解析几何大题答案.docx
- 文档编号:10729237
- 上传时间:2023-02-22
- 格式:DOCX
- 页数:24
- 大小:353.66KB
解析几何大题答案.docx
《解析几何大题答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《解析几何大题答案.docx(24页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
解析几何大题答案
解析几何大题答案
解析几何大题答案
.-22
1、椭圆冷召1(a,b0)的两个焦点Fl、F2,点P在ab
椭圆C上,且PFl丄PF2,,|PFi|=4,,|PF2|=14.
(I)求椭圆C的方程;
(II)若直线L过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交
椭圆于A、B两点,且A、B关于点M对称,求直线L的方程。
解法一:
(I)因为点P在椭圆C上,所以2aPFiPF26,a=3.
在Rt△PF1F2中,IF1F2I』PF2『|PF『2怎故椭圆的半焦距C=药,
从而b2=a2-c2=4,
22
所以椭圆C的方程为亍丁=1.
(H)设A,B的坐标分别为(X1,y1)、(X2,y2).由圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(—2,1).从而可设直线I的方程为y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得(4+9k2)
x2+(36k2+18k)x+36k2+36k—27=0.
因为A,B关于点M对称.所以
1肿+%小
=_2.
4+9,
所以直线/的方程为尸験+”,即8炉9尸25=0.(经检验,符合题意)解法二:
(I)同解法一.
(II)已知圆的方程为(X+2)2+(y_l)2=5,所以圆心M的坐标为(一2,1).
设儿〃的坐标分别为&1丿1)9(兀2丿2)・由题意
且
^4=*'①
斗+各1,②
由①一②得
(x,-x2)(x,+x2)J(必一儿)(戸+儿)_0
94
③
因为/、〃关于点M对称,所以xi+x2=—4,ji+
J2=2,
代入③得即直线/的斜率为廿
Xj-x299
所以直线I的方程为y-i=l(X+2),即8x-
9尸25=0•(经检验,所求直线方程符合题意•)
(I)求过点0、F,并且与椭圆的左准线I相切的圆的方程;
(U)设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点,线段
AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.
本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识,考查平面解析几何的基本方法,考查运算能力和综合解题能力。
解:
(|)Qa22,b21,
Q圆过点0、F,
圆心M在直线x
设M(2t),则圆半径
r(I;)
(2)
由om|r,得』Jt23,解得t丘.
所求圆的方程为(x1)2(y.2)24.
24
(II)设直线AB的方程为yk(xi)(k0),
代入手y21,整理得(12k2)x24k2x2k220.
Q直线AB过椭圆的左焦点F,方程有两个不等实根。
2
记AUBDAB中点NS),则x.X22k21,
AB的垂直平分线
NG
的方程为yy。
1(xxo).
k
令
yo,得
.2k2
k2
k2
11
Xg
Xokyo2■
2k21
2k21
2k2
124k22
Qk
1
0,一XG0,
点G横坐标的取值范围为(2,0).
22
3、设A,B分别为椭圆二*1(a,b0)的左、右顶点,
ab7
椭圆长半轴的长等于焦距,且X4为它的右准线。
(I)、求椭圆的方程;
(U)、设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M、N,证明点B在以MN为直径的圆内。
点评:
本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。
43
(U)解法1:
由(I)得A(-2,0),B(2,0).设M(xo,yo).
•••M点在椭圆上,•••yo=3(4—xo).
又点M异于顶点A、B,•—2 7Xo2 从而bm=(xo—2,yo),bp=(2,) Xo2 从而/MBN为钝角, 故点B在以MN为直径的圆内 解法2: 由(I)得A(-2,0),B(2,0)设M(Xi,yi),N(X2,y2), 则一2 依题意,计算点B到圆心Q的距离与半径的差 BQ2—4|mn2=(宁—2)2+(汁)2—4[(X1—X2)2+(yi—y2)2] =(Xi—2)(X2—2)+yiyi ③ 又直线AP的方程为y==(x2),直线bp “%2 的方程为y=七&2), 丿x22 而点两直线AP与BP的交点P在准线X=4上, 22 又点M在椭圆上,则宁牛1,即yi2弓(4X! 2) 7434 ⑤ 于是将⑷、⑤代入③,化简后可得|BQ2-丄|MN2 4 5 =5(2-xJ(X22)0. 4 从而,点B在以MN为直径的圆内。 r.22 4、已知椭圆Ci三七1,抛物线C2: (ym)22px(p0),43 且Ci、C2的公共弦AB过椭圆Ci的右焦点. (I)当AB丄x轴时,求m、p的值,并判断抛物线 C2的焦点是否在直线AB上; (n)是否存在m、p的值,使抛物线C2的焦点恰在直线AB上? 