)=f(a)-F/(6)(z-a),eC⑴,文) 两边在M・刃上积分,得 0M“ /(z)djr=/(a〉(Lr+f(g)Cr-a)d«z= a<>J4 ("一a)f(a)十(F)(;r-a)dz 由于工一a在[sb\上不变号,故由积分第二中值定理•有可€a汎使 J/(r)dj-=(b-q)f(a)+f(»[(x—a)dr故有|7(T)dj=+5)(0—代(a,b) Ju£ (2)右矩形公式•同 (1)
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