河北省届中考数学一轮复习讲义1第一节多边形.docx
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河北省届中考数学一轮复习讲义1第一节多边形
第五章四边形
第一节多边形
基础过关
1.(2019河北省二模)下列图形中,内角和与外角和相等的多边形是()
2.(2019甘肃省卷)如图,足球图片正中的黑色正五边形的内角和是()
A.180° B.360° C.540° D.720°
第2题图
3.(2019福建)已知正多边形的一个外角等于36°,则该正多边形的边数为()
A.12B.10C.8D.6
4.(2019河池)如图,在正六边形ABCDEF中,AC=2
,则它的边长是()
A.1B.
C.
D.2
第4题图
5.如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP、CP分别平分∠EDC,∠BCD,则∠P的度数是()
A.60°B.65°C.55°D.50°
第5题图
6.(2019石家庄新华区质量检测)如图,将正五边形ABCDE沿逆时针方向绕其顶点A旋转,若使点B落在AE边所在的直线上,则旋转的角度可以是()
A.72°B.54°C.45°D.36°
第6题图
7.(2019保定高阳县演练)两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,其摆放方式如图所示,则∠AOB=()
A.36°B.72°C.108°D.144°
第7题图
8.正方形ABCD与正五边形EFGHM的边长相等,初始位置如图所示.将正方形绕点F顺时针旋转使得BC与FG重合,再将正方形绕点G顺时针旋转使得CD与GH重合,…,按这样的方式将正方形依次绕点H,M,E旋转后,正方形中与EF重合的边是()
A.ABB.BCC.CDD.DA
第8题图
9.(2019廊坊安次区二模)把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合,按照如图所示的方式叠放在一起,延长LG交AF于点P,则∠APG=()
A.141°B.144°C.147°D.150°
第9题图
10.(2018廊坊三中一模)一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为2520°,则原多边形的边数是()
A.17B.16
C.15D.15或16或17
11.如图,线段AB是正八边形的一边,在正八边形的外部以AB为边作正六边形,点C、D分别为正八边形与正六边形的中心,则∠CAD的度数为()
A.120°B.125°C.127.5°D.130°
第11题图
12.(2019河北中考说明)在地面上,某一点周围有a个正三角形、b个正十二边形(a,b均不为0)恰能铺满地面,则a+b=______.
13.(2019宜宾)如图,六边形ABCDEF的内角都相等,AD∥BC,则∠DAB=________°.
第13题图
14.(2019株洲)如图所示,过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P,且∠ABP=60°,则∠APB=______度.
第14题图
15.(2019石家庄十八县联考二)如图,含30°角的直角三角板的直角边AC,BC分别经过正八边形的两个顶点,则图中∠1+∠2=________.
第15题图
16.(人教九上P108习题24.3T5改编)如图,要拧开一个边长a=12mm的六角形螺帽,扳手张开的开口b至少为________mm.
第16题图
17.(2019徐州)如图,A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点,若O为正多边形的中心,则∠OAD=________°.
第17题图
18.如图,正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′,旋转角为α(0°≤α≤90°),若DE⊥B′C′,则α=________°.
第18题图
能力提升
1.(2019邢台二模)如图,点P、M、N分别是边长为2的正六边形中不相邻三条边的中点,则△PMN的周长为()
A.6B.6
C.6
D.9
第1题图
2.如图,正六边形ABCDEF的边长为3,点P是边BC上任意一点,过点P作PM∥AB交AF于点M,作PN∥CD交DE于点N,则PM+PN=()
A.6B.9C.12D.无法确定
第2题图
满分冲关
1.(2019河北中考说明)如图,点M,N分别是正八边形相邻的边AB,BC上的点,且AM=BN,点O是正八边形的中心,则∠MON=________°.
第1题图
2.(2019石家庄长安区质量检测)如图,将边长为2的正五边形ABCDE沿对角线BE折叠,使点A落在正五边形内部的点A′处,则B,A′和D三点______同一条直线上(填“在”或者“不在”);点A′和D之间的距离是________.
第2题图
3.(2019河北省二模)已知正多边形每个内角比相邻外角大60°.
