离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案.docx
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离散数学答案屈婉玲版
第二版高等教育出版社课后答案
第一章部分课后习题参考答案
16设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。
(1)p∨(q∧r)0∨(0∧1)
0
(2)(p?
r)∧(﹁q∨s)
(0?
1)∧(1∨1)
0∧1
0.
(3)(p∧q∧r)?
(p∧q∧﹁r)
(1∧1∧1)?
(0∧0∧0)0
(4)(r∧s)→(p∧q)
(0∧1)→(1∧0)
0→0
1
17.判断下面一段论述是否为真:
“
是无理数。
并且,如果
3是无理数,则
2也是无
理数。
另外
6能被2整除,6才能被4整除。
”
答:
p:
是无理数1
q:
3
是无理数0
r:
2是无理数1
s:
6能被2整除1
t:
6能被4整除0
命题符号化为:
p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。
19.用真值表判断下列公式的类型:
(4)(p→q)→(q→p)
(5)(p∧r)
(
p∧
q)
(6)((p→q)
∧(q→r))
→(p→r)
答:
(4)
pqp
→q
q
pq→p(p→q)→(q→p)
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
所以公式类型为永真式
(5)公式类型为可满足式(方法如上例)
(6)公式类型为永真式(方法如上例)
第二章部分课后习题参考答案
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3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.
(1)(p∧q→q)
(2)(p→(p∨q))∨(p→r)
(3)(p∨q)→(p∧r)
答:
(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r1
所以公式类型为永真式
(3)P
q
r
p
∨q
p
∧r
(p∨q)→(p∧r)
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
所以公式类型为可满足式
4.用等值演算法证明下面等值式:
(2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r))
(4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q)∧(p∧q)
证明
(2)(p→q)∧(p→r)
(p∨q)∧(p∨r)
p∨(q∧r))
p→(q∧r)
(4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q))∧(q∨(p∧q)
(p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p)∧(q∨q)
1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1
(p∨q)∧(p∧q)
5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值
(1)(p→q)→(q∨p)
(2)(p→q)∧q∧r
(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)
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解:
(1)主析取范式
(p→q)→(qp)
(pq)(qp)
(pq)(qp)
(pq)(qp)(qp)(pq)(pq)
(pq)(pq)(pq)
m0m2m3
∑(0,2,3)
主合取范式:
(p→q)→(qp)
(pq)(qp)
(pq)(qp)
(p(qp))(q(qp))
1(pq)
(pq)M1
∏
(1)
(1)主合取范式为:
(p→q)qr(pq)qr
(pq)qr0
所以该式为矛盾式.
主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)
矛盾式的主析取范式为0
(3)主合取范式为:
(p(qr))→(pqr)
(p(qr))→(pqr)
(p(qr))(pqr)
(p(pqr))((qr))(pqr))
11
1
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所以该式为永真式.
永真式的主合取范式为1
主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)
第三章部分课后习题参考答案
14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明:
(2)前提:
pq,(qr),r
结论:
p
(4)前提:
qp,qs,st,tr
结论:
pq
证明:
(2)
①
(q
r)
前提引入
②
q
r
①置换
③q
r
②蕴含等值式
④r
前提引入
⑤
q
③④拒取式
⑥p
q
前提引入
⑦¬p(3)
⑤⑥拒取式
证明(4):
①tr
前提引入
②t
①化简律
③q
s
前提引入
④s
t
前提引入
⑤q
t
③④等价三段论
⑥(q
t)(t
q)⑤置换
⑦(q
t)
⑥化简
⑧q
②⑥假言推理
⑨q
p
前提引入
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⑩p⑧⑨假言推理
(11)pq⑧⑩合取
15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:
(1)前提:
p(qr),sp,q
结论:
sr
证明
①s
附加前提引入
②s
p
前提引入
③p
①②假言推理
④p
(q
r)前提引入
⑤q
r
③④假言推理
⑥q
前提引入
⑦r
⑤⑥假言推理
16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理:
(1)前提:
pq,rq,rs
结论:
p
证明:
①p
结论的否定引入
②p
﹁q
前提引入
③﹁q
①②假言推理
④¬r
q
前提引入
⑤¬r
④化简律
⑥r
¬s
前提引入
⑦r
⑥化简律
⑧r
﹁r
⑤⑦合取
由于最后一步r
﹁r是矛盾式,所以推理正确.
第四章部分课后习题参考答案
3.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命
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题的真值:
(1)对于任意x,均有2=(x+)(x).
(2)存在x,使得x+5=9.
其中(a)个体域为自然数集合.
(b)个体域为实数集合.
解:
F(x):
2=(x+)(x).
G(x):
x+5=9.
(1)在两个个体域中都解释为xF(x),在(a)中为假命题,在(b)中为真命题。
(2)在两个个体域中都解释为xG(x),在(a)(b)中均为真命题。
4.在一阶逻辑中将下列命题符号化:
(1)没有不能表示成分数的有理数.
