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数二答案
2005数二答案
【篇一:
2005年数学二考研试题和答案】
ss=txt>一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1)设y?
(1?
sinx)x,则dy
(2)曲线y?
(3)?
0
1
x?
?
=.
(1?
x)
x
2
32
的斜渐近线方程为.
xdx(2?
x)?
x
2
?
19
(4)微分方程xy?
?
2y?
xlnx满足y
(1)?
?
的解为
(5)当x?
0时,?
(x)?
kx2与?
(x)?
?
xarcsinx?
cosx是等价无穷小,则k=.
(6)设?
1,?
2,?
3均为3维列向量,记矩阵a?
(?
1,?
2,?
3)
b?
(?
1?
?
2?
?
3,?
1?
2?
2?
4?
3,?
1?
3?
2?
9?
3),
,
如果a?
1,那么b?
.
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)设函数f(x)?
lim?
x
n?
?
3n
,则f(x)在(?
?
?
?
)内
(a)处处可导.(b)恰有一个不可导点.
(c)恰有两个不可导点.(d)至少有三个不可导点.[]
(8)设f(x)是连续函数f(x)的一个原函数,m?
n表示“m的
充分必要条件是n”,则必有
(a)f(x)是偶函数?
f(x)是奇函数.(b)f(x)是奇函数?
f(x)是偶函数.
(c)f(x)是周期函数?
f(x)是周期函数.
(d)f(x)是单调函数?
f(x)是单调函数.[]
?
x?
t2?
2t,
(9)设函数y=y(x)由参数方程?
确定,则曲线y=y(x)
y?
ln(1?
t)?
在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是
(a)
11
ln2?
3.(b)?
ln2?
3.88?
8ln2?
3
(c)[]
.(d)8ln2?
3.
(10)设区域d?
{(x,y)x2?
y2?
4,x?
0,y?
0},f(x)为d上的正值连续函数,a,b为常数,则?
?
d
af(x)?
bf(y)f(x)?
f(y)
?
?
(a)ab?
.(b)[]
aba?
b
?
.(c)(a?
b)?
.(d)?
.22
(11)设函数u(x,y)?
?
(x?
y)?
?
(x?
y)?
?
x?
y?
(t)dt,其中函数?
具有二阶导数,?
具有一阶导数,则必有
?
2u?
2u?
2u?
2u
(a)2?
?
2.(b)2?
2.
?
x?
y?
x?
y
x?
y
(c)
[]
?
2u?
2u
?
?
x?
y?
y2
.(d)
?
2u?
2u
?
?
x?
y?
x2
.
(12)设函数f(x)?
e
1
xx?
1
则?
1
(a)x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.(b)x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.
(c)x=0是f(x)的第一类间断点,x=1是f(x)的第二类间断点.
x=0是f(x)的第二类间断点,x=1是f(x)的第一类间断点.[]
(13)设?
1,?
2是矩阵a的两个不同的
特征值,对应的特征向量分别为?
1,?
2,则?
1,a(?
1?
?
2)线性无关的充分必要条件是
(a)?
1?
0.(b)?
2?
0.(c)?
1?
0.(d)?
2?
0.[]
(14)设a为n(n?
2)阶可逆矩阵,交换a的第1行与第2行得矩阵b,a*,b*分别为a,b的伴随矩阵,则
(a)交换a*的第1列与第2列得b*.(b)交换a*的第1行与
第2行得b*.
(c)交换a*的第1列与第2列得?
b*.(d)交换a*的第1行与第2行得?
b*.
[]
三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分11分)设函数f(x)连续,且f(0)?
0,求极限
?
lim
x?
0
x
(x?
t)f(t)dt
x0
x?
f(x?
t)dt
.
1
2
(16)(本题满分11分)如图,c1和c2分别是y?
(1?
ex)和y?
ex
的图象,过点(0,1)的曲线c3是一单调增函数的图象.过c2上任一点m(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly.记c1,c2与lx所围图形的面积为s1(x);c2,c3与ly所围图形的面积为s2(y).如果总有
s1(x)?
s2(y),求曲线c3的方程x?
?
(y).
(17)(本题满分11分)如图,曲线c的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l1与l2分别是曲线c在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分
?
(x
3
2
?
x)f?
?
?
(x)dx.
(18)(本题满分12分)用变量代换x?
cost(0?
t?
?
)化简微分方程
(1?
x2)y?