若存在,求出符合条件的m、p的值;若不存在,请说明理由• 解: (I)当AB丄x轴时,点A、B关于x轴对 称,所以m=0,直线AB的方程为: x=1,从 而点A的坐标为(1,|)或(1,-|.因为 点A在抛物线上.所以92p,即p8此时C2的焦 48 点坐标为(彩,0),该焦点不在直线AB上. (II)解法一: 假设存在m、p的值使C2的焦点恰在直线AB上,由(I)知直线AB的斜率存在,故可设直线AB的方程为yk(x1). 2 (kxkm)2px. 因为C2的焦点FGp,m)在直线yk(x1)上, .22 k2X2p(k22)x—P0 4 由于Xi,X2也是方程③的两根,所以Xi+X2= 2 P(k2)k2 8k2 34k2 2 P(k2) k2 8k2 p22 (4k3)(k2) 又AB过Ci、、\、、C2的焦点,所以 AB (X,2)(X22)XiX2p(22Xi)(2»), 1). 由(I)知XiX2,p2,于是直线AB的斜率 y2y1m02m X2X| 且直线AB的方程是y诜(x1), 22 3xi4yi12 3x^4y12 3(X1X2)4(y1y2)出0 m23(p4)(p2)2 16(1p) 2 (y1m)2PX1(y2m)22px2 x2x1 %y22m2p—- y2y1 将②、③代入⑥得 2 3p(P2) 1610p 2 解得P-或P8(舍去)•将p-代入⑤得m2 333 普或m普• 由上知,满足条件的m、p存在,且m再或込P电 3'P3 22 5、如图,椭圆Q: 冷+b=1(ab0)的右焦点F 7ab (c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P是线段AB的中点 (1)求点P的轨迹H的方程 (2)在Q的方程中,令a2=1+cos+sin,b2=sin(0-),确定的值,使原点距椭圆的右准线I最远,此时,设I与x轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时,三角形ABD的面积最大? 、亠.-22 解: 如图, (1)设椭圆Q: 笃+占=1(ab0)上ab 的点A(X1,yj、B 坐标为P(x,y),则 b2x2+a2y2=a2b2 (1) b2x;+a2y;=a2b2 (2) 1当AB不垂直x轴时, X1X2, 由 (1)— (2)得b2(X1—X2)2x+a2(y1—y2)2y0 2 y1—y2bXy —— 2 x1—x2ayx—c b2x2+a2y2—b2cx=0(3) 2当AB垂直于x轴时,点P即为点F,满足方程(3) 故所求点P的轨迹方程为: b2x2+a2y2—b2cx=0 2 (2)因为,椭圆Q右准线I方程是x=a_,原c 点距I 的距离为-,由于c2=a2—b2,a2=1+cos+c sin,b2=sin(0—) ‘2 则a2=1+严+sin=2sin(—+—)cVi+cos247 当=-时,上式达到最大值。 此时a2=2,b2=1, c=1,D(2,0),|DF|=1 2 设椭圆Q: 才+y2=1上的点A(X1,y1)、B(X2,y2),三角形ABD的面积 S=2|y1|+2|y2l=扌M—y2l 2 设直线m的方程为x=ky+1,代入+y2=1中, 得(2+k2)y2+2ky—1=0 由韦达定理得y1+y2=—I**,y1y2=—^+产, 4S2=(yi-y2)2=(yi+y2)2-4yiy2=((^^) 令t=k2+11,得4$2=岛=亠夕=2,当t= (丫十卩t+-+24 t 1,k=0时取等号。 因此,当直线m绕点F转到垂直x轴位置时,三角形ABD的面积最大。 22 6、双曲线C与椭圆令七1有相同的焦点,直线y=氐为C的一条渐近线. (1)求双曲线C的方程; (2)过点P(0,4)的直线i,交双曲线C于A,B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合).当PQ’QA2QB,且128时,求Q点的坐标. 3 22 7古1由椭圆 解: (I)设双曲线方程为 1求得两焦点为(2,0),(2,0), 22 xy_ 84 对于双曲线C: c2,又y3x为双曲线C的一条渐近线 b'3解得a21,b23, a7 (H)解法一: B(X2,y2)则Q(和) 由题意知直线i的斜率k存在且不等于零 设I的方程: ykx4,A(Xi,yJ, umr mu 4 4 QPQ 1QA ( k, 4) 1(X1 R,y1) 4 4 4 4 X1 k —— ) 1k k k 4$ 4 y1 — 1 QA(xi,yi)在双曲线C上,叫―)21610 kii 216222 16321161—kk0. 3 22162(16k2);32116—k20. 13 同理有: (16k2);32216^k20. 3 若16k20,则直线I过顶点,不合题意.16k20, 此时0,k2.所求Q的坐标为(2,0). 7、在平面直角坐标系XOy中,直线I与抛物线y2=2x相交于A、B两点. (1)求证: “如果直线I过点T(3,0),那么OAOB=3”是真命题; (2)写出 (1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. [解] (1)设过点T(3,0)的直线i交抛物线y2=2x于点A(xi,yi)、B(x2,y2). 