(2)在北京卖菜的人不全是外地人.
解:
(1)F(x):
x能表示成分数
H(x):
x是有理数
命题符号化为:
x(F(x)H(x))
(2)F(x):
x是北京卖菜的人
H(x):
x是外地人
命题符号化为:
x(F(x)H(x))
5.在一阶逻辑将下列命题符号化:
(1)火车都比轮船快.
(3)不存在比所有火车都快的汽车.
解:
(1)F(x):
x是火车;G(x):
x是轮船;H(x,y):
x比y快
命题符号化为:
xy((F(x)G(y))H(x,y))
(2)
(1)F(x):
x是火车;G(x):
x是汽车;H(x,y):
x比y快
命题符号化为:
y(G(y)x(F(x)H(x,y)))
9.给定解释I如下:
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(a)个体域D为实数集合R.
(b)D中特定元素=0.
(c)特定函数(x,y)=xy,x,yD.
(d)特定谓词(x,y):
x=y,(x,y):
x 说明下列公式在I下的含义,并指出各公式的真值: (1) x y(G(x,y) F(x,y)) (2) x y(F(f(x,y),a)G(x,y)) 答: (1)对于任意两个实数x,y,如果x (2)对于任意两个实数x,y,如果x-y=0,那么x 10.给定解释I如下: (a)个体域D=N(N为自然数集合). (b)D中特定元素=2. (c)D上函数=x+y,(x,y)=xy. (d)D上谓词(x,y): x=y. 说明下列各式在I下的含义,并讨论其真值. (1)xF(g(x,a),x) (2)xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x) 答: (1)对于任意自然数x,都有2x=x,真值0. (2)对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y,那么y+2=x.真值0. 11.判断下列各式的类型: (1) (3)yF(x,y). 解: (1)因为p(qp)p(qp)1为永真式; 所以为永真式; (3)取解释I个体域为全体实数 F(x,y): x+y=5 所以,前件为任意实数x存在实数y使x+y=5,前件真; 后件为存在实数x对任意实数y都有x+y=5,后件假,] 此时为假命题 精心整理学习帮手 word完美格式 再取解释I个体域为自然数N, F(x,y): : x+y=5 所以,前件为任意自然数x存在自然数y使x+y=5,前件假。 此时为假命题。 此公式为非永真式的可满足式。 13.给定下列各公式一个成真的解释,一个成假的解释。 (1)(F(x) (2)x(F(x)G(x)H(x)) 解: (1)个体域: 本班同学 F(x): x会吃饭,G(x): x会睡觉.成真解释 F(x): x是泰安人,G(x): x是济南人. (2)成假解释 (2)个体域: 泰山学院的学生 F(x): x出生在山东,G(x): x出生在北京,H(x): x出生在江苏,成假解释. F(x): x会吃饭,G(x): x会睡觉,H(x): x会呼吸.成真解释. 第五章部分课后习题参考答案 5.给定解释I如下: (a)个体域D={3,4}; (b) f(x)为f(3) 4,f(4) 3 (c) F(x,y)为F(3,3) F(4,4) 0,F(3,4)F(4,3)1. 试求下列公式在I下的真值. (1)xyF(x,y) (3) xy(F(x,y) F(f(x), f(y))) 解: (1) x yF(x,y) x(F(x,3) F(x,4)) (F(3,3) F(3,4)) (F(4,3) F(4,4)) (0 1) (1 0) 1 (2) x y(F(x,y) F(f(x),f(y))) x((F(x,3) F(f(x), f(3))) (F(x,4) F(f(x),f(4)))) x((F(x,3) F(f(x),4))(F(x,4) F(f(x),3))) 精心整理学习帮手 word完美格式 ((F(3,3) F(f(3),4)) (F(3,4) F(f(3),3))) ((F(4,3) F(f(4),4)) (F(4,4) F(f(4),3))) ((0 F(4,4)) (F(3,4) F(4,3))) ((1F(3,4))(0F(3,3))) (0 0) (1 1) (1 1) (0 0) 1 12.求下列各式的前束范式。 (1) xF(x) yG(x,y) (5) x1F(x1,x2) (H(x1) x2G(x1,x2))(本题课本上有错误) 解: (1) xF(x) yG(x,y) xF(x) yG(t,y) xy(F(x)G(t,y)) (5) x1F(x1,x2) (H(x1) x2G(x1,x2)) x1F(x1,x2)(H(x3) x2G(x3,x2)) x1F(x1,x4)x2(H(x3)G(x3,x2)) x1x2(F(x1,x4)(H(x3)G(x3,x2))) 15.在自然数推理系统F中,构造下面推理的证明: (1)前提: xF(x)y((F(y)G(y))R(y)),xF(x) 结论: xR(x) (2)前提: x(F(x)→(G(a)∧R(x))),xF(x) 结论: x(F(x)∧R(x)) 证明 (1) ① xF(x) 前提引入 ②F(c) ①EI ③ xF(x) y((F(y)G(y)) R(y))前提引入 ④ y((F(y) G(y))R(y)) ①③假言推理 ⑤(F(c)∨G(c))→R(c))④UI ⑥F(c)∨G(c)②附加 ⑦R(c)⑤⑥假言推理 ⑧xR(x)⑦EG (2) 精心整理学习帮手 word完美格式 ①xF(x)前提引入 ②F(c)①EI ③x(F(x)→(G(a)∧R(x)))前提引入 ④F(c)→(G(a)∧R(c))③UI ⑤G(a)∧R(c)②④假言推理 ⑥R(c)⑤化简 ⑦F(c)∧R(c)②⑥合取引入 ⑧x(F(x)∧R(x))⑦EG 第六章部分课后习题参考答案 5.