(1)求这个正多边形的边数;
(2)求这个正多边形的内切圆与外接圆的半径之比;
(3)将这个正多边形对折,并完全重合,求所得图形的内角和(按一层计算).
参考答案
第一节多边形
基础过关
1.B 【解析】设多边形的边数是n,则(n-2)·180°=360°,解得n=4,故选B.
2.C 【解析】根据多边形的内角和公式,正五边形的内角和为180°×(5-2)=540°,故选C.
3.B 【解析】n=
=10,故选B.
4.D 【解析】如解图,过点B作BH⊥AC,交AC于点H,∵多边形ABCDEF为正六边形,∴AB=BC,∠ABC=120°,∴∠ABH=60°,AH=CH=
AC=
.在Rt△ABH中,AB=
=
=2.
第4题解图
5.A 【解析】由多边形内角和公式(n-2)×180°可得五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,∵∠A+∠B+∠E=300°,∴∠EDC+∠BCD=240°,∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD,∴∠PDC+∠PCD=
(∠EDC+∠BCD)=120°,∴∠P=60°.
6.A 【解析】如解图所示,易得正五边形的内角和为540°.在正五边形ABCDE中,∠BAE=
=108°,∴∠BAF=180°-108°=72°,即若使点B落在AE边所在的直线上,则旋转的角度可以是72°.
第6题解图
7.C 【解析】如解图,∵正五边形的每个外角是360°÷5=72°,∴∠OCD=∠ODC=72°,∴∠COD=36°,又∵正五边形每个内角是108°,∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.
第7题解图
8.B 【解析】∵正方形ABCD与正五边形EFGHM的边长相等,∴从BC与FG重合开始,正方形ABCD的各边依次与正五边形EFGHM的各边重合,而与EF重合是正方形的边与正五边形的边第五次重合,∴正方形中与EF重合的边是BC.
9.B 【解析】如解图,过点G作直线MN⊥CD于点N,由正多边形的轴对称性可知∠LGN=
∠HGL=108°÷2=54°,∴∠PGM=∠NGL=54°,∵由正六边形的性质知AF∥CD,MN⊥CD,∴MN⊥AF,即∠PMG=90°,∴∠APG=90°+54°=144°.
第9题解图
10.D 【解析】多边形的内角和可以表示成(n-2)·180°(n≥3且n是整数),一个多边形截去一个角后,多边形的边数可能增加了一条,也可能不变或减少了一条,根据(n-2)·180°=2520°,解得n=16,则原多边形的边数是15或16或17.
11.C 【解析】∵∠CAB=
×
=67.5°,∠DAB=
×
=60°,
∴∠CAD=∠CAB+∠DAB
=67.5°+60°=127.5°.
12.3
13.60 【解析】六边形的内角和为180°×(6-2)=720°,∴∠B=
=120°.∵AD∥BC,∴∠DAB=180°-∠B=180°-120°=60°.14.66 【解析】∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠EAB=(5-2)×180°÷5=108°.∵AP是∠EAB的平分线,∴∠PAB=
∠EAB=54°.∵∠ABP=60°,∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=66°.
15.180° 【解析】∵正八边形的每个内角为
=135°,三角形为直角三角形,∴∠1+∠2=2×135°-90°=180°.
16.12
【解析】如解图,设正六边形的中心是O,其一边是AB,∴∠AOB=∠BOC=60°,∴OA=OB=AB=OC=BC,∴四边形ABCO是菱形,∵AB=12mm,∠AOB=60°,且cos∠BAC=
,∴AM=12×
=6
mm,∵OA=OC,且∠AOB=∠BOC,∴AM=MC=
AC,∴AC=2AM=12
mm.
第16题解图
17.30 【解析】如解图,连接OB,OC,∵在正多边形中,中心角与多边形的外角相等,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=40°.∴∠AOD=120°.又∵OA=OD,∴在△AOD中,∠OAD=∠ODA=(180°-120°)÷2=30°.
