辽宁省葫芦岛市届高三下学期第一次模拟考试+数学理+图片版含答案.docx
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辽宁省葫芦岛市届高三下学期第一次模拟考试+数学理+图片版含答案
2019年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试
数学(理)参考答案及评分标准
一选择
ACDBCBACDCAB
二填空
13.414.[-1,2]15.(,)16.
三、解答题
17.解析:
(1)由正弦定理==………………………………………………………2分
整理得:
sinA=cosA,
所以,tanA=,……………………………………………………………………………4分
又A为三角形内角,
所以A=………………………………………………………………………………………6分
(2)由余弦定理得:
a2=b2+c2-2bccosA……………………………………………………8分
代入并整理得:
c2-2c-3=0
解得:
c=3,c=-1(舍)………………………………………………………………………10分
所以,S∆ABC=bcsinA=×2×3×=………………………………………………12分
18.解析:
(1)证明:
根据题意,在矩形ABEF中,BE⊥AB;
又BC⊥BE,且AB∩BC=B,…………………………………………………………………2分
AB,BCÌ平面ABCD
所以,BE⊥平面ABCD,……………………………………………………………………4分
又BEÌ平面MBE,
所以,平面MBE⊥平面ABCD…………………………………………………………………6分
(2)分别以BE、BC、BA为正方向建立坐标系,依题意各点坐标如下
B(0,0,0),E(1,0,0),C(0,1,0),F(1,0,2)D(0,1,2)
A(0,0,2),M(0,1,1)
=(-1,1,1),=(1,0,0),=(0,0,1)
设平面BEM的法向量为m=(x1,y1,z1),于是
即
令z1=1,则y1=-1
所以,m=(0,-1,1)…………………………………………………………………8分
设平面CEM的法向量为n=(x2,y2,z2),于是
即
令x2=1,则y2=1,
所以,n=(1,1,0)………………………………………………………………………10分
cos
根据题意,二面角B-EM-C为……………………………………………………12分
19.解:
(1)依题意,这500户家庭的全年收入的样本平均值和方差s2分别为:
=1×0.06+2×0.10+3×0.14+4×0.31+5×0.30+6×0.06+7×0.02+8×0.01=4………3分
s2=(-3)2×0.06+(-2)2×0.10+(-1)2×0.14+02×0.31+12×0.30+22×0.06+32×0.02+42×0.01=1.96……………………………………………………………………………………6分
(2)(i)由
(1)知Z~N(4,1.42),则P(μ-2σ ∴P(Z<1.2)=(1-P(1.2 (ii)由(ii)知,X~B(100,0.023),所以E(X)=100×0.023=2.3……………………12分 20.解: (Ⅰ)由题意得 解得 . 所以椭圆 的方程为 .………………………………………………4分 (Ⅱ)设直线 的方程为 , 由 得 . ………………………………6分 令 ,得 . , .…………………………………………8分 因为 是以 为顶角的等腰直角三角形, 所以 平行于 轴. 过 做 的垂线,则垂足 为线段 的中点. 设点 的坐标为 ,则 . ………………………10分 由方程组 解得 ,即 .而 , 所以直线 的方程为 .………………………………………………12分 21. (1)由题意: f¢(x)=lnx-ax; 故a=,设g(x)=(x>0),g¢(x)=, 故当0 当x>e,g¢(x)<0, 所以g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+¥)上单调递减,………………………………2分 又g (1)=0, g(e)=,当x>e时,g(x)>0(或x→+¥时,g(x)→+¥) 所以实数a的取值范围是(0,);…………………………………………………………4分 (2)由 (1)得: lnx2-ax2=0,且x2>e,故a= 要证明: 2(1-)≥a只需证明: 2(1-)≥,即证: 2(x2-)>lnx2……………6分 设h(x)=2(x-)-lnx(x>e); 则h¢(x)=2+-=>0 所以h(x)在(e,+¥)上单调递增; 故h(x)>h(e)=2e--1>0 即2(1-)≥a;………………………………………………………………………………8分 (3)由 (1)得: lnx1-ax1=0,lnx2-ax2=0,且1 由 (1)得: 0 +>2ae 只需证明: +>2即证: +>2a 故+-2a=-2×=[-2(lnx1lnx2)]=(--2ln) 设G(x)=x--2lnx(0 则G¢(x)=1+-=>0∴G(x)在(0,1)上单调递增; 故G(x) (1)=0 ∵0<<1,所以x1-x2<0,--2ln<0 ∴+-2a>0 因此有: +>2ae……………………………………………………………………12分 (若考生用其它方法(对称化构造,对数平均不等式等)证明,酌情赋分) 22.解: (1)把 , 代入直线l的方程得: ρcosθsinα-ρsinθcosα=0, 整理得: sin(θ-α)=0 所以 极坐标方程是 .……………………………………2分 C1的普通方程是x2+y2-4x=0, 其极坐标方程是ρ=4cosθ.……………………………………………………5分 (2)C1: ρ=4cosθ,C2: ρ=2sinθ,将 分别代入C1,C2得 |OM|=-4cosα,|ON|=2sinα.…………………………………………………………7分 所以|ON|2+|OM|=4sin2α-4cosα=-4cos2α-4cosα+4 =-4(cosα+)2+5 又<α<π,所以-1 所以,当cosα=-时,即α=时,|ON|2+|OM|取最大值5…………………………10分 23.解析: (1)由三角不等式可知: |x+2|+|x-2|≥4, 所以f(x)min=4…………………………………………………………………………………2分 由题意即f(x)≥a解集为R,所以a≤4;…………………………………………………5分 (2)|a+b|≤|2+ab|等价于(a+b)2≤(2+ab)2……………………………………………7分 (a+b)2-(2+ab)2=a2+b2+2ab-4-2ab-a2b2 =a2(1-b2)+b2-4 =(1-b2)(a2-4)……………………………………………………8分 由已知a,b∈[-2,2],b2∈[0,1]a2∈[0,1] 所以1-b2≥0,a2-1≤0 于是(1-b2)(a2-1)≤0 即|a+b|≤|2+ab|…………………………………………………………………10分
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