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进位制教案
1.3算法案例
第2课时 进位制
●三维目标
1.知识与技能
了解各种进位制与十进制之间转换的规律,会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换.
2.过程与方法
学习各种进位制转换成十进制的计算方法,研究十进制转换为各种进位制的除k去余法,并理解其中的数学规律.
3.情感、态度与价值观
领悟十进制,二进制的特点,了解计算机的电路与二进制的联系,进一步认识到计算机与数学的联系.
●重点难点
重点:
各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换.
难点:
除k去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计.
课标解读
1.了解进位制的概念.(重点)
2.掌握不同进位制之间的相互转化.(难点)
进位制的概念
【问题导思】
十进制使用0~9十个数字,那么二进制使用哪些数字?
六进制呢?
【提示】 二进制使用0~1两个数字,六进制使用0~5六个数字.
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统,“满几进一”就是几进制,几进制的基数就是几.
进位制之间的相互转化
【问题导思】
二进制数110011
(2)化为十进制数是多少?
【提示】 110011
(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=51.
k进制化为十进制的方法
an·an-1·an-2……a0(k)=an×kn+an-1×kn-1+…a1k+a0.
k进制转化为十进制
将二进制数101101
(2)化为十进制数.
【思路探究】 按二进制化十进制的方法,写成不同位上的数乘以基数的幂的形式,再相加求和.
【自主解答】 101101
(2)=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20=32+8+4+1=45.
一个k进制的正整数就是各位数码与k的方幂的乘积的和,其中幂指数等于相应数码所在位数(从右往左数)减1,再按照十进制数的运算法则计算出结果.
例如:
230451(k)=2×k5+3×k4+0×k3+4×k2+5×k1+1×k0.
将下列各数化成十进制数.
(1)11001000
(2);
(2)310(8).
【解】
(1)11001000
(2)=1×27+1×26+0×25+0×24+1×23+0×22+0×21+0×20=200;
(2)310(8)=3×82+1×81+0×80=200.
十进制转化为k进制
(1)将194化成八进制数;
(2)将48化成二进制数.
【思路探究】 除k取余→倒序写出→标明基数
【自主解答】
(1)
∴194化为八进制数为302(8).
(2)
∴48化为二进制数为110000
(2).
1.将十进制化成k进制的方法:
用除k取余法,用k连续去除十进制数所得的商,直到商为零为止,然后将各步所得的余数倒序写出,即为相应的k进制数,切忌将余数顺序写反.
2.为了区分不同的进位制,常在数的右下角标明基数.十进制数一般不标注基数.
将十进制数30化为二进制数.
【解】
∴30(10)=11110
(2).
不同进位制之间的转化
将七进制数235(7)转化为八进制数.
【思路探究】 七进制→十进制→八进制
【自主解答】 235(7)=2×72+3×71+5×70=124,
利用除8取余法(如图所示).
∴124=174(8),
∴235(7)转化为八进制为174(8).
1.本题在书写八进制数174(8)时,常因漏掉右下标(8)而致误.
2.对于非十进制数之间的互化,常以“十进制数”为中间桥梁,用除k取余法实现转化.
将二进制数1010101
(2)化为十进制数结果为________;再将该数化为八进制数结果为________.
【解析】 1010101
(2)=1×26+0×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20=85.
∴85化为八进制数为125(8).
【答案】 85 125(8)
用“除k取余法”将十进制数化为k进制数时易犯书写顺序错误
设m是一个四位五进制数,若把m的最大值转化为九进制数应是多少?
【错解】 五进制数的每一位数字都小于5,故当各位数字都取4时m最大,所以m的最大值为4444(5).
因为4444(5)=4×54+4×53+4×52+4×51=3120.
而3120=9×346+6,
346=9×38+4,
38=9×4+2,
所以4444(5)=642(9).
【错因分析】 上述解法有三处错误.一是在将4444(5)化为十进制数时,应从53开始到50结束;二是在将3120化为九进制数时,未化彻底,应除到商为0结束,故还需一步除法;三是除罢写数时,应自下而上,本题却反其道而行之.
【防范措施】 将十进制数化为k进制数的方法是“除k取余法”,“除k取余法”到最后要把各步得到的余数倒着顺次写出,就是相应的k进制数.
