学年山西省怀仁县第一中学高二下学期期中考试数学理试题解析版.docx
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学年山西省怀仁县第一中学高二下学期期中考试数学理试题解析版
2016-2017学年山西省怀仁县第一中学高二下学期期中考试数学(理)试题
一、选择题
1.复数在复平面上对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【解析】试题分析:
,所以此复数在复平面内对应的点为,位于第二象限.故B正确.
【考点】1复数的运算;2复数与复平面内的点一一对应.
2.“金导电,银导电,铜导电,铁导电,所以一切金属都导电”.此推理方法是()
A.类比推理B.归纳推理C.演绎推理D.以上都不对
【答案】B
【解析】试题分析:
归纳推理由是部分到整体,由个别到一般的推理.故选B.
【考点】归纳推理特点.
3.a,b,c不全为零等价为 ( )
A.a,b,c均不为0
B.a,b,c中至多有一个为0
C.a,b,c中至少有一个为0
D.a,b,c中至少有一个不为0
【答案】D
【解析】选D.a,b,c不全为零的意思是a,b,c中至少有一个不为0.
4.曲线,在点处的切线方程为()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】即,选C.
点睛:
(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点.
(2)利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解.
5.已知,则()
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
【解析】,选D.
6.函数在定义域内可导,导函数的图像如图所示,则函数的图像为()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】导函数先负后正,再负再正,因此对应函数先减后增,再减再增,选B.
7.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,两位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有()
A.1440种B.960种C.720种D.480种
【答案】A
【解析】试题分析:
可分3步.
第一步,排两端,∵从5名志愿者中选2名有种排法,
第二步,∵2位老人相邻,把2个老人看成整体,与剩下的3名志愿者全排列,有种排法
第三步,2名老人之间的排列,有种排法
最后,三步方法数相乘,共有20×24×2=960种排法
【考点】排列、组合及简单计数问题
8.从10名高三年级优秀学生中挑选3人担任校长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为()
A.85B.56C.49D.28
【答案】C
【解析】试题分析:
分两种情况:
第一种甲乙只有人入选,则有种,第二种甲乙都入选,有种,所以共有种方法,故选C.
【考点】组合的简单应用.
9.函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】试题分析:
因为,要使函数在区间上单调递增,则须即也就是在恒成立,所以,设,则在恒成立,所以在单调递增,从而,故选D.
【考点】函数的单调性与导数.
10.若,则()
A.20B.19C.D.
【答案】C
【解析】试题分析:
可得.故选C.
【考点】二项式系数的性质.
【方法点晴】本题从等式右边入手,右边是的展开式,所以把等式左边的两项凑成都含有,而是指的系数,的展开式通项为,令,得展开式中的系数为,展开式通项为,令,得展开式中系数为,所以.
11.设函数的定义域为D,若对于任意,当时,恒有,则称点为函数图象的对称中心.研究函数的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到的值为()
A.-4033B.4033C.8066D.-8066
【答案】D
【解析】由题意得,所以,,
所以,
,选D.
点睛:
在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时,要注意用好其与条件的相互关系,结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化,周期可实现自变量大小转化,单调性可实现去,即将函数值的大小转化自变量大小关系
12.直线分别与曲线,交于,则的最小值为()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】试题分析:
设A(,a),B(,a),则,
∴,
∴|AB|==,
令,则,
∴函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴x=1时,函数的最小值为,
【考点】函数的最值及其几何意义
二、填空题
13.设复数,则_____________.
【答案】.
【解析】试题分析:
因为,所以,故应填.
【考点】复数的基本概念及其运算.
14.函数在[-1,1]上的最小值__________.
【答案】1
【解析】,因此当时;当时;函数最小值为
15.的展开式的常数项是__________.
【答案】-12
【解析】常数项是
点睛:
求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项,再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第项,由特定项得出值,最后求出其参数.
16.若偶函数,当,满足,且,则的解集是.
【答案】
【解析】试题分析:
由得,因为,所以,设,则,所以时,,即在上单调递增,因为,所以时,,当时,,又是偶函数,则是奇函数,因此当时,也有,所以不等式的解集是.
【考点】导数与函数的单调性.构造法解函数不等式.
三、解答题
17.解方程:
(1)
(2)
【答案】
(1)
(2)
【解析】试题分析:
(1)由排列数定义得,解得
(2)由组合数性质得,即,,最后根据组合数定义得,解得
试题解析:
(1)
(2)
18.对于二项式(1-x)10,求:
(1)展开式的中间项是第几项?
写出这一项;
(2)求展开式中除常数项外,其余各项的系数和;
(3)写出展开式中系数最大的项.
