高中教育最新高中数学专题突破练3数据的数字特征用样本估计总体新人教A必修3.docx
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高中教育最新高中数学专题突破练3数据的数字特征用样本估计总体新人教A必修3
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【高中教育】最新高中数学专题突破练3数据的数字特征用样本估计总体新人教A必修3
______年______月______日
____________________部门
1.中心位置特征:
众数、中位数、平均数.
2.标准差、方差
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示.
其计算公式为
s=。
3.样本数据x1,x2,…,xn的标准差的算法
(1)算出样本数据的平均数x;
(2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差:
xi-x(i=1,2,…,n);(3)算出
(2)中xi-x(i=1,2,…,n)的平方;(4)算出(3)中n个平方数的平均数,即为样本方差;(5)算出(4)中平均数的算术平方根,即为样本标准差.
4.方差
从数学的角度考虑,人们有时用标准差的平方s2(即方差)来代替标准差,作为测量样本数据分散程度的工具:
s2=[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2].
例1 在生产过程中,测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据,将数据分组如下表:
分组
频数
频率
[1。
30,1。
34)
4
[1。
34,1。
38)
25
[1。
38,1。
42)
30
[1。
42,1。
46)
29
[1。
46,1。
50)
10
[1。
50,1。
54]
2
合计
100
(1)完成频率分布表,并画出频率分布直方图;
(2)估计纤度落在[1。
38,1。
50)内的可能性及纤度小于1。
42的可能性各是多少?
变式训练1 在某次法律知识竞赛中,将来自不同学校的学生的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图.已知成绩在60~70的学生有40人,则成绩在70~90的有______人.
例2 甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别是x甲,x乙,则下列正确的是( )
A。
x甲>x乙;乙比甲成绩稳定
B.x甲>x乙;甲比乙成绩稳定
C.x甲 D.x甲 变式训练2 为选拔运动员参加比赛,测得7名选手的身高(单位: cm),其茎叶图分布为: 记录的平均身高为177cm,有一名候选人的身高记录不清楚,其末位数字记为x,那么x的值为( ) A.5B.6C.7D.8 例3 甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件,现在从中各抽测10个,它们的尺寸(单位: mm)分别为: 甲: 10。 2 10。 1 10。 9 8。 9 9。 9 10。 3 9。 7 10 9.9 10。 1 乙: 10。 3 10。 4 9。 6 9。 9 10。 1 10 9。 8 9。 7 10.2 10 分别计算上面两个样本的平均数与标准差.如果图纸上的设计尺寸为10mm,从计算结果看,用哪台机床加工这种零件较合适. 变式训练3 某班40人随机平均分成两组,两组学生一次考试的成绩情况如下表: 求全班的平均成绩和标准差. A级 1.现从80件产品中随机抽出10件进行质量检验,下面说法正确的是( ) A.80件产品是总体B.10件产品是样本 C.样本容量是80D.样本容量是10 2.期中考试以后,班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M,如果把M当成一个同学的分数,与原来的40个分数一起,算出这41个分数的平均值为N,那么M∶N的值为( ) A。 B.1C。 D.2 3.有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11。 5,15。 5),2;[15。 5,19。 5),4;[19。 5,23。 5),9;[23。 5,27。 5),18;[27。 5,31。 5),11;[31。 5,35。 5),12;[35。 5,39。 5),7;[39。 5,43。 5),3;根据样本的频率分布估计,大于或等于31。 5的数据约占( ) A。 B。 C。 D。 4.在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的,且样本容量为160,则中间一组的频数为( ) A.32B.0。 2C.40D.0。 25 5.已知一组数据4。 7,4。 8,5。 1,5。 4,5。 5,则该组数据的方差是________. 6.若6个数的标准差为2,平均数为1,则此六数的平方和为________. 7.一组数据的方差为s2,将这组数据中的每个数据都扩大2倍,所得一组新数据的方差为________. B级 8.根据甲、乙两名篮球运动员某赛季9场比赛得分的茎叶图,可知( ) A。 甲运动员的成绩好,乙运动员发挥稳定 B.乙运动员的成绩好,甲运动员发挥稳定 C.甲运动员的成绩好,且发挥更稳定 D.乙运动员的成绩好,且发挥更稳定 9.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位: 小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17。 5,30],样本数据分组为[17。 5,20),[20,22。 5),[22。 5,25),[25,27。 5),[27。 5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22。 5小时的人数是( ) A.56B.60C.120D.140 10.将容量为n的样本中的数据分为6组,绘制频率分布直方图,若第一组至第六组的数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1,且前三组数据的频数之和为27,则n=______. 11.从甲、乙两个班中各随机选出15名同学进行随堂测验,成绩的茎叶图如图所示,则甲、乙两班的最高成绩分别是______,______.从图中看,________班的平均成绩较高. 12.由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为________.