《圆》31 圆例题讲解.docx
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《圆》31圆例题讲解
3.1圆
1.(2002•南昌)如图,P(x,y)是以坐标原点为圆心,5为半径的圆周上的点,若P都是整数点,则这样的点共有( )
A.
4个
B.
8个
C.
12个
D.
16个
2.(2004•无为县)以直角坐标系的原点O为圆心,以1为半径作圆.若点P是该圆上第一象限内的一点,且OP与x轴正方向组成的角为α,则点P的坐标为( )
A.
(cosα,1)
B.
(1,sinα)
C.
(sinα,cosα)
D.
(cosα,sinα)
3.(2009•桂林)如图,正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发,沿图中所示方向按A⇒B⇒C⇒D⇒A滑动到A止,同时点R从点B出发,沿图中所示方向按B⇒C⇒D⇒A⇒B滑动到B止,在这个过程中,线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为( )
A.
2
B.
4﹣π
C.
π
D.
π﹣1
4.(2004•南宁)中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题:
圆的半径增加了一倍,那么圆的面积增加了( )
A.
一倍
B.
二倍
C.
三倍
D.
四倍
5.(2009•江西)在数轴上,点A所表示的实数为3,点B所表示的实数为a,⊙A的半径为2.下列说法中不正确的是( )
A.
当a<5时,点B在⊙A内
B.
当1<a<5时,点B在⊙A内
C.
当a<1时,点B在⊙A外
D.
当a>5时,点B在⊙A外
6.(2005•资阳)若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a,最小距离为b(a>b),则此圆的半径为( )
A.
B.
C.
或
D.
a+b或a﹣b
7.(2012•海门市模拟)如图,直线l经过⊙O的圆心O,且与⊙O交于A、B两点,点C在⊙O上,且∠AOC=30°,点P是直线l上的一个动点(与圆心O不重合),直线CP与⊙O相交于另一点Q,如果QP=QO,则∠OCP= _________ .
8.(2006•南宁)如图,A是硬币圆周上一点,硬币与数轴相切于原点O(A与O点重合).假设硬币的直径为1个单位长度,若将硬币沿数轴正方向滚动一周,点A恰好与数轴上点A′重合,则点A′对应的实数是 _________ .
9.(2009•大兴区二模)如图,一个人握着板子的一端,另一端放在圆柱上,某人沿水平方向推动板子带动圆柱向前滚动,假设滚动时圆柱与地面无滑动,板子与圆柱也没有滑动.已知板子上的点B(直线与圆柱的横截面的切点)与手握板子处的点C间的距离BC的长为Lm,当手握板子处的点C随着圆柱的滚动运动到板子与圆柱横截面的切点时,人前进了 _________ m.
10.如图,等边△ABC的边长为2,E是边BC上的动点,EF∥AC交边AB于点F,在边AC上取一点P,使PE=EB,连接FP.
(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条线段;(不再另外添加辅助线)
(2)探究:
当点E在什么位置时,四边形EFPC是平行四边形?
并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形,请说明理由;
(3)在
(2)的条件下,以点E为圆心,r为半径作圆,根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数,求相应的r的取值范围.
第3章《圆》常考题集(01):
3.1车轮为什么做成圆型
参考答案与试题解析
选择题
1.(2002•南昌)如图,P(x,y)是以坐标原点为圆心,5为半径的圆周上的点,若P都是整数点,则这样的点共有( )
A.
4个
B.
8个
C.
12个
D.
16个
考点:
坐标与图形性质;勾股定理;点与圆的位置关系.4523971
专题:
压轴题.
分析:
应分为两种情况:
①若这个点在坐标轴上,那么有四个;②若这个点在象限内,由52=42+32,可知在每个象限有两个,总共12个.
解答:
解:
分为两种情况;①若这个点在坐标轴上,那么有四个,它们是(0,5),(5,0),(﹣5,0),(0,﹣5);
②若这个点在象限内,
∵52=42+32,而P都是整数点,
∴这样的点有8个,分别是(3,4),(3,﹣4),(﹣3,4),(﹣3,﹣4)),(4,3),(4,﹣3),(﹣4,3),(﹣4,﹣3).
∴共12个,故选C.
点评:
此题主要考查了点与圆的位置关系及勾股定理,解题的关键是由题意得出分为两种不同的情况,从而由勾股定理解决问题.