?
?
xy?
?
y?
0,并求其满足y
x?
0
?
1,y?
x?
0
?
2的特解.
(19)(本题满分12分)
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f
(1)=1.证明:
(i)存在?
?
(0,1),使得f(?
)?
1?
?
;
(ii)存在两个不同的点?
?
?
(0,1),使得f?
(?
)f?
(?
)?
1.(20)(本题满分10分)
已知函数z=f(x,y)的全微分dz?
2xdx?
2ydy,并且f(1,1,)=2.求
y2
f(x,y)在椭圆域d?
{(x,y)x?
?
1}上的最大值和最小值.
4
2
(21)(本题满分9分)
计算二重积分?
?
x2?
y2?
?
,其中d?
{(x,y)0?
x?
1,0?
y?
1}.
d
(22)(本题满分9分)
确定常数a,使向量组?
1?
(1,1,a)t,?
2?
(1,a,1)t,?
3?
(a,1,1)t可由向量组?
1?
(1,1,a)t,?
2?
(?
2,a,4)t,?
3?
(?
2,a,a)t线性表示,但向量组?
1,?
2,?
3不能由向量组?
1,?
2,?
3线性表示.
(23)(本题满分9分)
?
123?
?
(k为常数)246已知3阶矩阵a的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵b?
?
,?
?
?
?
36k?
?
且ab=o,求线性方程组ax=0的通解.
以下题型均在05年考研文登数学辅导班中讲过
1..【分析】本题属基本题型,幂指函数的求导(或微分)问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.
【详解】方法一:
y?
(1?
sinx)x=exln(1?
sinx),于是y?
?
exln(1?
sinx)?
[ln(1?
sinx)?
x?
从而dy
x?
?
cosx
],1?
sinx
=y?
(?
)dx?
?
?
dx.
方法二:
两边取对数,lny?
xln(1?
sinx),对x求导,得
1xcosxy?
?
ln(1?
sinx)?
,y1?
sinx
cosx
],故1?
sinx
于是y?
?
(1?
sinx)x?
[ln(1?
sinx)?
x?
【篇二:
2005全国高考数学2试卷与答案】
ass=txt>数学(全国2理科卷)试题精析详解
一、选择题(5分?
12=60分)
(1)函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是
【思路点拨】本题考查三角函数的化简和绝对值的概念和数形结合的思想.
【正确解答】f(x)?
|sinx?
cosx|?
x?
?
)|,f(x)的最小正周期为?
.选c
【解后反思】三角函数的周期可以从图象上进行判断,但是一个周期函数加绝对值后的周期不一定减半.如y?
tanx的最小正周期为?
,但是,y?
|tanx|的最小正周期也是?
,因此,对函数的性质的运用必须从定义出发,要学会用定义来研究问题.
(2)正方体abcd-a1b1c1d1中,p、q、r分别是ab、ad、b1c1的中点.那么,正方体的过p、q、r的截面图形是
(a)三角形(b)四边形
(c)五边形(d)六边形
【思路点拨】本题考查平面的作法和空间想象能力,根据公理1可从p、q在面内作直线,根据公理2,得到面与各棱的交点,与棱相交必与棱所在的两个面都有交线段.
【正确解答】画图分析.作直线pq交cb
的延长线于e,交cd的延长f,作直线er
交cc1的延长线于g,交bb1于s,作直线
gf交dd1于h,交c1d1h,连结ps,rt,hq,
则过p、q、r的截面图形为六边形pqhtrs,
故选d.
【解后反思】要理解立体几何中的三个公
理及3个推论是确定平面的含义,但不必深入
研究..
(3)函数y=x2-1(x≤0)的反函数
gc1c
是
33(a)y=(x?
1)(x≥-1)(b)y=-(x?
1)(x≥-1)
33(c)y=(x?
1)(x≥0)(d)y=-(x?
1)(x≥0)
【思路点拨】本题考查反函数的求法.要求反函数的三步曲(一是反解、二是x、y对调,三是求出反函数的定义域,即原函数的值域)进行,或用互为反函数的性质处理.
【正确解答】解法1:
由y=x2-1,且x≤0
,解得x?
y?
?
1.
3则所求反函数为y=-(x?
1)(x≥-1).
解法2:
分析定义域和值域,用排除法.选b.
