初二数学八上第十二章全等三角形知识点总结复习和常考题型练习.docx
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初二数学八上第十二章全等三角形知识点总结复习和常考题型练习
第十二章全等三角形
一、知识框架:
二、知识概念:
1.基本定义:
⑴全等形:
能够完全重合的两个图形叫做全等形.
⑵全等三角形:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
理解:
①全等三角形形状与大小完全相等,与位置无关;②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形;③三角形全等不因位置发生变化而改变。
⑶对应顶点:
全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.
⑷对应边:
全等三角形中互相重合的边叫做对应边.
⑸对应角:
全等三角形中互相重合的角叫做对应角.
2.基本性质:
⑴三角形的稳定性:
三角形三边的长度确定了,这个三角形的形状、大小就全确定,这个性质叫做三角形的稳定性.
⑵全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等,对应角相等.
理解:
①长边对长边,短边对短边;最大角对最大角,最小角对最小角;②对应角的对边为对应边,对应边对的角为对应角。
(3)全等三角形的周长相等、面积相等。
(4)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3.全等三角形的判定定理:
⑴边边边(
):
三边对应相等的两个三角形全等.
⑵边角边(
):
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
⑶角边角(
):
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
⑷角角边(
):
两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
⑸斜边、直角边(
):
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
4.证明两个三角形全等的基本思路:
5.角平分线:
⑴画法:
⑵性质定理:
角平分线上的点到角的两边的距离相等.
⑶性质定理的逆定理:
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
(4)三角形的三条角平分线交于三角形内部一点,并且这点到三边的距离相等
6.证明的基本方法:
⑴明确命题中的已知和求证.(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系)
⑵根据题意,画出图形,并用数字符号表示已知和求证.
⑶经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.
7.学习全等三角形应注意以下几个问题:
(1)要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与“对角”的不同含义;
(2)表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上;
(3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等;
(4)中线倍长法、截长补短法证三角形全等。
常考例题精选
3.
(2015·绥化中考)如图,A,B,C三点在同一条直线上,∠A=∠C=90°,AB=CD,请添加一个适当的条件 ,使得△EAB≌△BCD.
4.
(2015·临沂中考)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F,若EF=5cm,则AE= cm.
5.(2015·武汉中考)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:
∠A=∠D.
6.
(2015·昆明中考)已知:
如图,AD,BC相交于点O,OA=OD,AB∥CD.求证:
AB=CD.
7.
(2015·大理中考)如图,点B在AE上,点D在AC上,AB=AD,请你添加一个适当的条件,使△ABC≌△ADE(只能添加一个).
(1)你添加的条件是 .
(2)添加条件后,请说明△ABC≌△ADE的理由.
8.(2015·随州中考)如图,点F,B,E,C在同一直线上,并且BF=CE,∠ABC=∠DEF.能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF?
如果能,请给出证明;如果不能,请从下列三个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,使△ABC≌△DEF,并给出证明.提供的三个条件是:
①AB=DE;②AC=DF;③AC∥DF.
9.(2015·河源中考)如图,已知AB=CD,∠B=∠C,AC和BD相交于点O,E是AD的中点,连接OE.
(1)求证:
△AOB≌△DOC.
(2)求∠AEO的度数.
10.(2014·泸州实验质检)
如图所示,AB∥CD,E为AD上一点,且BE,CE分别平分∠ABC,∠BCD.
求证:
AE=DE.