2.(2004•无为县)以直角坐标系的原点O为圆心,以1为半径作圆.若点P是该圆上第一象限内的一点,且OP与x轴正方向组成的角为α,则点P的坐标为( )
A.
(cosα,1)
B.
(1,sinα)
C.
(sinα,cosα)
D.
(cosα,sinα)
考点:
坐标与图形性质;圆的认识;锐角三角函数的定义.4523971
专题:
压轴题.
分析:
作PA⊥x轴于点A.那么OA是α的邻边,是点P的横坐标,为cosα;PA是α的对边,是点P的纵坐标,为sinα.
解答:
解:
作PA⊥x轴于点A,则∠POA=α,
sinα=
,
∴PA=OP•sinα,
∵cosα=
,
∴OA=OP•cosα.
∵OP=1,
∴PA=sinα,OA=cosα.
∴P点的坐标为(cosα,sinα)
故选D.
点评:
解决本题的关键是得到点P的横纵坐标与相应的函数和半径之间的关系.
3.(2010•大庆)在直角坐标系中,⊙P、⊙Q的位置如图所示.下列四个点中,在⊙P外部且在⊙Q内部的是( )
A.
(1,2)
B.
(2,1)
C.
(2,﹣1)
D.
(3,1)
考点:
坐标与图形性质;点与圆的位置关系.4523971
分析:
要使点在⊙P外部且在⊙Q内部则只要该点的纵坐标小于1即可,根据对四个选项的观察即可得出结论.
解答:
解:
本题结合图形运用排除法.
依题意得:
点P的坐标为(2,1),各选项都是整数点,那么在⊙P外部且在⊙Q内部的点的纵坐标应小于1,而小于1的只C选项的坐标,
故选C.
点评:
解决本题的关键是得到在⊙P外部且在⊙Q内部的点的本质特征,即点的纵坐标应小于1.
4.若⊙A的半径为5,圆心A的坐标是(3,4),点P的坐标是(5,8),你认为点P的位置为( )
A.
在⊙A内
B.
在⊙A上
C.
在⊙A外
D.
不能确定
考点:
坐标与图形性质;点与圆的位置关系.4523971
分析:
本题应先根据两点之间的距离公式求出AP两点之间的距离,再讲距离的大小与半径对比,大于半径在圆外,小于半径在圆内,由此解出本题.
解答:
解:
∵AP=
=2
<5,
∴点P在⊙A内,
故选A.
点评:
本题应注意当点与圆心的距离小于半径时,点在圆内.
5.(2009•桂林)如图,正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发,沿图中所示方向按A⇒B⇒C⇒D⇒A滑动到A止,同时点R从点B出发,沿图中所示方向按B⇒C⇒D⇒A⇒B滑动到B止,在这个过程中,线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为( )
A.
2
B.
4﹣π
C.
π
D.
π﹣1
考点:
正方形的性质;圆的认识.4523971
专题:
压轴题.
分析:
根据直角三角形的性质,斜边上的中线等于斜边的一半,可知:
点M到正方形各顶点的距离都为1,故点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心,以1为半径的四个扇形,点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积.
解答:
解:
根据题意得在QR运动到四边时,点M到正方形各顶点的距离都为1,点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心,以1为半径的四个扇形,
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积.
而正方形ABCD的面积为2×2=4,4个扇形的面积为4×
=π
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为4﹣π.
故选B.
点评:
本题主要是确定点M的运动轨迹.
6.(2007•金昌)如图是公园的路线图,⊙O1,⊙O2,⊙O两两相切,点A,B,O分别是切点,甲乙二人骑自行车,同时从点A出发,以相同的速度,甲按照“圆”形线行驶,乙行驶“8字型”线路行驶.若不考虑其他因素,结果先回到出发点的人是( )
A.
甲
B.
乙
C.
甲乙同时
D.
无法判定
考点:
圆的认识.4523971
分析:
A、B、O是切点,则三个圆的圆心一定在同一直线上.根据圆周长公式,即可得到.
解答:
解:
设⊙O1的半径是r,则⊙O2的半径是r,⊙O的半径是2r.则延“8字型”线路行驶时:
路线长是4πr.同样按“圆”形线行驶的路线长4πr.因而两人同时到达.
故选C.