【解后反思】选择题中考查反函数的解法时,一般只需验证定义域和值域即可,以达到快速高效之目的,因此,深刻理解互为反函数的概念和性质是关键,并要注意在求出反函数后注明定义域,这是求反函数必不可少的一步.
(4)已知函数y?
tan?
x在(-?
?
,)内是减函数,则22
【思路点拨】本题考查参数?
对于函数y?
tan?
x性质的影响.
【正确解答】由正切函数的性质,正切函数y?
tanx在(-?
?
,)上是增函数,而22
y?
tan?
x在(-?
?
?
,)内是减函数,所以?
?
?
,即?
1?
?
?
0.选b?
22
【解后反思】学生在解题过程中只注意到t?
的影响.
(5)设a、b、c、d∈r,若?
,而容易忽略?
的符号对函数单调性|?
|a?
bi为实数,则c?
di
(a)bc+ad≠0(b)bc-ad≠0
(c)bc-ad=0(d)bc+ad=0
【思路点拨】本题考查复数定义和复数除法运算法则.【正确解答】a?
bia?
bi(a?
bi)(c?
di)(ac?
bd)?
(bc?
ad)i?
?
,由为实数,22c?
dic?
di(c?
di)(c?
di)c?
d
所以bc-ad=0.选c
【解后反思】理解复数除法计算和乘法本质是分母实数化,有助于提高运算速度.
x2y2
?
(6)已知双曲线=1的焦点为f1、f2,点m在双曲线上且mf1⊥x轴,则f163
到直线f2m的距离为
(a)65356(b)(c)(d)5656
【思路点拨】本题主要考查双曲线的基础知识,只要依据分析双曲线的相关几何性质进行等价转化即可.
【正确解答】由题意知,a?
b?
c?
3,设f1为左焦点,f2为右焦点,则
f1(?
3,0),f2(3,0),m(?
则由
选c,设所求距离为d,116|mf1|?
|f1f2|?
|mf2|?
d,得d?
.225
【解后反思】利用面积相等来求点到直线的距离应用较广,应引起重视.
(7)锐角三角形的内角a、b满足tana-1=tanb,则有sin2a
(a)sin2a-cosb=0(b)sin2a+cosb=0
(c)sin2a-sinb=0(d)sin2a+sinb=0
【思路点拨】解斜三角形问题必须注意题目所设置的情况,从已知等式的左边进行化简,产生2a、b的三角函数之间的关系.
【正确解答】
1sin2a12sin2a?
1?
cos2atana?
?
?
?
?
?
?
cot2a?
tanbsin2asinacosasin2asin2asin2a
?
tan(2a?
即2a?
?
2)?
?
abc是锐角三角形,?
0?
2a?
?
2?
?
,而0?
b?
?
?
2a?
?
2?
b,?
?
b?
sin2a?
sin(?
b)?
cosb.选a.22?
【解后反思】解三角函数问题时,要注意角的唯一性,也就是说要将角化到同一单调区间内进行求解.这是难点也是关键之处.
(8)已知点a(,1),b(0,0),c(,0).设∠bac的平分线ae与bc相
(a)2(b)11(c)-3(d)-23
【思路点拨】本题考查平面向量的基础知识,可根据点c的特殊位置,利用角平分线的性质,就可求e点坐标.
【正确解答】由题意可知?
abc是直角三角形且?
abc?
30?
,?
cab?
60?
,?
?
cae?
30?
,?
|be||ae||bc|?
3|ce|,?
?
?
?
3.选c?
?
2,?
|ce||ce|
【解后反思】灵活运用相关知识是解决问题的有效手段,本题可用向量法,也可由坐标法、都要求出点c坐标,但相对来说,用平几知识比较方便.
(9)已知集合m={x|x2-3x-28≤0},n={x|x2-x-6>0},则m∩n为
(a){x|-4≤x<-2或3<x≤7}(b){x|-4<x≤-2或3≤x<7}
(c){x|x≤-2或x>3}(d){x|x<-2或x≥3=
【思路点拨】本题考查不等式的解法和集合的运算,可采用直接法,化简两集合时要注意不等式中的等号情形,防止漏点或产生多余的点.
【正确解答】m?
{x|?
4?
x?
7},n?
{x|x?
?
2或x?
3},
?
m?
n?
{x|?
4?
x?
?
2或3?
x?
7}.选a
【解后反思】四个二次(一元二次不等式、一元二次方程、二次函数、二次三项式)始终是高考中考查覆盖面最大的代数知识.它们之间的等价转换要借助数形结合思想处理,必须牢固地掌握.
