高考数学考点解读命题热点突破专题10 数列等差数列等比数列 理.docx
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高考数学考点解读命题热点突破专题10数列等差数列等比数列理
数列、等差数列﹑等比数列
【考向解读】
1.高考侧重于考查等差、等比数列的通项an,前n项和Sn的基本运算,另外等差、等比数列的性质也是高考的热点.
2.备考时应切实理解等差、等比数列的概念,加强五个量的基本运算,强化性质的应用意识.
3.等差数列、等比数列是高考的必考点,经常以一个选择题或一个填空题,再加一个解答题的形式考查,题目难度可大可小,有时为中档题,有时解答题难度较大.解决这类问题的关键是熟练掌握基本量,即通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的常用性质.
【命题热点突破一】等差、等比数列的基本计算
例1、【2016年高考北京理数】已知为等差数列,为其前项和,若,,则_______..
【答案】6
【解析】∵是等差数列,∴,,,,
∴,故填:
6.
【感悟提升】涉及求等差、等比数列的通项、某一项问题时,常用到等差、等比数列的基本性质.等差数列{an}中,m+n=p+q⇒am+an=ap+aq,m+n=2p⇒am+an=2ap;等比数列{an}中,m+n=p+q⇒aman=apaq,m+n=2p⇒aman=a.
【变式探究】在等比数列{an}中,a1=2,前n项和为Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则Sn等于( )
A.2n+1-2B.3n
C.2nD.3n-1
【答案】C
【命题热点突破二】等差、等比数列的判断与证明
已知数列{an}的各项均为正数,且a1=1,an+1an+an+1-an=0(n∈N*).
(1)设bn=,求证:
数列{bn}是等差数列;
(2)求数列的前n项和Sn.
【解析】解:
(1)证明:
因为an+1an+an+1-an=0(n∈N*),
所以bn+1-bn=-=-=1,
又b1==1,所以数列是首项为1,公差为1的等差数列.
(2)由
(1)知bn=n,所以an=.
令cn=,则cn==-,Sn=c1+c2+…+cn=++…+=1-=.
【感悟提升】等差数列的判定与证明有以下四种方法:
①定义法,即an-an-1=d(d为常数,n∈N*,n≥2)⇔{an}为等差数列;②等差中项法,即2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}为等差数列;③通项公式法,即an=an+b(a,b是常数,n∈N*)⇔{an}为等差数列;④前n项和公式法,即Sn=an2+bn(a,b是常数,n∈N*)⇔{an}为等差数列.等比数列的判定与证明有以下三种方法:
①定义法,即=q(q为常数且q≠0,n∈N*,n≥2)⇔{an}为等比数列;②等比中项法,即a=anan+2(an≠0,n∈N*)⇔{an}为等比数列;③通项公式法,即an=a1qn-1(其中a1,q为非零常数,n∈N*)⇔{an}为等比数列.
【变式探究】若{an}是各项均不为零的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足a=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=,Tn为数列{bn}的前n项和.
(1)求an和Tn.
(2)是否存在正整数m,n(1 若存在,求出所有m,n的值;若不存在,请说明理由. (2)假设存在正整数m,n(1 ∵T1·Tn==<, ∴T==<, ∴2m2-4m-1<0,∴1-<m<1+,又∵m∈N且m>1, ∴m=2,则T=.令T1·Tn==,得n=12, ∴当且仅当m=2,n=12时,T1,Tm,Tn成等比数列. 【命题热点突破三】 数列中an与Sn的关系问题 例3、【2016高考江苏卷】已知是等差数列,是其前项和.若,则的值是▲. 【答案】 【解析】由得,因此 【感悟提升】数列{an}中,an与Sn的关系为: 当n≥2时,an=Sn-Sn-1(*),当n=1时,a1=S1.若a1=S1满足(*),则an=Sn-Sn-1(n∈N*);若a1=S1不满足(*),则an= 【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足4(n+1)·(Sn+1)=(n+2)2an,则数列{an}的通项公式为( ) A.(n+1)3B.(2n+1)2 C.8n2D.(2n+1)2-1 【答案】A 【解析】当n=1时,4×(1+1)×(a1+1)=(1+2)2a1,解得a1=8.当n≥2时,4(Sn+1)=,4(Sn-1+1)=,两式相减,得4an=-,即=,所以an=··…··a1=××…××8=(n+1)3.检验知n=1也符合该式,所以an=(n+1)3. 【命题热点突破四】等差数列与等比数列的综合 例4、已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列. (1)求q的值和{an}的通项公式; (2)设bn=,n∈N*,求数列{bn}的前n项和. (2)由 (1)得bn==. 设{bn}的前n项和为Sn,则 Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×, Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×, 上述两式相减,得 Sn=1+++…+-=-=2--, 整理得,Sn=4-. 所以数列{bn}的前n项和为4-,n∈N*. 【感悟提升】在等差数列、等比数列的综合问题中,通过列方程(组)求基本量是基本而重要的方法.