高中数学 第二章 基本初等函数Ⅰ第2节 对数函数6教案 新人教A版必修1.docx
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高中数学第二章基本初等函数Ⅰ第2节对数函数6教案新人教A版必修1
2019-2020年高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)第2节对数函数(6)教案新人教A版必修1
导入新课
思路1.复习指数函数与对数函数的关系,那么函数y=ax与函数y=logax到底还有什么关系呢?
这就是本堂课的新内容——反函数,教师板书课题:
对数函数及其性质(3).
思路2.在比较系统地学习对数函数的定义、图象和性质的基础上,利用对数函数的图象和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图象和性质,特别明确了对数函数的单调性,并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题.因此,应搞清y=ax与函数y=logax的关系,培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力.教师点出课题:
对数函数及其性质(3).
推进新课
①用列表描点法在同一个直角坐标系中画出x=log2y、y=2x与y=log2x的函数图象.
②通过图象探索在指数函数y=2x中,x为自变量,y为因变量,如果把y当成自变量,x当成因变量,那么x是y的函数吗?
③如果是,那么对应关系是什么?
如果不是,请说明理由.
④探索y=2x与x=log2y的图象间的关系.
⑤探索y=2x与y=log2x的图象间的关系.
⑥结合②与⑤推测函数y=ax与函数y=logax的关系.
讨论结果:
①y=2x与x=log2y.
X
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
Y
…
1
2
4
8
…
y=log2x.
Y
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
X
…
1
2
4
8
…
图象如图7.
图7
②在指数函数y=2x中,x是自变量,y是x的函数(x∈R,y∈R+),而且其在R上是单调递增函数.过y轴的正半轴上任意一点作x轴的平行线,与y=2x的图象有且只有一个交点,即对任意的y都有唯一的x相对应,可以把y作为自变量,x作为y的函数.
③由指数式与对数式的关系,y=2x得x=log2y,即对于每一个y,在关系式x=log2y的作用之下,都有唯一确定的值x和它对应,所以,可以把y作为自变量,x作为y的函数,即x=log2y.这时我们把函数x=log2y〔y∈(0,+∞)〕叫做函数y=2x(x∈R)的反函数,但习惯上,通常以x表示自变量,y表示函数,对调x=log2y中的x,y写成y=log2x,这样y=log2x〔x∈(0,+∞)〕是指数函数y=2x(x∈R)的反函数.由上述讨论可知,对数函数y=log2x〔x∈(0,+∞)〕是指数函数y=2x(x∈R)的反函数;同时,指数函数y=2x(x∈R)也是对数函数y=log2x〔x∈(0,+∞)〕的反函数.因此,指数函数y=2x(x∈R)与对数函数y=log2x〔x∈(0,+∞)〕互为反函数.
以后,我们所说的反函数是x,y对调后的函数.如y=log3x,x∈(0,+∞)与y=3x(x∈R)互为反函数,y=log0.5x与y=0.5x(x∈R)互为反函数.
④从我们的列表中知道,y=2x与x=log2y的函数图象相同.
⑤通过观察图象可知,y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称.
⑥通过②与⑤类比归纳知道,y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是y=logax(a>0且a≠1),且它们的图象关于直线y=x对称.
由反函数的概念可知,同底的指数函数和对数函数互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
1用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图象:
①y=log3x;②y=log3x+1;③y=log3x-1.
2从图象上观察它们之间有什么样的关系?
3用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图象:
①y=log3x;②y=log3x+1;③y=log3x-1.,4从图象上观察它们之间有什么样的关系?
5你能推广到一般的情形吗?
活动:
学生动手画出函数图象,教师点拨,学生没有思路教师可以提示.
学生回忆函数作图的方法与步骤,按规定作出图象,特别是关键点.
讨论结果:
(1)如图8.
图8
(2)观察图8可以看出,y=log3x,y=log3(x+1),y=log3(x-1)的图象间有如下关系:
y=log3(x+1)的图象由y=log3x的图象向左移动1个单位得到;
y=log3(x-1)的图象由y=log3x的图象向右移动1个单位得到;
y=log3(x-1)的图象由y=log3(x+1)的图象向右移动2个单位得到;
y=log3(x+1)的图象由y=log3(x-1)的图象向左移动2个单位得到.
(3)如图9.
图9
(4)观察图9可以看出,y=log3x,y=log3x+1,y=log3x-1的图象间有如下关系:
y=log3x+1的图象由y=log3x的图象向上平移1个单位得到;
y=log3x-1的图象由y=log3x的图象向下平移1个单位得到;
y=log3x-1的图象由y=log3x+1的图象向下平移2个单位得到;
y=log3x+1的图象由y=log3x-1的图象向上平移2个单位得到.
(5)由上面的观察讨论可知,一般情况如下:
①由函数y=logax的图象得到函数y=loga(x+h)的图象的变化规律为:
当h>0时,只需将函数y=logax的图象向左平移h个单位就可得到函数y=loga(x+h)的图象;
当h<0时,只需将函数y=logax的图象向右平移|h|个单位就可得到函数y=loga(x+h)的图象.
