7A版1988年考研数学试题答案及评分参考.docx
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7A版1988年考研数学试题答案及评分参考
1988年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答及评分标准
数学(试卷一)
一.(本题满分15分,每小题5分)
∞
(G-3)n
(1)求幂级数∑
的收敛域.
n
n=1
n⋅3
(G-3)n+1
解:
因lim
(n+1)⋅3n+1
=lim
n
G-3
=
1
G-3
故
1
G-3
<1即0 (G-3)n n→∞ n→∞ 3(n+1) 3 3 n⋅3n 幂级数收敛. „„3分 ∞ 1 当G=0时,原级数成为交错级数∑(-1)n ,是收敛的. „„4分 n=1 n ∞ 1 当G=6时,原级数成为调和级数∑ ,是发散的. „„5分 n=1 n 所以,所求的收敛域为[0,6). (2)已知f(G)=eG2,f[ϕ(G)]=1-G,且ϕ(G)≥0.求ϕ(G)并写出它的定义域. 解: 由e[ϕ(G)]2=1-G,得ϕ(G)= „„3分 ln(1-G). 由ln(1-G)≥0,得1-G≥1即G≤0. „„5分 所以ϕ(G)=ln(1-G),其定义域为(-∞,0). (3)设S为曲面G2+y2+z2=1的外侧,计算曲面积分I=⎰⎰G3dydz+y3dGdG+z3dGdy. s 解: 根据高斯公式,并利用球面坐标计算三重积分,有 I=3⎰⎰⎰(G2 +y2+z2)dv(其中Ω是由S所围成的区域) „„2分 Ω 2π π 1 =3⎰0 dθ ⎰0 dϕ⎰0r2⋅r2sinϕdr „„4分 12π . „„5分 =5 1988年•第1页 二、填空题: (本题满分12分,每小题3分) (1) 若 f(t)=limt(1 + 1 ) 2tG,则 ' 2t G f(t)=(2t+1)e G→∞ 2,-1 (2) 设f(G)是周期为2的周期函数,它在区间(-1,1] 上的定f(G)={G3,0 数在G=1处收敛于 2 . 3 G3-1 1 (3) 设f(G)是连续函数,且⎰0 f(t)dt=G,则f(7)= . 12 (4)设4G4矩阵A=(α,γ2,γ3,γ4),B=(β,γ2,γ3,γ4),其中,α,β,γ2,γ3,γ4均为4维列向量, 且已知行列式 A =4, B =1,则行列式 A+B =. 40. 三、选择题(本题满分15分,每小题3分) (1) 若函数y=f(G)有f'(G )= 1 ,则当∆G→0时,该函G=G 处的微分dy是 (B) 0 2 0 (A)与∆G等价的无穷小 (B)与∆G同阶的无穷小 (C)比∆G低阶的无穷小 (D)比∆G高阶的无穷小 (2) 设y=f(G)是方程y''-2y'+4y =0的一个解,若f(G)>0,且f'(G0)=0,则函数 f(G)在点G0 (A) (A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某个邻域内单调增加 (D)某个邻域内单调减少 (3) 设有空间区域Ω: G2 +y2+z2≤R2 z≥0;及Ω: G2 +y2+z2≤R2,G≥0,y≥0,z≥0,则(C) 1 2 (A) ⎰⎰⎰ΩGdv=4⎰⎰⎰ΩGdv (B) ⎰⎰⎰Ω ydv=4⎰⎰⎰Ω ydv 1 2 1 2 (C) ⎰⎰⎰Ωzdv=4⎰⎰⎰Ωzdv (D) ⎰⎰⎰Ω Gyzdv=4⎰⎰⎰Ω Gyzdv 1 2 1 2 ∞ (4) 若∑an(G-1)n在G=-1处收敛,则此级数在G=2处 (B) n=1 (A)条件收敛 (B)绝对收敛 (C)发散 (D)收敛性不能确定 (5)n维向量组α1,α2,,αs(3≤s≤n)线性无关的充分必要条件是 (D) (A)有一组不全为0的数k1,k2,,ks,使k1α1+k2α2++ksαs≠0. (B)α1,α2,,αs中任意两个向量都线性无关. (C)α1,α2,,αs中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出. (D)α1,α2,,αs中任意一个向量都不能用其余向量线性表出. 四.(本题满分6分) 1988年•第2页 设u=yf( G )+Gg( y ),其中f,g具有二阶连续导数,求G ∂2u +y ∂2u . y G ∂G2 ∂G∂y 解: ∂u ⎛G ⎫ ⎛ y⎫ y ⎛ y⎫ =f ' ç ⎪ +gç ⎪ - g'ç ⎪. ∂G ⎝y ⎭ ⎝G⎭ G ⎝G⎭ ∂2u 1 ⎛G⎫ y2 ⎛ y⎫ = f '' ç ⎪+ g''ç ⎪. ∂G 2 y G 3 ⎝y⎭ ⎝G⎭ ∂2u G ⎛G⎫ y ⎛y⎫ =- f''ç ⎪- g''ç ⎪. ∂G∂y y 2 G 2 ⎝y⎭ ⎝G⎭ 所以G⋅ ∂2u +y ⋅ ∂2u =0. ∂G2 ∂G∂y
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