点评:
此题主要是计算比较他们的路程即大圆的周长和两个小圆的周长.
7.(2005•杭州)下列图形中面积最大的是( )
A.
边长为5的正方形
B.
半径为
的圆
C.
边长分别为6,8,10的直角三角形
D.
边长为7的正三角形
考点:
圆的认识;三角形的面积.4523971
分析:
分别利用面积计算公式进行计算.
解答:
解:
A:
S=5×5=25;
B:
S=π(
)2=25.12;
C:
S=
×6×8=24;
D:
边长为7的正三角形中高为7•sin60°,
S=
×7×7•sin60°=
×49×
=21.217.
B的面积最大,故选B.
点评:
熟记各类图形面积的计算方法,注意三角形的面积计算公式:
S=
×底×高,S=
absinC(C为ab边的夹角).
8.(2004•南宁)中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题:
圆的半径增加了一倍,那么圆的面积增加了( )
A.
一倍
B.
二倍
C.
三倍
D.
四倍
考点:
圆的认识.4523971
专题:
计算题.
分析:
根据圆的半径的计算公式即可解决.
解答:
解:
设圆的原来的半径是R,增加1倍,半径即是2R,
则增加的面积是4πR2﹣πR2=3πR2,即增加了3倍.
故选C.
点评:
能够根据圆面积公式计算增加后的面积.
9.(2009•江西)在数轴上,点A所表示的实数为3,点B所表示的实数为a,⊙A的半径为2.下列说法中不正确的是( )
A.
当a<5时,点B在⊙A内
B.
当1<a<5时,点B在⊙A内
C.
当a<1时,点B在⊙A外
D.
当a>5时,点B在⊙A外
考点:
点与圆的位置关系.4523971
分析:
先找出与点A的距离为2的点1和5,再根据“点与圆的位置关系的判定方法”即可解.
解答:
解:
由于圆心A在数轴上的坐标为3,圆的半径为2,
∴当d=r时,⊙A与数轴交于两点:
1、5,故当a=1、5时点B在⊙O上;当d<r即当1<a<5时,点B在⊙O内;当d>r即当a<1或a>5时,点B在⊙O外.
由以上结论可知选项B、C、D正确,选项A错误.故选A.
点评:
本题考查点与圆的位置关系的判定方法.若用d、r分别表示点到圆心的距离和圆的半径,则当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;当d<r时,点在圆内.
10.(2006•舟山)我们知道,“两点之间线段最短”,“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”.在此基础上,人们定义了点与点的距离,点到直线的距离.类似地,如图,若P是⊙O外一点,直线PO交⊙O于A,B两点,PC切⊙O于点C,则点P到⊙O的距离应定义为( )
A.
线段PO的长度
B.
线段PA的长度
C.
线段PB的长度
D.
线段PC的长度
考点:
点与圆的位置关系.4523971
专题:
压轴题;新定义.
分析:
根据前面的几个定义都是点到图形的最小的距离,因而点P到⊙O的距离是线段PA的长度.
解答:
解:
由图可知:
点P到⊙O的距离是线段PA的长度.
故选B.
点评:
考查点到圆的距离这一概念.正确理解距离的概念,读懂题目是解决本题的关键.
11.(2005•资阳)若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a,最小距离为b(a>b),则此圆的半径为( )
A.
B.
C.
或
D.
a+b或a﹣b
考点:
点与圆的位置关系.4523971
专题:
计算题;压轴题;分类讨论.
分析:
搞清⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离、最小距离的差或和为⊙O的直径,即可求解.
解答:
解:
若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a,最小距离为b,若这个点在圆的内部或在圆上时时,圆的直径是a+b,因而半径是
;当此点在圆外时,圆的直径是a﹣b,因而半径是
.则此圆的半径为
或
.
故选C.
点评:
注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键.
12.(2005•毕节地区)已知⊙O和三点P、Q、R,⊙O的半径为3,OP=2,OQ=3,OR=4,经过这三点中的一点任意作直线总是与⊙O相交,这个点是( )
A.
P
B.
Q
C.
R
D.
P或Q
考点:
点与圆的位置关系.4523971
分析:
根据⊙O的半径为3,OP=2,OQ=3,OR=4,可以知道点P在圆内,点Q在圆上,点R在圆外,因而这三点中P的一点任意作直线总是与⊙O相交.