②由函数y=logax的图象得到函数y=logax+b的图象的变化规律为:
当b>0时,只需将函数y=logax的图象向上平移b个单位就可得到函数y=logax+b的图象;
当b<0时,只需将函数y=logax的图象向下平移|b|个单位就可得到函数y=logax+b的图象.
③由函数y=logax的图象得到函数y=loga(x+h)+b的图象的变化规律为:
画出函数y=logax的图象,先将函数y=logax的图象向左(当h>0时)或向右(当h<0时)平移|h|个单位,可得到函数y=loga(x+h)的图象,再将函数y=loga(x+h)的图象向上(当b>0时)或向下(当b<0时)平移|b|个单位就可得到函数y=loga(x+h)+b的图象.
这样我们就可以很方便地将函数y=logax的图象进行平移得到与函数y=logax有关的函数图象.那么,你能很方便地由函数y=logax的图象得到函数y=loga|x|的图象吗?
留作思考练习,同学们课下完成.
例1已知a>0,a≠1,f(logax)=(x>0).
(1)求f(x)的表达式;
(2)求证:
函数f(x)在R上是增函数.
活动:
学生审题,教师指导,学生有困难,教师提示,并及时评价.
(1)把logax看成一个整体,利用换元法处理.利用指数与对数的关系,求出logax中的x,然后代入求解.
(2)证明函数的增减性要用函数单调性的定义.学生回顾单调性的证明方法与步骤,要按规定的格式书写.
(1)解:
设t=logax,则x=at,f(t)=.
所以f(x)=.
(2)证明:
设x1,x2∈R,x1 f(x1)-f(x2)=-=, 当a>1时,ax1-ax2<0,a2-1>0, 而ax1ax2及a·ax1·ax2+1均为正, 所以对一切a>0,a≠1,总有f(x1) 所以f(x)在R上是增函数. 点评: 换元法是解题常用的数学方法,要注意体会. 例2已知F(x)=f(x)-g(x),其中f(x)=loga(x-1),并当且仅当(x0,y0)在f(x)的图象上时,点(2x0,2y0)在y=g(x)的图象上. (1)求y=g(x)的解析式; (2)当x在什么范围时,F(x)≥0? 活动: 学生仔细审题,积极思考,探讨解题方法,教师及时提示引导. (1)由已知函数的解析式利用代入法求函数的解析式.由于P0(x0,y0)与P1(2x0,2y0)是相关的,如果我们能把y=g(x)上的点P1(2x0,2y0)的坐标通过变换,表示为P0(x0,y0)的坐标的相关形式,代入即可,也称相关点法; (2)求字母的取值范围一般是转化为不等式.在 (1)的基础上,求出F(x),由F(x)≥0得不等式,根据不等式的类型来解. 解: (1)由点(x0,y0)在y=loga(x-1)的图象上, 得y0=loga(x0-1). 令2x0=u,2y0=v,则x0=,y0=, 所以=loga(-1),即v=2loga(-1). 由(2x0,2y0)在y=g(x)的图象上,即(u,v)在y=g(x)的图象上, 故y=g(x)=2loga(-1). (2)F(x)=f(x)-g(x)=loga(x-1)-2loga(-1), 当a>1时,由F(x)≥0,可解得2 当0 点评: (1)注意求函数解析式的方法,特别是相关点法. (2)解对数不等式,当底数是字母时,应分情况求解,注意分类讨论的数学思想的运用. 已知集合M={x|x<3},N={x|log2x>1},则M∩N等于( ) A.∅B.{x|0 答案: D 对于区间[m,n]上有意义的两个函数f(x)与g(x),如果对任意的x∈[m,n],均有|f(x)-g(x)|≤1,则称f(x)与g(x)在[m,n]上是接近的,否则称f(x)与g(x)在[m,n]上是非接近的.现有两个函数f1(x)=loga(x-3a)与f2(x)=loga(a>0,a≠1),给定区间[a+2,a+3]. (1)若f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2,a+3]上都有意义,求a的取值范围; (2)讨论f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2,a+3]上是否是接近的. 活动: 学生读题,理解题目的含义,教师引导学生,及时提示,严格把握新信息f(x)与g(x)在[m,n]上是接近的定义解题. 解: (1)依题意a>0,a≠1,a+2-3a>0,a+2-a>0, 所以0<a<1. (2)|f1(x)-f2(x)|=|loga(x2-4ax+3a2)|. 令|f1(x)-f2(x)|≤1,得-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤1.① 因为0<a<1,又[a+2,a+3]在x=2a的右侧, 所以g(x)=loga(x2-4ax+3a2)在[a+2,a+3]上为减函数. 从而g(x)max=g(a+2)=loga(4-4a),g(x)min=g(a+3)=loga(9-6a), 于是①成立,当且仅当
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