当直线i的钭率不存在时,直线i的方程为x=3,此时,直线i与抛物线相交于点A(3,血)、B(3,一<6)..IOAOB=3; 当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为 yk(x3),其中k0, 2 由y2x得ky22y6k0yy6 yk(x3) 乂・xi2丫1,X22y2, .uuuruuur〔2 ・°・OAgOBX1X2yy寸⑴®)2y“23, 综上所述,命题如果直线l过点T(3,0),那么OAOB=3"是真命题; ⑵逆命题是: 设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果OaOb=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题. 例如: 取抛物线上的点A(2,2),B&1),此时OAJOB=3,直线AB的方程为: yf(x1),而T(3,0)不在直线AB上; 说明: 由抛物线y2=2x上的点A(X1,y1)、B(X2,y2)满足oaob=3,可得yiy2=—6, 或y1y2=2,如果y1y2=—6,可证得直线AB过点(3,0);如果y1y2=2,可证得直线AB过点(—1,0), &如图,对每个正整数n,An(Xn,yn)是抛物线x? 4y上的点,过焦点F的直线FAn角抛物线于另一点 Bn(Sn? tn)。 (I)试证: XnSn4(n1); (U)取X,2n,并记C”为抛物线上分别以A”与b,为切点的两条切线的交点。 试证: |FGIFC2IL|FCn|2”2n11; 证明: (I)对任意固定的”1,因为焦点F(0,1)所以可设直线AA的方程为y1k”x,将它与抛物线方程x24y联立得: x24k”x40,由一元二次方程根与系数的关系得x,Sn4(n"・ (U)对任意固定的n1,利用导数知识易得抛物 线x24y在A”处的切线的斜率kA,寺故x2*4y在A”处 的切线的方程为: yyn|(xx.),……① 类似地,可求得x24y在Bn处的切线的方程为: ytnS”(xSn),② 现在Xn2-,禾IJ用上述已证结论并由等比数列求和公式得: 111 FGFC2IL|FCn-(xj|x2L|x-)2何匈L 9、如图,设抛物线方程为x2=2py(p>0),M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B. (I)求证: A,M,B三点的横坐标成等差数列; (□)已知当M点的坐标为(2,-2p) 时,AB4局,求此时抛物线的方程; (皿)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x22py(p>0)上,其中,点C满足 皑oAOB(O为坐标原点)■若存在,求出所有适合题意的点M的坐标;若不存在,请说明理由. (I)证明: 由题意设A(Xi, 22 XiX2 -),B(X2,- 2p2p ),B(X2, ),Xi 2X 2p 由X22py得y2_,则y: 所以 kMB— pp 因此直线MA的方程为y2p$(xXo), p 直线MB的方程为 X2 y2p—(xXo). p 2 所以2p 2p 2 子2p邑区 2pp X-I (XiXo), p Xo). 由①、②得 2 X2 XixXo, 2 X2 2, 所以A、M、B三点的横坐标成等差数列 (U)解: 由(I)知,当xo=2时,将其代入①、②并整理得: x;4x14p2o, 因此 即2Xo X(X2. 根, 因此x1x24,x1x24p2, x;x2 所以kAB2 P 由弦长公式得 又AB4価, 所以p=1或p=2, 因此所求抛物线方程为X22y或x24y. (川)解: 设D(X3,y3),由题意得C(X1+X2,y1+y2), 则CD的中点坐标为上), 代入得y3耳X3. p 若D(X3,y3)在抛物线上,贝yx22py32x0X3,因此X3=0或X3=2xo. 即D(0,0)或D(2xo, (1)当X0=0时,则Xix22X00,此时,点 M(0,-2p)适合题意. (2)当X00,对于D(0,0),此时 X0 22 XiX2 22~-22 C(2X0,—)%尹汀 2p2X04PX0 又kAB学AB丄CD, p? 2222 X^XiX2XiX>彳 cdg4P2i, 所以 题设矛盾, 所以X00时,不存在符合题意的M点. 综上所述,仅存在一点M(0,-2p)适合题意. i0、(本题i5分)已知曲线C是到点P(雳) 28 和到直线y5距离相等的点的轨迹。 是 8 过点Q(-1,0)的直线,M是C上(不 在上)的动点;A、B在上,MA,MBx轴(如图) (I)求曲线C的方程; (H)求出直线的方程,使得 碟为常数。 本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识,考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力•满分15分. (I)解: 设N(x,y)为C上的点,贝0 |NP| 2 1 x— N到直线y 2 2 2 1 3 5 x- y- y- 2 8 8 y 由题设得 5 8 5的距离为 (H)解法一: 2 X, 设M,直线l: ykxk,则 B(x,kxk),从而|QB|1|・ 在Rt△QMA中,因为 22x |QM|2(x1)21—, |QB|22(1k2)J1k2gx1 TQATi^ig73 k 从而所求直线l方程为2xy20. 2 解法—: 设M兀丄于,直线l: ykxk,则B(x,kxk),从而 |QB|、1k2|x1|. 过Q(1,0)垂直于I的直线l1: y丄(x1). k 因为|QA||MH|,所以|QA| |QB|22(1k2)j1k2x1 ]Qa[|T|g7^■ k 从而所求直线I方程为2xy20.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 解析几何 答案