解答:
解:
∵OP=2<⊙O的半径3,
∴P在圆的内部,
∴经过P点任意作直线总是与⊙O相交.
故选A.
点评:
本题考查了对点与圆的位置关系的判断.设点到圆心的距离为d,则当d=R时,点在圆上;当d>R时,点在圆外;当d<R时,点在圆内.准确判断P、Q、R三点与⊙O的位置关系是解决本题的关键.
13.(2001•常州)已知⊙O的半径为5厘米,A为线段OP的中点,当OP=6厘米时,点A与⊙O的位置关系是( )
A.
点A在⊙O内
B.
点A在⊙O上
C.
点A在⊙O外
D.
不能确定
考点:
点与圆的位置关系.4523971
分析:
正确找到点到圆心的距离,根据该距离和圆的半径之间的大小关系,进行判断.
点到圆心的距离<圆的半径,则点在圆内;
点到圆心的距离=圆的半径,则点在圆上;
点到圆心的距离>圆的半径,则点在圆外.
解答:
解:
∵当OP=6厘米时,OA=3cm<5cm,
∴根据点到圆心的距离<半径的性质,可知点A在⊙O内.
故选A.
点评:
主要考查了用点到圆心的距离与半径之间的大小关系,来判断点与圆的位置关系.
14.⊙O的半径为5,圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2),则点P与⊙O的位置关系是( )
A.
点P在⊙O内
B.
点P的⊙O上
C.
点P在⊙O外
D.
点P在⊙O上或⊙O外
考点:
点与圆的位置关系;坐标与图形性质.4523971
分析:
根据点到圆心的距离与圆的半径之间的关系:
“点到圆心的距离为d,则当d=r时,点在圆上;当d>r时,点在圆外;当d<r时,点在圆内”来求解.
解答:
解:
∵圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2),
∴OP=
=
<5,因而点P在⊙O内.
故选A.
点评:
本题考查了对点与圆的位置关系的判断.设点到圆心的距离为d,则当d=r时,点在圆上;当d>r时,点在圆外;当d<r时,点在圆内.
15.已知圆心在原点O,半径为5的⊙O,则点P(﹣3,4)与⊙O的位置关系是( )
A.
在⊙O内
B.
在⊙O上
C.
在⊙O外
D.
不能确定
考点:
点与圆的位置关系;坐标与图形性质.4523971
分析:
本题可先由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d,再根据点与圆心的距离与半径的大小关系,即当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;点在圆外;当d<r时,点在圆内;来确定点与圆的位置关系.
解答:
解:
∵OP=
=5,
∴根据点到圆心的距离等于半径,则知点在圆上.
故选B.
点评:
能够根据勾股定理求得点到圆心的距离,根据数量关系判断点和圆的位置关系.
填空题
16.(2012•海门市模拟)如图,直线l经过⊙O的圆心O,且与⊙O交于A、B两点,点C在⊙O上,且∠AOC=30°,点P是直线l上的一个动点(与圆心O不重合),直线CP与⊙O相交于另一点Q,如果QP=QO,则∠OCP= 40°或20°或100° .
考点:
等腰三角形的性质;三角形内角和定理;圆的认识.4523971
专题:
动点型.
分析:
点P是直线l上的一个动点,因而点P与线段AO有三种位置关系,在线段AO上,点P在AO延长线上,点P在OA的延长线上.分这三种情况进行讨论即可.
解答:
解:
①根据题意,画出图
(1),
在△QOC中,OC=OQ,
∴∠OQC=∠OCP,
在△OPQ中,QP=QO,
∴∠QOP=∠QPO,
又∵∠AOC=30°,
∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°,
在△OPQ中,∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°,
即(∠OCP+30°)+(∠OCP+30°)+∠OCP=180°,
整理得,3∠OCP=120°,
∴∠OCP=40°.