通关精选
1.如图,△ABC≌△EFD,且AB=EF,EC=4,CD=3,则AC=()
A.3B.4C.7D.8
第1题图)
2.如图,AC=BD,AO=BO,CO=DO,∠D=30°,∠A=95°,则∠AOB等于()
A.120°B.125°C.130°D.135°
第2题图)
3.如图,已知AB∥CD,AD∥CB,则△ABC≌△CDA的依据是()
A.SASB.ASAC.AASD.SSS
第3题图)
4.(2015·六盘水)如图,已知∠ABC=∠DCB,下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是()
A.∠A=∠DB.AB=DCC.∠ACB=∠DBCD.AC=BD
第4题图)
5.如图,△ABC和△EDF中,∠B=∠D=90°,∠A=∠E,点B,F,C,D在同一条直线上,再增加一个条件,不能判定△ABC≌△EDF的是()
A.AB=EDB.AC=EFC.AC∥EFD.BF=DC
第5题图)
6.如图,在△ABC中,∠B=42°,AD⊥BC于点D,点E是BD上一点,EF⊥AB于点F,若ED=EF,则∠AEC的度数为()
A.60°B.62°C.64°D.66°
第6题图)
7.如图,AD是△ABC的中线,E,F分别是AD和AD延长线上的点,且DE=DF,连接BF,CE.下列说法:
①CE=BF;②△ABD和△ACD面积相等;③BF∥CE;④△BDF≌△CDE.其中正确的有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
第7题图)
8.如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为20,30,40,O是△ABC三条角平分线的交点,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于()
A.1∶1∶1B.1∶2∶3C.2∶3∶4D.3∶4∶5
第8题图)
9.如图,在平面直角坐标系中,以点O为圆心,适当的长为半径画弧,交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M,N为圆心,大于
MN的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为(2a,b+1),则a与b的数量关系为()
A.a=bB.2a+b=-1C.2a-b=1D.2a+b=1
第9题图)
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,则下列结论:
①AD平分∠CDE;②∠BAC=∠BDE;③DE平分∠ADB;④BE+AC=AB.其中正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
第10题图)
11.已知△ABC≌△DEF,且△ABC的周长为12cm,面积为6cm2,则△DEF的周长为________cm,面积为_________cm2.
12.如图,已知AD是△ABC的角平分线,在不添加任何辅助线的前提下,要使△AED≌△AFD,需添加一个条件是:
________________________.
第12题图)
13.如图,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过正方形的顶点B,D作BF⊥a于点F,DE⊥a于点E,若DE=8,BF=5,则EF的长为___________.
第13题图)
15.如图,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,CE,BD相交于O,则图中全等的直角三角形有___________对.
第15题图)
16.如图,已知方格纸中是4个相同的正方形,则∠1+∠2+∠3=___________度.
第16题图)
17.如图,已知相交直线AB和CD及另一直线MN,如果要在MN上找出与AB,CD距离相等的点,则这样的点至少有________个,最多有________个.
第17题图)
18.如图,已知△ABC的三个内角的平分线交于点O,点D在CA的延长线上,且DC=BC,若∠BAC=80°,则∠BOD的度数为________.
第18题图)
19.(2015·昆明)如图,点B,E,C,F在同一条直线上,∠A=∠D,∠B=∠DEF,BE=CF.求证:
AC=DF.
20.如图,工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等,但他手边没有量角器,只有一个刻度尺.他是这样操作的:
①分别在BA和CA上取BE=CG;②在BC上取BD=CF;③量出DE的长为am,FG的长为bm.如果a=b,则说明∠B和∠C是相等的,他的这种做法合理吗?
为什么?
21.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BE=FC,求证:
BD=DF.
22.如图,在△ABE和△ACF中,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,BE=CF.
求证:
(1)∠1=∠2;
(2)CM=BN.
23.如图①,点A,E,F,C在一条直线上,AE=CF,过点E,F分别作ED⊥AC,FB⊥AC,AB=CD.
(1)若BD与EF交于点G,试证明BD平分EF;
(2)若将△DEC沿AC方向移动到图②的位置,其余条件不变,上述结论是否仍然成立?
请说明理由.
24.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=10cm,BC=8cm,D为AB的中点,点P在线段上以3cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上以相同速度由点C向点A运动,一个点到达终点后另一个点也停止运动.当△BPD与△CQP全等时,求点P运动的时间.
25.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.
(1)当点D在AC上时,如图①,线段BD,CE有怎样的数量关系和位置关系?
请证明你的猜想;
(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°),如图②,线段BD,CE有怎样的数量关系和位置关系?
请说明理由.
2.(2015·齐齐哈尔中考)在锐角三角形ABC中,AH是BC边上的高,分别以AB,AC为一边,向外作正方形ABDE和ACFG,连接CE,BG和EG,EG与HA的延长线交于点M,证明:
AM是△AEG的中线。
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