在数列的最值问题中,如果使用函数的方法,要充分考虑数列中的自变量是正整数. 【变式探究】已知等比数列的首项a1=2,公比q>1,且an,an+1,an+2成等差数列(n∈N*). (1)求数列的通项公式; (2)记bn=nan,数列的前n项和为Sn,若(n-1)2≤m(Sn-n-1)对于n≥2,n∈N*恒成立,求实数m的取值范围. 【解析】解: (1)由an,an+1,an+2成等差数列,可得an+an+2=an+1. 又是等比数列,所以an+q2an=qan,又因为an≠0,所以2q2-5q+2=0, 因为q>1,所以q=2. 又a1=2,所以数列的通项公式为an=2n. (2)因为bn=nan=n·2n,所以Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n, 2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1, 所以Sn=-(2+22+23+…+2n-n·2n+1)=-(-n·2n+1)=(n-1)·2n+1+2. 因为(n-1)2≤m(Sn-n-1)对于n≥2,n∈N*恒成立,所以 (n-1)2≤m[(n-1)·2n+1+2-n-1]恒成立,即(n-1)2≤m(n-1)(2n+1-1)恒成立, 于是问题转化为m≥对于n≥2,n∈N*恒成立. 令f(n)=,n≥2,则f(n+1)-f(n)=-=<0, 所以当n≥2,n∈N*时,f(n+1) 则f(n)≤f (2)=, 所以m≥. 故实数m的取值范围为. 【高考真题解读】 1.【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,,则() (A)100(B)99(C)98(D)97 【答案】C 【解析】由已知,所以故选C. 2【2016高考浙江理数】如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且,, ().若() A.是等差数列B.是等差数列 C.是等差数列D.是等差数列 【答案】A 3.【2016年高考北京理数】已知为等差数列,为其前项和,若,,则_______.. 【答案】6 【解析】∵是等差数列,∴,,,, ∴,故填: 6. 4.【2016高考江苏卷】已知是等差数列,是其前项和.若,则的值是▲. 【答案】 【解析】由得,因此 5、【2016高考新课标1卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为. 【答案】64 【解析】设等比数列的公比为,由得,解得.所以,于是当或时,取得最大值. 6.【2016高考江苏卷】(本小题满分16分) 记.对数列和的子集T,若,定义;若,定义.例如: 时,.现设是公比为3的等比数列,且当时,. (1)求数列的通项公式; (2)对任意正整数,若,求证: ; (3)设,求证: . 【答案】 (1) (2)详见解析(3)详见解析 【解析】 (1)由已知得. 于是当时,. 又,故,即. 所以数列的通项公式为. (2)因为,, 所以. 因此,. (3)下面分三种情况证明. ①若是的子集,则. ②若是的子集,则. ③若不是的子集,且不是的子集. 令,则,,. 于是,,进而由,得. 设是中的最大数,为中的最大数,则. 由 (2)知,,于是,所以,即. 又,故, 从而, 故,所以, 即. 综合①②③得,. 1.【2015高考重庆,理2】在等差数列中,若=4,=2,则= ( ) A、-1B、0C、1D、6 【答案】B 【解析】由等差数列的性质得,选B. 2.【2015高考福建,理8】若是函数的两个不同的零点,且这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则的值等于() A.6B.7C.8D.9 【答案】D 【解析】由韦达定理得,,则,当适当排序后成等比数列时,必为等比中项,故,.当适当排序后成等差数列时,必不是等差中项,当是等差中项时,,解得,;当是等差中项时,,解得,,综上所述,,所以,选D. 3.【2015高考北京,理6】设是等差数列.下列结论中正确的是() A.若,则B.若,则 C.若,则D.若,则 【答案】C 4.【2015高考新课标2,理16】设是数列的前n项和,且,,则________. 【答案】 【解析】由已知得,两边同时除以,得,故数列是以为首项,为公差的等差数列,则,所以. 5.【2015高考广东,理10】在等差数列中,若,则=. 【答案】10. 【解析】因为是等差数列,所以,即,所以,故应填入. 6.【2015高考陕西,理13】中位数1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为. 【答案】5 【解析】设数列的首项为,则,所以,故该数列的首项为,所以答案应填: 5. 7.【2015高考浙江,理3】已知是等差数列,公差不为零,前项和是,若,,成等比数列,则() A.B.C.D. 【答案】B. 【解析】∵等差数列,,,成等比数列,∴, ∴,∴,,故选B. 8.【2015高考安徽,理14】已知数列是递增的等比数列,,则数列的前项和等于. 【答案】 9.【2014高考北京版理第5题】设是公比为的等比数列,则“”是“为递增数列”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】对等比数列,若,则当时数列是递减数列;若数列是递增数列,则满足且,故当“”是”数列为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C. 10.【2014高考福建卷第3题】等差数列的前项和,若,则() 【答案】C 【解析】假设公差为,依题意可得.所以.故选C.
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