(10)点p在平面上作匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点p的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位),设开始时点p的坐标为(-10,10),则5秒后点p的坐标为
(a)(-2,4)(b)(-30,25)(c)(10,-5)(d)(5,-10)
【思路点拨】本题利用物理知识考查向量坐标公式的由来,借助图形正确地找出经过t秒后点的c的位置.
【正确解答】由题意可得t秒后点p的坐标为(?
10?
4t,10?
3t),t=5时,p点坐标为(10,-5).选c.
【解后反思】数学学科中各个知识点都是有定义的.定义的理解与掌握是解决一切问题
的基础的基础,回归定义,理解定义是学习数学的起点,也是落脚点.
(11)如果a1,a2,?
a8为各项都大于零的等差数列,公差d≠0,则
(a)a1a8>a4a5(b)a1a8<a4a5(c)a1+a8>a4+a5(d)a1a8=a4a5
【思路点拨】本题考查等差数列的基础知识和化归思想,最有效的办法是将数列的通项转化为首项及公差来探索其大小.
【正确解答】由a1?
a4?
3d,a8?
a5?
3d得,a1a8?
a4a5?
9d2?
a4a5(d?
0)选b
【解后反思】灵活运用等差数列的性质可简化运算,而对于本题等差数列来说,一般方法,即转化为首项和公差处理,是最基本的方法,要牢固掌握.
(12)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为
(a)3?
22264?
26(b)2+(c)4?
(d)3333
【思路点拨】本题考查正四面体的性质和空间想象能力,恰当地对几何体进行分割,确定钢球的球心的位置是一关键.
【正确解答】由题意可知,四个球心为顶点的小正四面体与原正四面体有公共中心,当正四面体的表面积最小时,四个钢球的圆心在正四面体内也构成一个小正四面体,且两个正四面体有相同的中心.把4个小球的球心连起来,得到棱长为2的正四面体,且该四面体的中心与原四面体的中心是同一点.先求任意正四面体的中心到侧面的距离与高之比:
连接中心与4个顶点,得到4个正三棱锥.底面积相等,由等体积法知,所以,该比为1.而棱长为4a
,现在将其中心到侧面,所以,棱长为2
26,选c.3的距离4,得到这个正四面体的高的最小值为4?
【解后反思】选择适当的截面,把立几问题平面化(降维)是解决此类问题的基本思路.
二、填空题(4分?
4=16分)
(13)圆心为(1,2)且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为______________.
【思路点拨】本题考查点到直线的距离公式和圆的方程的求法,只要求出点到直线的距离就求出了圆的半径.
【篇三:
2005考研数学
(二)真题及参考答案】
=txt>一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1)设y?
(1?
sinx)x,则dy|x?
?
(2)曲线y?
1
(1?
x)
x
2
32
的斜渐近线方程为(3)
?
(2?
x
xdx
2
)?
x
?
1
的解为9
(4)微分方程xy?
?
2y?
xlnx满足y
(1)?
?
(5)当x?
0时,?
(x)?
kx2与?
(x)?
?
xarcsinx?
cosx是等价无穷小,则(6)设?
1,?
2,?
3均为3维列向量,记矩阵
a?
(?
1,?
2,?
3),b?
(?
1?
?
2?
?
3,?
1?
2?
2?
4?
3,?
1?
3?
2?
9?
3),如果a?
1,那么b?
.
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数f(x)?
lim?
x
n?
?
3n
,则f(x)在(?
?
?
?
)内
(a)处处可导.(b)恰有一个不可导点.
(c)恰有两个不可导点.(d)至少有三个不可导点.[]
(8)设f(x)是连续函数f(x)的一个原函数,m?
n表示“m的充分必要条件是n”,则必有
(a)f(x)是偶函数?
f(x)是奇函数.(b)f(x)是奇函数?
f(x)是偶函数.
(c)f(x)是周期函数?
f(x)是周期函数.
(d)f(x)是单调函数?
f(x)是单调函数.[]
?
x?
t2?
2t,
(9)设函数y=y(x)由参数方程?
确定,则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是
?
y?
ln(1?
t)
11
ln2?
3.(b)?
ln2?
3.88
(c)?
8ln2?
3.(d)8ln2?
3.[]
(a)
22
(10)设区域d?
{(x,y)x?
y?
