初中数学微专题费马点.docx
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初中数学微专题费马点
初中数学·几何综合
几何模型·专题复习
——费马点
一、费马点及结论
费马点:
就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点。
费尔马的结论:
对于一个各角不超过120°的三角形,费马点是对各边的张角都是120°的点;对于有一个角超过120°的三角形,费马点就是这个内角的顶点。
二、费马点结论的证明
例:
P为△ABC内任一点,请找点P使它到
三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小?
(1)当△ABC各角不超过120°时,如下图。
解析:
如图,把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′,连接PP′.
则△APP′为等边三角形,AP=PP′,P′C′=PC,
所以PA+PB+PC=PP′+PB+P′C′.
点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点,BC′为定长,所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时,PA+PB+PC最小.
这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°,
∠APC=∠AP′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°,
∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°
因此,当
的每一个内角都小于120°时,所求的点P对三角形每边的张角都是120°,可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧,两弧在三角形内的交点就是P点。
(2)当△ABC有一个内角超过120°时,如下图。
解析:
如图,延长BA至C'使得AC=AC',做∠C'AP'=∠CAP,并且使得AP'=AP,PC'=PC,(说了这么多,其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转)
则△APC≌△AP'C'
∵∠BAC≥120°
∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°
∴等腰三角形PAP'中,AP≥PP'
∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC
所以A是费马点
因此,当
有一内角大于或等于120°时,所求的P点就是钝角的顶点.
三、费马点的求法
当△ABC是三个内角皆小于120°三角形时,分别以AB、BC、CA为边,向三角形外侧做正三角形△ABD、△ACE,然后连接DC、BE,则二线交于一点,记作点P,则点P就是所求的费马点。
四、费马点的验证
1.△ABC是等边三角形,以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形,连接DC、EB,交点为点P,点P为费马点。
则可得出结论:
①AP=BP=CP;
②∠APB=∠BPC=∠APC=120°;
③△ABP、△ACP、△BCP全等;
④点P是垂心,是△ABC各边的高线的交点;
⑤点P是△ABC各边的中线的交点;
⑥点P是内心,是在三角形三个内角的角平分线的交点;
⑦△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P为费马点时和最小。
2.△ABC是等腰三角形,以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形,连接DC、EB,交点为点P,点P为费马点。
则可得出结论:
①∠APB=∠BPC=∠APC=120°;
②△ABP与△ACP全等;
③△BCP为等腰三角形;
④△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P为费马点时和最小。
3.△ABC是直角三角形,以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形,连接DC、EB,交点为点P,点P为费马点。
则可得出结论:
①△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P为费马点时和最小;
②∠APB=∠BPC=∠APC=120°
五、费马点与中考题
例1(2008年广东中考题)已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为
,求此正方形的边长.
图1图2
分析:
连接AC,发现点E到A、B、C三点的距离之和就是到
三个顶点的距离之和,这实际是费尔马问题的变形,只是背景不同.
解:
如图1,连接AC,把△AEC绕点C顺时针旋转60°,得到△GFC,连接EF、BG、AG,可知△EFC、△AGC都是等边三角形,则EF=CE.
又FG=AE,
∴AE+BE+CE=BE+EF+FG(图2).
∵点B、点G为定点(G为点A绕C点顺时针旋转60°所得).
∴线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值,此时E、F两点都在BG上(图2).
设正方形的边长为
,那么
BO=CO=
,GC=
GO=
.
∴BG=BO+GO=
+
.
∵点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为
.
∴
+
=
,解得
=2.
注:
本题旋转△AEB、△BEC也都可以,但都必须绕着定点旋转,不妨一试.
例2(2009年湖州中考题)若点P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.
(1)若P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°,PA=3,PC=4,则PB的值为;
(2)如图,在锐角△ABC的外侧作等边△ACB′,连结BB′.求证:
BB′过△ABC的费马点P,且BB′=PA+PB+PC.
解:
(1)利用相似三角形可求PB的值为
.
(2)设点P为锐角△ABC的费马点,即∠APB=∠BPC=∠CPA=120°
如图,把△ACP绕点C顺时针旋转60°到△B′CE,连结PE,则△EPC为正三角形.
∵∠B′EC=∠APC=120°,∠PEC=60°
∴∠B′EC+∠PEC=180°
即P、E、B′三点在同一直线上
∵∠BPC=120°,∠CPE=60°,
∴∠BPC+∠CPE=180°,
即B、P、E三点在同一直线上
∴B、P、E、B′四点在同一直线上,即BB′过△ABC的费马点P.
又PE=PC,B′E=PA,
∴BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC.
注:
通过旋转变换,可以改变线段的位置,优化图形的结构.在使用这一方法解题时需注意图形旋转变换的基础,即存在相等的线段,一般地,当题目出现等腰三角形(等边三角形)、正方形条件时,可将图形作旋转60°或90°的几何变换,将不规则图形变为规则图形,或将分散的条件集中在一起,以便挖掘隐含条件,使问题得以解决.
例3:
(2016盐城第3问)如图,已知A(-3,0)、C(1,0)、G(0,
).
连接CG,如图,P为△ACG内一点,连接PA、PC、PG,分别以AP、AG为边,在他们的左侧作等边△APR,等边△AGQ,连接QR,求PA+PC+PG的最小值,并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标.
此题考“费马点”,由图易得PG=QR,PA=PR,所以PA+PC+PG=PR+PC+QR,所以当QRPC四点共线时取得最小值.
4、已知P是边长为1的正方形ABCD内一点,求PA+PB+PC的最小值.
5、如图,菱形ABCD的对角线AC上有一动点P,BC=6,∠ABC=150°,则线段AP+BP+PD的最小值为 .
6、如图,等边△ABC中,AB=4,P是△ABC中的任意一点,连接PA、PB、PC,则PA+PB+PC的最小值为 .
7、如图,△ABE是等边三角形,M是正方形ABCD对角线BD(不含B点)上任意一点,BM=BN,∠ABN=15°(点N在AB的左侧),当AM+BM+CM的最小值为
+1时,正方形的边长为 .
8、如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,点E、F分别是AB、BC上的动点,连接DE、DF、EF,若AB=4,将△BEF沿EF翻折得到△EFP(始终保持点P在菱形ABCD的内部),连接AP、BP及CP,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长。
9、如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=CB,AD=CD,点M位对角线BD(不含点B)上任意一点,△ABE是等边三角形,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.
(1)求证:
△AMB≌△ENB;
(2)①直接回答:
当点M在何处时,AM+CM的值最小?
②当点M在何处时,AM+BM+CM的值最小?
请说明理由.
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