(从小到大排列) 13.某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品,称其重量,分别记录抽查数据如下: 甲: 102,101,99,98,103,98,99; 乙: 110,115,90,85,75,115,110。 (1)这种抽样方法是哪一种? (2)将两组数据用茎叶图表示; (3)将两组数据进行比较,说明哪个车间产品较稳定. 14.甲乙两位同学进行投篮比赛,每人玩5局.每局在指定线外投篮,若第一次不进,再投第二次,依此类推,但最多只能投6次.当投进时,该局结束,并记下投篮次数.当6投不进,该局也结束,记为“×”.当第一次投进得6分,第二次投进得5分,第三次投进得4分,依此类推.第6次不投进,得0分.两人投篮情况如下: 第1局 第2局 第3局 第4局 第5局 甲 5次 × 4次 5次 1次 乙 × 2次 4次 2次 × 请通过计算,判断哪个投篮的水平高? 专题3 数据的数字特征 用样本估计总体 典型例题 例1 解 (1)频率分布表如下: 分组 频数 频率 [1。 30,1。 34) 4 0。 04 [1。 34,1。 38) 25 0。 25 [1。 38,1。 42) 30 0。 30 [1。 42,1。 46) 29 0。 29 [1。 46,1。 50) 10 0。 10 [1。 50,1。 54] 2 0。 02 合计 100 1。 00 频率分布直方图如图所示. (2)纤度落在[1。 38,1。 50)的可能性即为纤度落在[1。 38,1。 50)的频率,即为0。 3+0。 29+0。 10=0。 69=69%。 纤度小于1。 42的可能性即为纤度小于1。 42的频率,即为0。 04+0。 25+0。 30=0。 59=59%。 变式训练1 25 解析 60~70的频率为0。 04×10=0。 4,设容量为x,则=0。 4,所以x=100,所以70~90之间的人数为100×(0。 015+0。 01)×10=25。 例2 C [从茎叶图可知,甲五次成绩中一次茎为8,一次茎为9,而乙五次成绩中,茎8和茎9各两次,故可知x甲<x乙,乙比甲成绩稳定.] 变式训练2 D [由茎叶图可知=7,解得x=8。 ] 例3 解 甲=(10。 2+10。 1+10。 9+8。 9+9。 9+10。 3+9。 7+10+9。 9+10。 1)=10(mm)。 乙=(10。 3+10。 4+9。 6+9。 9+10。 1+10+9。 8+9。 7+10。 2+10)=10(mm).s甲= ==0。 477(mm). s乙= ==0。 245(mm). ∵甲=乙=10,s甲>s乙,∴乙比甲稳定,用乙较合适. 变式训练3 解 设第一组20名学生的成绩为xi(i=1,2,…,20),第二组20名学生的成绩为yi(i=1,2,…,20),依题意有: =(x1+x2+…+x20)=90,=(y1+y2+…+y20)=80, 故全班平均成绩为: =(x1+x2+…+x20+y1+y2+…+y20) =(90×20+80×20)=85; 又设第一组学生成绩的标准差为s1,第二组学生成绩的标准差为s2,则s=(x+x+…+x-202), s=(y+y+…+y-202), (此处,=90,=80),又设全班40名学生的标准差为s,平均成绩为(=85), 故有s2=(x+x+…+x+y+y+…+y-402) =(20s+20s+202+202-402) =(62+42+902+802-2×852)=51。 所以s=。 强化提高 1.D [本题考查的对象是80件产品的质量,故总体是80件产品的质量;个体是1件产品的质量;样本是所抽取的10件产品的质量,故样本容量是10。 故选D。 ] 2.B [∵N==M,∴M∶N=1。 ] 3.B [根据所给的数据的分组和各组的频数知道,大于或等于31。 5的数据有[31。 5,35。 5),12;[35。 5,39。 5),7;[39。 5,43。 5),3,可以得到共有12+7+3=22,∵本组数据共有66个, ∴大于或等于31。 5的数据约占=,故选B。 ] 4.A [频率等于长方形的面积,所有长方形的面积和等于1,设中间长方形的面积等于S,则S=(1-S),S=,设中间一组的频数为x,则=,得x=32。 ] 5.0。 1 解析 ==5。 1,则方差s2=[(4。 7-5。 1)2+(4。 8-5。 1)2+(5。 1-5。 1)2+(5。 4-5。 1)2+(5。 5-5。 1)2]=0。 1。 6.30 解析 由s= =+x+…+x)-\o(x,\s\up6(-))2), 即2=+x+…+x)-1), 得x+x+…+x=30。 7.4s2 解析 根据题意可得,因为方差公式 s2=, 所以,s2==4s2。 8.C [由茎叶图可知,甲运动员的得分大部分集中在14~18分之间,而乙运动员的得分相对比较散且在低分区的较多,故甲篮球运动员比赛得分更稳定,甲运动员的成绩好.] 9.D [设所求人数为N,则N=2。 5×(0。 16+0。 08+0。 04)×200=140,故选D。 ] 10.60 解析 由已知,得×n=27,即×n=27,解得n=60。 11.96 92 乙 解析 由茎叶图可知,甲班的最高分是96,乙班的最高分是92。 甲班的成绩集中在(60,80)内,乙班的成绩集中在(70,90)内,故乙班的平均成绩较高. 12.1,1,3,3 解析 假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1,x2,x3,x4, 则 ∴ 又s= = ==1, ∴(x1-2)2+(x2-2)2=2, 同理可求得(x3-2)2+(x4-2)2=2, 由x1,x2,x3,x4均为正整数,且(x1,x2),(x3,x4)均为圆(x-2)2+(y-2)2=2上的点, 分析知x1,x2,x3,x4应为1,1,3,3。 13.解 (1)根据系统抽样的定义可知,每隔30分钟抽取一包产品,抽取的时间间隔相同,满足系统抽样的定义, ∴这种抽样方法是系统抽样. (2)将两组数据用茎叶图表示如图: (3)甲的平均数为(102+101+99+98+103+98+99)=100。 乙的平均数为(110+115+90+85+75+115+110)=100。 由茎叶图中的数据可知甲的成绩主要集中在90和100附近,乙的成绩比较分散,∴甲比乙稳定. 14.解 依题意,甲乙得分情况如下表: 第1局 第2局 第3局 第4局 第5局 甲 2 0 3 2 6 乙 0 5 3 5 0 因为甲得分平均数=2。 6,乙得分平均数=2。 6,甲得分的标准差≈1。 96,乙得分的标准差≈2。 24,所以,甲得分平均数=乙得分平均数,甲得分的标准差<乙得分的标准差,故甲投篮的水平高.
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