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5导数及其应用
导数及其应用
第1课 导数的概念及运算
【范例导析】
例1.下列函数的导数:
①②③
分析:
利用导数的四则运算求导数。
解:
①法一:
∴
法二:
=+
②
∴
③e-x(cosx+sinx)+e-x(-sinx+cosx)2e-xcosx,
点评:
利用基本函数的导数、导数的运算法则及复合函数的求导法则进行导数运算,是高考对导数考查的基本要求。
例2.如果曲线的某一切线与直线平行,求切点坐标与切线方程.
分析:
本题重在理解导数的几何意义:
曲线在给定点处的切线的斜率,用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。
解:
切线与直线平行,斜率为4
又切线在点的斜率为
∵∴
∴或
∴切点为(1,-8)或(-1,-12)
切线方程为或即或
变题:
求曲线的过点的切线方程。
答案:
点评:
本题中“过点的切线”与“在点的切线”的含义是不同的,后者是以为切点,只有一条切线,而前者不一定以为切点,切线也不一定只有一条,所以要先设切点,然后求出切点坐标,再解决问题。
【反馈演练】
1.一物体做直线运动的方程为,的单位是的单位是,该物体在3秒末的瞬时速度是。
2.设生产个单位产品的总成本函数是,则生产8个单位产品时,边际成本是2。
3.已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为
(1)。
(1)f(x)=(x-1)2+3(x-1)
(2)f(x)=2(x-1)
(3)f(x)=2(x-1)2(4)f(x)=x-1
4.若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为。
5.在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是3。
6.过点(0,-4)与曲线y=x3+x-2相切的直线方程是y=4x-4.
7.求下列函数的导数:
(1)y=(2x2-1)(3x+1)
(2)(3)
(4)(5)(6)
解:
(1),
(2);
(3),(4);
(5),(6).
8已知直线为曲线在点处的切线,为该曲线的另一条切线,且
(Ⅰ)求直线的方程;
(Ⅱ)求由直线,和轴所围成的三角形的面积
解:
设直线的斜率为,直线的斜率为,
,由题意得,得直线的方程为
与该曲线的切点坐标为由直线方程的点斜式得直线的方程为:
(Ⅱ)由直线的方程为,令
由直线的方程为,令
由得:
设由直线,和轴所围成的三角形的面积为S,则:
第2课 导数的应用A
【考点导读】
1.通过数形结合的方法直观了解函数的单调性与导数的关系,能熟练利用导数研究函数的单调性;会求某些简单函数的单调区间。
2.结合函数的图象,了解函数的极大(小)值、最大(小)值与导数的关系;会求简单多项式函数的极大(小)值,以及在指定区间上的最大(小)值。
【基础练习】
1.若函数是上的单调函数,则应满足的条件是。
2.函数在[0,3]上的最大值、最小值分别是5,-15。
3.用导数确定函数的单调减区间是。
4.函数的最大值是,最小值是。
5.函数的单调递增区间是(-∞,-2)与(0,+∞)。
【范例导析】
例1.在区间上的最大值是2。
解:
当-1x0时,0,当0x1时,0,
所以当x=0时,f(x)取得最大值为2。
点评:
用导数求极值或最值时要掌握一般方法,导数为0的点是否是极值点还取决与该点两侧的单调性,导数为0的点未必都是极值点,如:
函数。
例2.求下列函数单调区间:
(1)
(2)
(3)(4)
解:
(1)∵∴时
∴,
(2)∴,
(3)
∴,
∴,,
(4)
定义域为
点评:
熟练掌握单调性的求法,函数的单调性是解决函数的极值、最值问题的基础。
例3.设函数f(x)=
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)讨论f(x)的极值。
解:
由已知得,令,解得。
(Ⅰ)当时,,在上单调递增;
当时,,
随的变化情况如下表:
0
+
0
0
极大值
极小值
从上表可知,函数在上单调递增;在上单调递减;在上单调递增。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,函数没有极值;
当时,函数在处取得极大值,在处取得极小值。
点评:
本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力。
【反馈演练】
1.关于函数,下列说法不正确的是(4)。
(1)在区间(,0)内,为增函数
(2)在区间(0,2)内,为减函数
(3)在区间(2,)内,为增函数(4)在区间(,0)内,为增函数
2.对任意x,有,,则此函数为。
3.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是5,-15。
4.下列函数中,是极值点的函数是
(2)。
(1)
(2)(3)(4)
5.下列说法正确的是(4)。
(1)函数的极大值就是函数的最大值
(2)函数的极小值就是函数的最小值
(3)函数的最值一定是极值(4)在闭区间上的连续函数一定存在最值
6.函数的单调减区间是[0,2]。
7.求满足条件的的范围:
(1)使为上增函数;
(2)使为上的增函数;(3)使为上的增函数。
解:
(1)∵由题意可知:
对都成立∴
又当时也符合条件∴
(2)同上(3)同上
8.已知函数(x>0)在x=1处取得极值,其中为常数。
(1)试确定的值;
(2)讨论函数f(x)的单调区间。
解:
(I)由题意知,因此,从而.