4,x?
0,y?
0},f(x)为d上的正值连续函数,a,b为常数,则
?
?
d
af(x)?
bf(y)f(x)?
f(y)
?
?
(a)ab?
.(b)
aba?
b?
.(c)(a?
b)?
.(d)?
.[]22
(11)设函数u(x,y)?
?
(x?
y)?
?
(x?
y)?
则必有
?
x?
y
x?
y
?
(t)dt,其中函数?
具有二阶导数,?
具有一阶导数,
?
2u?
2u?
2u?
2u
(a)?
?
2.(b)2?
2.
?
x2?
y?
x?
y
?
2u?
2u?
2u?
2u(c)?
2.[]?
2.(d)
?
x?
y?
x?
x?
y?
y
(12)设函数f(x)?
1e
x
x?
1
则?
1
(a)x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.(b)x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.
(c)x=0是f(x)的第一类间断点,x=1是f(x)的第二类间断点.
(d)x=0是f(x)的第二类间断点,x=1是f(x)的第一类间断点.[]
(13)设?
1,?
2是矩阵a的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为?
1,?
2,则?
1,a(?
1?
?
2)线性无关的充分必要条件是
(a)
?
1?
0.(b)?
2?
0.(c)?
1?
0.(d)?
2?
0.[]
**
(14)设a为n(n?
2)阶可逆矩阵,交换a的第1行与第2行得矩阵b,a,b分别为a,b的伴随矩
阵,则
(a)交换a的第1列与第2列得b.(b)交换a的第1行与第2行得b.(c)交换a的第1列与第2列得?
b.(d)交换a的第1行与第2行得?
b.[]三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分11分)
*
*
*
*
*
*
*
*
?
设函数f(x)连续,且f(0)?
0,求极限lim
x?
0
x
(x?
t)f(t)dt
x0
x?
f(x?
t)dt
.
(16)(本题满分11分)如图,c1和c2分别是y?
1
(1?
ex)和y?
ex的图象,过点(0,1)的曲线c3是一单调增函数的图象.过2
c2上任一点m(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly.记c1,c2与lx所围图形的面积为s1(x);
c2,c3与ly所围图形的面积为s2(y).如果总有s1(x)?
s2(y),求曲线c3的方程x?
?
(y).
(17)(本题满分11分)
如图,曲线c的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l1与l2分别是曲线c在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分
(18)(本题满分12分)
用变量代换x?
cost(0?
t?
?
)化简微分方程(1?
x2)y?
?
?
xy?
?
y?
0,并求其满足
?
3
(x2?
x)f?
?
?
(x)dx.
y
x?
0
?
1,y?
x?
0
?
2的特解.
(19)(本题满分12分)
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f
(1)=1.证明:
(i)存在?
?
(0,1),使得f(?
)?
1?
?
;
(ii)存在两个不同的点?
?
?
(0,1),使得f?
(?
)f?
(?
)?
1.(20)(本题满分10分)
已知函数z=f(x,y)的全微分dz?
2xdx?
2ydy,并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域
y2d?
{(x,y)x?
?
1}上的最大值和最小值.
4
2
(21)(本题满分9分)计算二重积分
?
?
x
d
2
?
y2?
?
,其中d?
{(x,y)0?
x?
1,0?
y?
1}.
(22)(本题满分9分)确定常数
a,使向量组
?
1?
(1,1,a)t,?
2?
(1,a,1)t,?
3?
(a,1,1)t可由向量组
但向量组?
1,?
2,?
3不能由向量组?
1,?
2,?
3线?
1?
(1,1,a)t,?
2?
(?
2,a,4)t,?
3?
(?
2,a,a)t线性表示,性表示.(23)(本题满分9分)
?
123?
?
?
已知3阶矩阵a的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵b?
246(k为常数),且ab=o,求?
?
?
?
36k?
?
线性方程组ax=0的通解.
2005年考研数学二真题解析
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1)设y?
(1?
sinx)x,则dy
x?
?
=?
?
dx.
【分析】本题属基本题型,幂指函数的求导(或微分)问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.
【详解】方法一:
y?
(1?
sinx)x=exln(1?
sinx)
,于是
y?
?
exln(1?
sinx)
?
[ln(1?
sinx)?
x?
cosx
1?
sinx
],
从而dy
x?
?
=y?
(?
)dx?
?
?
dx.
方法二:
两边取对
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- 答案