确定下列命题是否为真: (1) 真 (2) 假 (3) { } 真 (4) { } 真 (5){a,b} {a,b,c, {a,b,c}} 真 (6){a,b} {a,b,c, {a,b}} 真 (7){a,b} {a,b,{{a,b}}} 真 (8){a,b} {a,b,{{a,b}}} 假 6.设a,b,c各不相同,判断下述等式中哪个等式为真: (1){{a,b},c,}={{a,b},c}假 (2){a,b,a}={a,b}真 (3){{a},{b}}={{a,b}}假 (4){ ,{ },a,b}={{ { }},a,b} 假 8.求下列集合的幂集: (1){a,b,c} P(A)={ {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} (2){1,{2,3}}P(A)={ {1}, {{2,3}}, {1 ,{2,3}}} (3){ } P(A)={ { }} (4){ ,{ }}P(A)={ {1}, {{2,3}}, {1 ,{2,3}}} 精心整理学习帮手 word完美格式 14.化简下列集合表达式: (1)(AB)B)-(AB) (2)((ABC)-(BC))A 解: (1)(AB)B)-(AB)=(AB)B)~(AB) =(AB)~(AB))B=B= (2)((ABC)-(BC))A=((ABC)~(BC))A =(A~(BC))((BC)~(BC))A =(A~(BC))A=(A~(BC))A=A 18.某班有25个学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。 已知6个会打网球的人都会打篮球或排球。 求不会打球的人数。 解: 阿A={会打篮球的人},B={会打排球的人},C={会打网球 的人} |A|=14,|B|=12,|AB|=6,|AC|=5,|ABC|=2, |C|=6,CAB 如图所示。 25-(5+4+2+3)-5-1=25-14-5-1=5 不会打球的人共5人 21.设集合A={{1,2},{2,3},{1,3},{}},计算下列表达式: (1)A (2)A (3)A (4)A 解: (1) A={1,2} {2,3} {1,3} { }={1,2,3,} (2) A={1,2} {2,3} {1,3} { }= (3) A=123 = (4) A= 27、设A,B,C是任意集合,证明 精心整理学习帮手 word完美格式 (1)(A-B)-C=A-BC (2)(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证明 (1) (A-B)-C=(A ~B) ~C=A (~B~C)=A~(B C)=A-BC (2) (A-C)-(B-C)=(A ~C) ~(B ~C)=(A ~C) (~BC) =(A ~C ~B) (A ~C C)=(A~C ~B) =A ~(B C)=A-B C由 (1)得证。 第七章部分课后习题参考答案 7.列出集合A={2,3,4}上的恒等关系IA,全域关系EA,小于或等于关系LA,整除关系DA. 解: IA={<2,2>,<3,3>,<4,4>} EA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<3,2>,<3,3>,<4,2>,<4,3>} LA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>} DA={<2,4>} 13.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>}B={<1,3>,<2,4>,<4,2>} 求AB,AB,domA,domB,dom(AB),ranA,ranB,ran(AB),fld(A-B). 解: AB={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>} AB={<2,4>} domA={1,2,3} domB={1,2,4} dom(A∨B)={1,2,3,4} ranA={2,3,4} ranB={2,3,4} ran(AB)={4} A-B={<1,2>,<3,3>},fld(A-B)={1,2,3} 14.设R={<0,1><0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>} 求RR,R-1,R{0,1,},R[{1,2}] 精心整理学习帮手 word完美格式 解: RR={<0,2>,<0,3>,<1,3>} R-1,={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>} R{0,1}={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>} R[{1,2}]=ran(R|{1,2})={2,3} 16.设A={a,b,c,d},R R2为A上的关系,其中 1, R1= a,a,a,b,b,d R2 a,d,b,c,b,d c,b 求R1R2,R2R1,R12,R23。 解: R12=R1R1={,,}R22=R2R2={, 36.设A={1,2,3,4},在AA上定义二元关系R, , (1)证明R是AA上的等价关系. (2)确定由R引起的对AA的划分. (1)证明: ∵R ∴R AA ∵u-v=u-v ∴R ∴R是自反的 任意的, 如果R ∴x-y=
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