【答案】
(1)中间项为第项,;
(2);(3)展开式中系数最大的项是第项和第项,,.
【解析】试题分析:
(1)确定中间项,再用二项式定理求出这一项;
(2)常数项为第一项,对进行赋值,求出其余项的和;(3)在中,中间项即第项二项式系数最大,第项的系数也是最大的.由于本题是,第项系数为负数,所以第项和第项系数最大.
试题解析:
(1)展开式共项,中间项为第项,
(2)设
令,得
令,得
(3)中间项的系数为负,
系数最大的项为和,,
【考点】利用二项式定理展开式的性质求有关系数.
19.已知在时有极大值,在时有极小值.
(Ⅰ)求,,的值;
(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(Ⅰ),,;(Ⅱ)当时,,当时,.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由已知可得函数的导函数为;由导数的几何意义及在时有极大值,在时有极小值可得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,并令f′(x)=0,这样方程的解将区间划分为几个区间,通过判断f′(x)在这几个区间上的符号,得到函数的增减性,从而得到在区间上的最大值和最小值.
试题解析:
解:
(Ⅰ)由条件知
….4分
(Ⅱ),
x
-3
(-3,-2)
-2
(-2,1)
1
(1,3)
3
+
0
-
0
+
↗
6
↘
↗
由上表知,在区间[-3,3]上,当时,,时,
【考点】导函数的几何意义;利用导数研究函数的最值.
20.观察下列方程,并回答问题:
①;②;③;④;…
(1)请你根据这列方程的特点写出第个方程;
(2)直接写出第2009个方程的根;
(3)说出这列方程的根的一个共同特点.
【答案】
(1)
(2)1,-2009.(3)方程的根共有两个,一个是1,一个是.
【解析】试题分析:
(1)根据方程特点:
二次项系数为1,一次项系数及常数项依次成等差数列,即第个方程为:
.
(2)由方程因式分解得第2009个方程的根为:
1,-2009.(3)这列方程的根一个是1,一个是.
试题解析:
(1)由已知方程:
①;
②;
③;
④;
归纳可得,第个方程为:
.
第2009个方程为:
,
此方程可化为:
,
故第2009个方程的根为:
1,-2009.
(3)这列方程的根共有两个,一个是1,一个是.
21.已知函数,(为实数),
(1)讨论函数的单调区间;
(2)求函数的极值;
(3)求证:
【答案】
(1)在上单调递增,在上单调递减
(2)在取得极大值,其极大值为.(3)详见解析
【解析】试题分析:
(1)求导数得到,然后讨论a的符号,从而可判断导数符号,这样即可求出每种情况下函数f(x)的单调区间;
(2)可先求出函数g(x)的定义域,然后求导,判断导数的符号,从而根据极值的概念求出函数g(x)的极值;(3)可知a=1时,f(x)在x=0处取得极小值,从而可得出,而由
(2)可知g(x)在x=1处取得极大值,也是最大值-1,这样即可得出lnx≤x-1<x,这样便可得出要证的结论
试题解析:
(1)由题意得
当时,恒成立,函数在R上单调递增,
当时,由可得,由可得,
故函数在上单调递增,在上单调递减.
(2)函数的定义域为,,
由可得;由,可得.
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
故函数在取得极大值,其极大值为.
⑶当时,,由
(1)知,在处取得极小值,也是最小值,且,故,得到.
由
(2)知,在处取得最大值,且,
故,得到.
综上.
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性
22.已知.
(1)对一切恒成立,求实数的取值范围;
(2)证明:
对一切,都有成立.
【答案】
(1)
(2)详见解析
【解析】试题分析:
(1)根据两个函数不等关系恒成立,先求出两个函数的最值,利用组织思想解答,注意看两个函数的最大值和最小值之间的关系,即可得到实数的取值范围;
(2)要证明不等式成立,问题等价于证明,又可知的最小值为,构造新函数的最小值是,构造新函数,得到结论.
试题解析:
(1),则,
设,则,
单调递减,②单调递增,
所以,对一切恒成立,所以;
(2)问题等价于证明,
由
(1)可知的最小值是,当且仅当时取到,
设,则,易知
,当且仅当时取到,
从而对一切,都有成立.
【考点】利用导数研究函数的单调性;用导数研究函数的最值.
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、用导数研究函数的极值与最值,同时考查了利用函数的最值解答函数的恒成立问题,其中解答的关键是构造新函数,利用新函数的性质,合理、灵活的作答,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用,本题的解答中,把要证明不等式成立,问题等价于证明,构造新函数的最小值是是解答的关键,属于中档试题.
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- 学年 山西省 怀仁县 第一 中学 下学 期中考试 学理 试题 解析