高中数学第三章概率23互斥事件教学案北师大版必修3.docx
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高中数学第三章概率23互斥事件教学案北师大版必修3
2019-2020年高中数学第三章概率2.3互斥事件教学案北师大版必修3
预习课本P138~146,思考并完成以下问题
(1)互斥事件的定义是什么?
(2)对立事件的定义是什么?
(3)互斥事件与对立事件有什么区别和联系?
(4)互斥事件的概率加法公式是什么?
1.互斥事件
(1)定义:
在一个试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件.
(2)规定:
事件A+B发生是指事件A和事件B至少有一个发生.
(3)公式:
在一次随机试验中,如果随机事件A和B是互斥事件,那么有P(A+B)=P(A)+P(B).
(4)公式的推广:
如果随机事件A1,A2,…,An中任意两个是互斥事件,那么有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
[点睛]
(1)如果事件A与B是互斥事件,那么A与B两事件同时发生的概率为0.
(2)
从集合的角度看,记事件A所含结果组成的集合为集合A,事件B所含结果组成的集合为集合B,事件A与事件B互斥,则集合A与集合B的交集是空集,如图所示.
2.对立事件
(1)定义:
在一次试验中,如果两个事件A与B不能同时发生,并且一定有一个发生,那么事件A与B称作对立事件,事件A的对立事件记为.
(2)性质:
P(A)+P()=1,即P(A)=1-P().
[点睛] 两个事件是对立事件,它们也一定是互斥事件;两个事件为互斥事件,它们未必是对立事件.
1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对立事件一定是互斥事件.( )
(2)A,B为两个事件,则P(A+B)=P(A)+P(B).( )
(3)若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1.( )
(4)事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件.( )
答案:
(1)√
(2)× (3)× (4)×
2.一人在打靶中连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶
C.两次都不中靶D.只有一次中靶
解析:
选C 连续射击两次的结果有四种:
①两次都中靶;②两次都不中靶;③第一次中靶,第二次没有中靶;
④第一次没有中靶,第二次中靶.“至少有一次中靶”包含①③④三种结果,因此互斥事件是②.
3.抽查10件产品,记事件A为“至少有2件次品”,则A的对立事件为( )
A.至多有2件次品 B.至多有1件次品
C.至多有2件正品D.至少有2件正品
解析:
选B 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件.共9种结果,故它的对立事件为含有1或0件次品,即至多有1件次品.
4.甲乙两人下围棋比赛,已知比赛中甲获胜的概率为0.45,两人平局的概率为0.1,则甲输的概率为________.
解析:
记事件A=“甲胜乙”,B=“甲、乙战平”,C=“甲不输”,则C=A+B,而A,B是互斥事件,故P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.55.由于甲输与不输为对立事件,故甲输的概率为:
1-P(C)=1-0.55=0.45.
答案:
0.45
互斥事件和对立事件的判断
[典例] 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报”,事件B为“至少订一种报”,事件C为“至多订一种报”,事件D为“不订甲报”,事件E为“一种报也不订”.判断下列事件是否是互斥事件,如果是,判断它们是否是对立事件.
(1)A与C;
(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.
[解]
(1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的,故事件B与E是互斥事件.由于事件B和事件E必有一个发生,故B与E也是对立事件.
(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报,即有可能不订甲报,也就是说事件B发生,事件D也可能发生,故B与D不是互斥事件.
(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能:
“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报”中有3种可能:
“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”.即事件B与事件C可能同时发生,故B与C不是互斥事件.
(5)由(4)的分析可知,事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能,事件C与事件E可能同时发生,故C与E不是互斥事件.
判断两个事件是否为互斥事件,主要看它们在一次试验中能否同时发生,若不能同时发生,则这两个事件是互斥事件,若能同时发生,则这两个事件不是互斥事件;判断两个事件是否为对立事件,主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件:
一是不能同时发生;二是必有一个发生.这两个条件同时成立,那么这两个事件是对立事件,只要有一个条件不成立,那么这两个事件就不是对立事件.
[活学活用]
某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛.判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.
(1)恰有1名男生与恰有2名男生;
(2)至少1名男生与全是男生;
(3)至少1名男生与全是女生;
(4)至少1名男生与至少1名女生.
解:
从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果;两男或两女或一男一女.