又对求导得.
由题意,因此,解得.
(II)由(I)知(),令,解得.
当时,,此时为减函数;当时,,此时为增函数.
因此的单调递减区间为,而的单调递增区间为.
第3课 导数的应用B
【考点导读】
1.深化导数在函数、不等式、解析几何等问题中的综合应用,加强导数的应用意识。
2.利用导数解决实际生活中的一些问题,进一步加深对导数本质的理解,逐步提高分析问题、探索问题以及解决实际应用问题等各种综合能力。
【基础练习】
1.若是在内的可导的偶函数,且不恒为零,则关于下列说法正确的是(4)。
(1)必定是内的偶函数
(2)必定是内的奇函数
(3)必定是内的非奇非偶函数(4)可能是奇函数,也可能是偶函数
2.是的导函数,的图象如右图所示,则的图象只可能是(4)。
(1)
(2)(3)(4)
3.若,曲线与直线在上的不同交点的个数有至多1个。
4.把长为的铁丝围成矩形,要使矩形的面积最大,则长为,宽为。
【范例导析】
例1.函数,过曲线上的点的切线方程为
(1)若在时有极值,求f(x)的表达式;
(2)在
(1)的条件下,求在上最大值;
(3)若函数在区间上单调递增,求b的取值范围
解:
(1)
(2)
x
-2
+
0
-
0
+
极大
极小
上最大值为13
(3)上单调递增
又
依题意上恒成立.
①在
②在
③在
综合上述讨论可知,所求参数b取值范围是:
b≥0。
点评:
本题把导数的几何意义与单调性、极值和最值结合起来,属于函数的综合应用题。
例2.请您设计一个帐篷。
它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。
试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时,帐篷的体积最大?
分析:
本题应该先建立模型,再求体积的最大值。
选择适当的变量很关键,设的长度会比较简便。
解:
设,则由题设可得正六棱锥底面边长为(单位:
m)。
于是底面正六边形的面积为(单位:
m2):
。
帐篷的体积为(单位:
m3):
求导数,得;
令解得x=-2(不合题意,舍去),x=2。
当1 所以当x=2时,V(x)最大。 答: 当OO1为2m时,帐篷的体积最大。 点评: 本题是结合空间几何体的体积求最值,加深理解导数的工具作用,主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力。 【反馈演练】 1.设是函数的导函数,将和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是图4。 2.已知二次函数的导数为,,对于任意实数都有,则的最小值为。 3.若,则下列命题正确的是(3). (1) (2)(3)(4) 4.函数的单调递增区间是. 5.已知函数的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为. (Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间. 解: (Ⅰ)由f(x)的图象经过P(0,2),知d=2, 所以 由在M(-1,f(-1))处的切线方程是,知 故所求的解析式是 (Ⅱ) 解得 当 当 故内是增函数,在内是减函数,在内是增函数. 点评: 本题考查函数的单调性、导数的应用等知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 6.如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为,短半轴长为,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底是半椭圆的短轴,上底的端点在椭圆上,记,梯形面积为. (I)求面积以为自变量的函数式,并写出其定义域; (II)求面积的最大值. 解: (I)依题意,以的中点为原点建立直角坐标系(如图), 则点的横坐标为.点的纵坐标满足方程, 解得 所以 ,其定义域为. (II)记,则. 令,得.因为当时,;当时,, 所以在上是单调递增函数,在上是单调递减函数, 所以是的最大值. 因此,当时,也取得最大值,最大值为. 即梯形面积的最大值为. 7.设函数. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若对恒成立,求实数的取值范围. 解: (Ⅰ), 当时,取最小值,即. (Ⅱ)令, 由得,(不合题意,舍去). 当变化时,的变化情况如下表: 递增 极大值 递减 在内有最大值. 在内恒成立等价于在内恒成立, 即等价于,所以的取值范围为. 点评: 本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用,考查运用数学知识分析问题解决问题的能力. 8.设函数,若当时,取得极值,求的值,并讨论的单调性. 解: ,依题意有,故. 从而.的定义域为, 当时,;当时,;当时,. 从而,分别在区间单调增加,在区间单调减少.
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- 导数 及其 应用