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高二月考数学理试题及答案
2015年5月南昌市八一中学高二理科数学月考试卷
一、选择题:
(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.某工程队有5项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后立即进行.那么安排这5项工程的不同排法种数是()
A.6B.12C.16D.20
2.设是两条不同直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是()
(A)(B),则
(C),则(D),则
3.从3名语文老师、4名数学老师和5名英语老师中选派5人组成一个支教小组,则语文、数学和英语老师都至少有1人的选派方法种数是()
A.590B.570C.360D.210
4.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.B.C.40D.80
5.已知的展开式中各项系数之和为1,则该展开式中含项的系数为
A、B、40
C、D、20
6从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A.B.
C.D.
7.若,
则的值为()
(A)0(B)(C)5(D)255
8.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有()
A.150种B.300种C.600种D.900种
9.从数字1,2,3,4,5中随机的抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于9的概率为( )
ABCD
10用4种不同颜色给一个正方体的六个面涂色,要求相邻的两个面涂不同的颜色,共有()种不同的涂法.
A.48B.96C.120D.240
11.在三棱锥中(如图),与是全等的等腰直角三角形,为斜边的中点,,二面角的大小为600,并给出下面结论:
①AC⊥BD;②AD⊥CO;③△AOC为正三角形;④;
⑤四面体ABCD的外接球面积为.其中真命题是
A.②③④B.①③④C.①④⑤D.①③⑤
12已知四面体中,,,,平面PBC,则四面体的内切球半径与外接球半径的比()
A.B.C.D.
二、填空题:
(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.展开式中的常数项为
14.有10个运动员名额,分给6个班,每班至少一个,有种分配方案.
15.若甲乙两人从门课程中各选修门,则甲乙所选的课程中恰有门相同的选法有
种(用数字作答)
16.从装有个球(其中个白球,1个黑球)的口袋中取出个球,共有种取法。
在这种取法中,可以分成两类:
一类是取出的个球全部为白球,有种取法,另一类是取出一个黑球,个白球,有种取法,所以有,即有等式:
成立.试根据上述思想化简下列式子:
.
三、解答题:
(本大题共6小题,第17题10分,18—22每小题12分,共70分)
17.从五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数,
(1)可以组成多少个无重复数字的位偶数
(2)可以组成多少个无重复数字且被整除的三位数
18.学校为测评班级学生对任课教师的满意度,采用“100分制”打分的方式来计分.现从某班学生中随机抽取10名,以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数(以十位数字为茎,个位数字为叶):
规定若满意度不低于98分,测评价该教师为“优秀”.
(I)求从这10人中随机选取3人,至多有1人评价该教师是“优秀”的概率;
(II)以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据,若从该班任选3人,记表示抽到评价该教师为“优秀”的人数,求的分布列.
19.如图,在多面体中,底面是边长为的的菱形,,四边形是矩形,直线BF⊥平面,,和分别是和的中点.
(Ⅰ)求证:
平面平面;
(Ⅱ)求直线CF与平面所成角的余弦值.
20.已知的展开式各项系数和比它的二项式系数和大.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中系数最大的项.
.
21..在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y,设O为坐标原点,点P的坐标为记.
(I)求随机变量的最大值,并求事件“取得最大值”的概率;
(II)求随机变量的分布列
22.如图1,在中,,,,、分别为、的中点,连接并延长交于,将沿折起,使平面平面,如图2所示.
求证:
平面;
求平面与平面所成的锐二面角的余弦值;
在线段上是否存在点使得平面?
若存在,请指出点的位置;若不存在,说明理由.
南昌市八一中学高二数学(理科)月考参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
每小题只有一个选项是正确的)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
A
A
A
B
C
C
D
B
D
C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将正确答案填写在横线上)
13.7014.12615.18016.
17.
(1)
(2)满足题意的有:
(2,3,4)(2,4,6)(3,4,5)(4,5,6)共4组
18.
(1)设表示所取3人中有个人评价该教师为“优秀”,至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件,则
(2)由题意可知的可能取值为0、1、2、3,求出
;;;
分布列为
1
19.(Ⅰ)证明:
在中,因为分别是的中点,
所以,又因为平面,平面,
所以平面.………………2分
设,连接,
因为为菱形,所以为中点
在中,因为,,
所以,
又因为平面,平面,
所以平面.………………4分
又因为,平面,
所以平面平面.………………5分
(Ⅱ)解:
取的中点,连接,
因为四边形是矩形,分别为的中点,
所以,因为平面平面,所以平面,
所以平面,
因为为菱形,所以,得两两垂直.
所以以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴,
如图建立空间直角坐标系.
因为底面是边长为的菱形,,,
所以,,,,,
……………………………7分
所以,.设平面的法向量为,
则
令,得.……………9分
设直线CF与平面所成角为
则.……………11分
所以………………12分
20.解:
令得展开式的各项系数之和为,而展开式的二项式系数的和为,
∴有.∴.
(1)∵,故展开式共有,其中二项式系数最大的项为第三、第四两项.
∴,.
(2)设展开式中第项的系数最大.
,
故有即解得.∵,
∴,即展开式中第项的系数最大.
21.
(1)、可能的取值为、、,,,
,且当或时,.因此,随机变量的最大值为. 有放回抽两张卡片的所有情况有种,.
(2)的所有取值为.
时,只有这一种情况,
时,有或或或四种情况,
时,有或两种情况.
,,.
则随机变量的分布列为:
22.
(1)在中,为AC的中点,又,所以三角形为等边三角形;为BD的中点,于E,因为平面平面,交线为BD,平面,所以平面;
(2)由
(1)结论知:
平面,,由题意知,以为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,由
(1)得,
计算:
则,,则,易知平面的一个法向量为,
设平面的法向量为,则
,即,
令..
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为
(3)设,其中,
,其中,,由解得.
所以在线段上存在点,使平面,且:
:
.
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