【正解】 m的最大值为4444(5)=4×53+4×52+4×51+4×50=624.
因为624=9×69+3,69=9×7+6,7=9×0+7,所以4444(5)=763(9).
把一个非十进制数转化为另一种非十进制数,通常是把这个数先转化为十进制数,然后再利用除k取余法,把十进制数转化为k进制数.而在使用除k取余法时要注意以下几点:
1.必须除到所得的商是0为止;
2.各步所得的余数必须从下到上排列;
3.切记在所求数的右下角标明基数.
1.下列各数中可能是四进制数的是( )
A.55 B.32
C.41 D.38
【解析】 四进制数中最大数不超过3,故B正确.
【答案】 B
2.110
(2)转化为十进制数是( )
A.5B.6C.4D.7
【解析】 110
(2)=1×22+1×21+0×20=6.
【答案】 B
3.把153化为三进制数,则末位数是( )
A.0B.1C.2D.3
【解析】 153÷3=51,余数为0,由除k取余法知末位数为0.
【答案】 A
4.把154(6)化为七进制数.
【解】 154(6)=1×62+5×61+4×60=70.
∴70=130(7).
∴154(6)=130(7).
一、选择题
1.下列写法正确的是( )
A.858(8) B.265(7) C.312(3) D.68(6)
【解析】 k进制中各位上的数字均小于k,故A、C、D选项错误.
【答案】 B
2.把89转化为五进制数是( )
A.324(5)B.253(5)C.342(5)D.423(5)
【解析】
故89=324(5).
【答案】 A
3.三位五进制数表示的最大十进制数是( )
A.120B.124C.144D.224
【解析】 三位五进制数最大为444(5),
444(5)=4×52+4×51+4×50=124.
【答案】 B
4.由389化为的四进制数的末位是( )
A.3B.2C.1D.0
【解析】 ∵
∴389=12011(4),故选C.
【答案】 C
5.下列各数中,最小的数是( )
A.111111
(2)B.75
C.200(6)D.105(8)
【解析】 111111
(2)=1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20=63.
200(6)=2×62=72.
105(8)=1×82+0×81+5×80=69.
【答案】 A
二、填空题
6.将101110
(2)化为十进制数为________.
【解析】 101110
(2)=1×25+0×24+1×23+1×22+1×21+0×20
=32+8+4+2=46.
【答案】 46
7.已知一个k进制数132(k)与十进制数30相等,则k等于________.
【解析】 132(k)=1×k2+3×k+2=k2+3k+2=30,∴k=4或-7(舍).
【答案】 4
8.十六进制与十进制的不同在于它用A,B,C,D,E,F分别表示十进制的10,11,12,13,14,15,且“逢十六进一”,例如F2E3(16)=15×163+2×162+14×161+3×160.某企业为了数据安全,对邮编进行如下加密:
将原文为10进制6位整数转换成16进制,为了隐蔽,还将转换后不足6位的前面添加“H”形成密文,则原文为“325800”的邮编密文是________.
【解析】 首先审题要清,原文“325800”是十进制数,要转化为十六进制数,转换后不足6位的前面添加“H”形成密文.将325800转换成十六进制:
325800=4×164+15×163+8×162+10×161+8×160=4F8A8(16).由题意可知转换后不足6位的,前面添加“H”形成密文,所以密文是“H4F8A8”.故填H4F8A8.
【答案】 H4F8A8
三、解答题
9.在什么进制中,十进制数71记为47?
【解】 设47(k)=71(10),
则4×k1+7×k0=4k+7=71,
∴k=16,
即在十六进位制中,十进制71记为47.
10.设m是最大的四位五进制数,将m化为七进制.
【解】 ∵m是最大的四位五进制数,
∴m=4444(5),
∴m=4×53+4×52+4×51+4×50=624(10),
∴
,
∴4444(5)=1551(7).
11.若二进制数10b1
(2)和三进制数a02(3)相等,求正整数a,b.
【解】 ∵10b1
(2)=1×23+b×2+1=2b+9,
a02(3)=a×32+2=9a+2,
∴2b+9=9a+2,即9a-2b=7,
∵a∈{1,2},b∈{0,1},
当a=1时,b=1适合,
当a=2时,b=不适合.
∴a=1,b=1.
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