第17题解图
18.54 【解析】如解图,设DE与B′C′相交于O点,∵五边形ABCDE为正五边形,∴∠B=∠BAE=∠E=
=108°,∵正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′,旋转角为α(0°≤α≤90°),∴∠BAB′=α,∠B′=∠B=108°,∵DE⊥B′C′,∴∠B′OE=90°,∴∠B′AE=360°-∠B′-∠E-∠B′OE=360°-108°-108°-90°=54°,∴∠BAB′=∠BAE-∠B′AE=108°-54°=54°,∴α=54°.
第18题解图
能力提升
1.D 【解析】如解图所示,延长FA、CB交于点K.在正六边形ABCDEF中,∠FAB=∠CBA=120°.∴∠KAB=∠KBA=60°.∴△KAB是等边三角形.∴∠K=60°.∵M、N分别为FA、BC的中点,∴AM=BN=1.又∵AK=BK,∴MK=NK.又∵∠K=60°,∴△KMN是等边三角形,∴∠AMN=60°.过点A作AG⊥MN,过点B作BH⊥MN,垂足分别为G、H.∴∠MAG=30°.∴MG=
AM=
.同理得HN=
.∵∠MAB=120°,∠MAG=30°,∴∠GAB=∠AGH=∠BHG=90°.∴四边形ABHG是矩形.∴GH=AB=2.∴MN=MG+GH+HN=
+2+
=3.∴△PMN的周长为3MN=9.
第1题解图
2.B 【解析】如解图,连接AD交PM于点G,交PN于点H,∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠FAB=∠ABP=∠BCD=∠CDE=120°,AB=BC=CD.∴∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=60°.∴∠BAD+∠ABC=180°.∴AD∥BC.∵PM∥AB,∴四边形ABPG是平行四边形.∴AG=BP,PG=AB,∠MGA=∠GPB=∠BAG=60°.∴△MAG是等边三角形,∴MG=AG.同理得四边形PCDH是平行四边形,PH=CD,PC=HD,△HND是等边三角形,NH=HD.∴MG+HN=BP+PC=BC=AB,∴PM+PN=PG+PH+MG+HN=3AB=9.
第2题解图
满分冲关
1.45 【解析】如解图,连接OA、OB、OC,∵正八边形是中心对称图形,∴中心角为360°÷8=45°.∴∠OAM=∠OBN=
=67.5°.在△OAM和△OBN中,
∴△OAM≌△OBN(SAS).∴∠AOM=∠BON.∴∠MOB=∠NOC.∵∠AOC=∠AOM+∠MOB+∠BON+∠NOC=90°,∴∠MON=∠MOB+∠NOB=
(∠AOM+∠MOB+∠NOB+∠NOC)=
∠AOC=45°.
第1题解图
2.在;
-1 【解析】∵在△AEB中,AE=AB,∠EAB=
=108°,∴∠AEB=∠ABE=36°.由折叠的性质可知∠BEA′=∠EBA′=36°.∴∠DEA′=108°-∠AEB-∠A′EB=36°.∵∠EA′B=∠A=108°,AE=A′E=DE,∴∠EA′D=
=72°,∵∠EA′D+∠EA′B=72°+108°=180°,∴B、A′、D三点共线.设A′D=x,∵∠EDA′=∠BDE,∠DEA′=∠DBE=36°,∴△DEA′∽△DBE.∴
=
.即
=
,解得x=
-1(负值舍去).∴点A′和D之间的距离是
-1.
3.解:
(1)设这个正多边形的每个外角的度数为x,则每个内角为x+60°,
∴x+x+60°=180°.
∴x=60°.
∴这个正多边形的边数=360°÷60°=6.
故这个正多边形的边数是6;
(2)如解图①,r为内切圆半径,正多边形的边长为a,∴外接圆的半径为a.
∴r=
=
.
∴
=
.
∴这个正多边形的内切圆和外接圆的半径之比为
∶2;
第3题解图①
(3)如解图②,当沿过两个端点的对称轴所在的直线折叠时,得到的图形是四边形,内角和是(4-2)×180°=360°;
如解图③,当沿对边中点所在的直线折叠时,得到的图形是五边形,内角和是(5-2)×180°=540°.
第3题解图
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