②当P在线段OA的延长线上(如图2)
∵OC=OQ,
∴∠OQP=(180°﹣∠QOC)×
①,
∵OQ=PQ,
∴∠OPQ=(180°﹣∠OQP)×
②,
在△OQP中,30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③,
把①②代入③得:
60°+∠QOC=∠OQP,
∵∠OQP=∠QCO,
∴∠QOC+2∠OQP=∠QOC+2(60°+∠QOC)=180°,
∴∠QOC=20°,则∠OQP=80°
∴∠OCP=100°;
③当P在线段OA的反向延长线上(如图3),
∵OC=OQ,
∴∠OCP=∠OQC=(180°﹣∠COQ)×
①,
∵OQ=PQ,
∴∠P=(180°﹣∠OQP)×
②,
∵∠AOC=30°,
∴∠COQ+∠POQ=150°③,
∵∠P=∠POQ,2∠P=∠OCP=∠OQC④,
①②③④联立得
∠P=10°,
∴∠OCP=180°﹣150°﹣10°=20°.
故答案为:
40°、20°、100°.
点评:
本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质,先假设存在并进行分类讨论是进行解题的关键.
17.(2006•南宁)如图,A是硬币圆周上一点,硬币与数轴相切于原点O(A与O点重合).假设硬币的直径为1个单位长度,若将硬币沿数轴正方向滚动一周,点A恰好与数轴上点A′重合,则点A′对应的实数是 π .
考点:
圆的认识.4523971
专题:
压轴题.
分析:
理解A到A′的距离是圆的周长,根据周长公式即可求解.
解答:
解:
将硬币沿数轴正方向滚动一周,点A恰好与数轴上点A'重合,则转过的距离是圆的周长是π,因而点A'对应的实数是π.
点评:
本题主要考查了圆的周长公式的掌握.
18.(2005•南平)如图,两个半径都是4cm的圆外切于点C,一只蚂蚁由点A开始依ABCDEFCGA的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行,蚂蚁在这8段路径上不断地爬行,直到行走2006πcm后才停下来,请问这只蚂蚁停在哪一个点?
答:
停在 D 点.
考点:
圆的认识.4523971
专题:
压轴题;规律型.
分析:
利用周长公式计算,再根据相邻两点间的路程计算走了整圈后,又走了几个点.
解答:
解:
根据行走一圈的周长是16π,
每相邻两点间的路程是2π,
2006π=16π×125+6π,
则最后停在了第4个点,即D点.
故选D.
点评:
这里首先要计算一共走了多少圈,还余多少路程,再根据相邻两点间的路程计算走了整圈后,又走了几个点.
19.(2002•武汉)在同一平面内,1个圆把平面分成0×1+2=2个部分,2个圆把平面最多分成1×2+2=4个部分,3个圆把平面最多分成2×3+2=8个部分,4个圆把平面最多分成3×4+2=14个部分,那么10个圆把平面最多分成 92 个部分.
考点:
圆的认识.4523971
专题:
规律型.
分析:
根据例题可以得到n个圆分成的部分有:
(n﹣1)•n+2个部分.进而就可以得到结果.
解答:
解:
10个圆把平面最多分成9×10+2=92个部分.
点评:
此题注意发现规律是解决本题的关键.
解答题
20.(2006•中山)如图所示,AB是⊙O的弦,半径OC、OD分别交AB于点E、F,且AE=BF,请你找出线段OE与OF的数量关系,并给予证明.
考点:
全等三角形的判定与性质;圆的认识.4523971
专题:
证明题;开放型.
分析:
OE=OF,可以利用SAS判定△OAE≌△OBF,根据全等三角形的对应边相等,可得到OE=OF.
解答:
解:
OE=OF,(2分)
证明:
连接OA,OB,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA.即∠OAE=∠OBF.
∴在△OAE与△OBF中,
,
∴△OAE≌△OBF(SAS).
∴OE=OF.
点评:
考查圆的性质,全等三角形的判定等知识的综合应用及推理论证能力.
21.已知:
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=25°,以C为圆心,CA长为半径的圆交AB于D,求
的度数.
考点:
圆的认识;等腰三角形的性质.4523971
分析:
首先根据直角三角形的两个锐角互余,得到∠A=90°﹣∠B=65°.再根据等边对等角以及三角形的内角和定理得到∠ACD的度数,进一步得到其所对的弧的度数.
解答:
解:
∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=25°
∴∠A=90°﹣∠B=65度.
∵CA=CD
∴∠CDA=∠CAD=65°
∴∠ACD=50°
即弧AD的度数是50度.
点评:
知道弧的度数等于它所对的圆心角的度数.综合运用了三角形的内角和定理及其推论,根据同圆的半径相等和等边对等角的性质进行计算.
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- 圆31 圆例题讲解 31 例题 讲解