(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生,所以它们是互斥事件;当恰有2名女生时,它们都没有发生,所以它们不是对立事件.
(2)当恰有2名男生时,至少1名男生与全是男生同时发生,所以它们不是互斥事件.
(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生,所以它们是互斥事件;由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.
(4)当选出的是1名男生1名女生时,至少1名男生与至少1名女生同时发生,所以它们不是互斥事件.
互斥事件与对立事件概率公式的应用
[典例] 某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中:
(1)射中10环或9环的概率;
(2)至少射中7环的概率;
(3)射中8环以下的概率.
[解] “射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”是彼此互斥的,可运用互斥事件的概率加法公式求解.
记“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A,B,C,D,E,则
(1)P(A+B)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52,所以射中10环或9环的概率为0.52.
(2)法一:
P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.24+0.28+0.19+0.16=0.87,所以至少射中7环的概率为0.87.
法二:
事件“至少射中7环”的对立事件是“射中7环以下”,其概率为0.13,则至少射中7环的概率为1-0.13=0.87.
(3)P(D+E)=P(D)+P(E)=0.16+0.13=0.29,所以射中8环以下的概率为0.29.
运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤
(1)确定各事件彼此互斥;
(2)求各事件分别发生的概率,再求其和.
值得注意的是:
(1)是公式使用的前提条件,不符合这点,是不能运用互斥事件的概率加法公式的.
[活学活用]
在数学考试中,小明的成绩在90分及90分以上的概率是0.18,在80~89分(包括80分与89分,下同)的概率是0.51,在70~79分的概率是0.15,在60~69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率:
(1)小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩;
(2)小明考试及格.
解:
分别记小明的成绩在“90分及90分以上”,在“80~89分”,在“70~79分”,在“60~69分”为事件B,C,D,E,显然这四个事件彼此互斥.
(1)小明的成绩在80分及80分以上的概率是
P(B+C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.
(2)法一:
小明考试及格的概率是
P(B+C+D+E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.
法二:
因为小明考试不及格的概率是0.07,所以小明考试及格的概率是1-0.07=0.93.
互斥、对立事件与古典概型的综合应用
[典例] 一盒中装有各色球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1球,求:
(1)取出1球是红球或黑球的概率;
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.
[解] 记事件A1={任取1球为红球};A2={任取1球为黑球};
A3={任取1球为白球};A4={任取1球为绿球},则
P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=.
根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,
法一:
由互斥事件概率公式,得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=+=.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)
=++=.
法二:
(1)故取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球,即A1+A2的对立事件为A3+A4.所以取得1球为红球或黑球的概率为
P(A1+A2)=1-P(A3+A4)=1-P(A3)-P(A4)
=1--==.
(2)A1+A2+A3的对立事件为A4,所以
P(A1+A2+A3)=1-P(A4)=1-=.
求复杂事件的概率通常有两种方法
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件;
(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时,需要分类太多,而其对立面的分类较少,可考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”,它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率.
[活学活用]
某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员,某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示.现从中随机抽取一名队员,求:
(1)该队员只属于一支球队的概率;
(2)该队员最多属于两支球队的概率.
解:
分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A,B,C.由图知3支球队共有球员20名.
则P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(1)令“抽取一名队员,该队员只属于一支球队”为事件D.
则D=A+B+C,∵事件A,B,C两两互斥,
∴P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)
=++=.
(2)令“抽取一名队员,该队员最多属于两支球队”为事件E,
则为“抽取一名队员,该队员属于3支球队”,
∴P(E)=1-P()=1-=.
[层级一 学业水平达标]
1.许洋说:
“本周我至少做完三套练习题.”设许洋所说的事件为A,则A的对立事件为( )
A.至多做完三套练习题 B.至多做完二套练习题
C.至多做完四套练习题D.至少做完三套练习题
解析:
选B 至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6…套练习题,故它的对立事件为做完0,1,2套练习题,即至多做完2套练习题.
2.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A.对立事件B.互斥但不对立事件
C.不可能事件D.以上说法都不对
解析:
选B 因为只有1张红牌,所以这两个事件不可能同时发生,所以它们是互斥事件;但这两个事件加起来并不是总体事件,所以它们不是对立事件.
3.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
A.B.
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