圆周运动中的临界问题之欧阳科创编.docx
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圆周运动中的临界问题之欧阳科创编
圆周运动中的临界问题
时间:
2021.02.05
创作:
欧阳科
1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题
R 绳
图 1
v0
v
R
图 2
v
O
R 杆
图 3
⑴如图1、图2所示,没有物体支承的小球,在竖直平面作圆周运动过最高点的情况
①临界条件:
绳子或轨道对小球没有力的作用
v临界=
②能过最高点的条件:
v≥
,当v>
时,绳对球产生拉力,轨道对球产生压力。
③不能过最高点的条件:
v<v临界(实际上球没到最高点时就脱离了轨道)。
⑵如图3所示情形,小球与轻质杆相连。
杆与绳不同,它既能产生拉力,也能产生压力
①能过最高点v临界=0,此时支持力N=mg
②当0<v<
时,N为支持力,有0<N<mg,且N随v的增大而减小
③当v=
时,N=0
④当v>
,N为拉力,有N>0,N随v的增大而增大
b
O
a
图 4
例1 (99年高考题)如图4所示,细杆的一端与一小球相连,可绕过O的水平轴自由转动。
现给小球一初速度,使它做圆周运动。
图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点,则杆对球作用力可能是 ( )
A、a处为拉力,b处为拉力
B、a处为拉力,b处为推力
C、a处为推力,b处为拉力
D、a处为推力,b处为推力
A
L
O
m
图 5
例2 长度为L=0.5m的轻质细杆OA,A端有一质量为m=3.0kg的小球,如图5所示,小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动,通过最高点时小球的速率是2.0m/s,g取10m/s2,则此时细杆OA受到 ( )
A、6.0N的拉力B、6.0N的压力
C、24N的拉力D、24N的压力
例3长L=0.5m,质量可以忽略的的杆,其下端固定于O点,上端连接着一个质量m=2kg的小球A,A绕O点做圆周运动(同图5),在A通过最高点,试讨论在下列两种情况下杆的受力:
①当A的速率v1=1m/s时
②当A的速率v2=4m/s时
2、在水平面内作圆周运动的临界问题
30°
45°
A
B
C
图 6
在水平面上做圆周运动的物体,当角速度ω变化时,物体有远离或向着圆心运动的(半径有变化)趋势。
这时,要根据物体的受力情况,判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪(特别是一些接触力,如静摩擦力、绳的拉力等)。
例4 如图6所示,两绳系一质量为m=0.1kg的小球,上面绳长L=2m,两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°,问球的角速度在什么范围内,两绳始终张紧,当角速度为3rad/s时,上、下两绳拉力分别为多大?
例5 如图7所示,细绳一端系着质量M=0.6kg的物体,静止在水平肌,另一端通过光滑的小孔吊着质量m=0.3kg的物体,M的中与圆孔距离为0.2m,并知M和水平面的最大静摩擦力为2N。
现使此平面绕中心轴线转动,问角速度ω在什么范围m会处于静止状态?
(g=10m/s2)说明:
一般求解“在什么范围内……”这一类的问题就是要分析两个临界状态。
M
r
o
m
图 7
3、巩固练习
1、汽车通过拱桥颗顶点的速度为10m/s时,车对桥的压力为车重的
。
如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力,则汽车的速度为( )
A、15m/sB、20m/sC、25m/sD、30m/s
r
o
ω
图 8
2、如图8所示,水平转盘上放有质量为m的物块,当物块到转轴的距离为r时,连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为零)。
物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍。
求:
⑴当转盘角速度ω1=
时,细绳的拉力T1。
⑵当转盘角速度ω2=
时,细绳的拉力T2。
三、小结
1、解圆周运动的问题时,一定要注意找准圆心,绳子的悬点不一定是圆心。
2、把临界状态下的某物理量的特征抓住是关键。
如速度的值是多大、某个力恰好存在还是不存在以及这个力的方向如何。
答案
例1分析:
答案A是正确的,只要小球在最高点b的速度大于
,其中L是杆的长;答案B也是正确的,此时小球的速度有0<v<
;答案C、D肯定是错误的,因为小球在最低点时,杆对小球一定是拉力。
例2解法:
小球在A点的速度大于
时,杆受到拉力,小于
时,杆受压力。
V0=
=
m/s=
m/s
由于v=2.0m/s<
m/s,我们知道:
过最高点时,球对细杆产生压力。
小球受重力mg和细杆的支持力N
由牛顿第二定律 mg-N=m
N=mg-m
=6.0N 故应选 B。
例3
解法一:
(同上例) 小球的速度大于
m/s时受拉力,小于
m/s时受压力。
N
mg
①当v1=1m/s<
m/s时,小球受向下的重力mg和向上的支持力N
由牛顿第二定律 mg-N=m
N=mg-m
=16N
即杆受小球的压力16N。
mg
F
②当v2=4m/s>
m/s时,小球受向下的重力mg和向下的拉力F
由牛顿第二定律 mg+F=m
F=m
-mg=44N
即杆受小球的拉力44N。
解法二:
小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力,因此杆受小球的作用力也可以是拉力或者是压力。
我们可不去做具体的判断而假设一个方向。
如设杆竖直向下拉小球A,则小球的受力就是上面解法中的②的情形。
由牛顿第二定律 mg+F=m
得到 F=m(
-g)
当v1=1m/s时,F1=-16N F1为负值,说明它的实际方向与所设的方向相反,即小球受力应向上,为支持力。
则杆应受压力。
当v2=4m/s时,F2=44N。
F2为正值,说明它的实际方向与所设的方向相同,即小球受力就是向下的,是拉力。
则杆也应受拉力。
例4解析:
①当角速度ω很小时,AC和BC与轴的夹角都很小,BC并不张紧。
当ω逐渐增大到30°时,BC才被拉直(这是一个临界状态),但BC绳中的张力仍然为零。
设这时的角速度为ω1,则有:
TACcos30°=mg
TACsin30°=mω12Lsin30°
将已知条件代入上式解得 ω1=2.4rad/s
②当角速度ω继续增大时TAC减小,TBC增大。
设角速度达到ω2时,TAC=0(这又是一个临界状态),则有:
TBCcos45°=mg
TBCsin45°=mω22Lsin30°
将已知条件代入上式解得 ω2=3.16rad/s
所以 当ω满足2.4rad/s≤ω≤3.16rad/s,AC、BC两绳始终张紧。
本题所给条件 ω=3rad/s,此时两绳拉力TAC、TBC都存在。
TACsin30°+TBCsin45°=mω2Lsin30°
TACcos30°+TBCcos45°=mg
将数据代入上面两式解得 TAC=0.27N, TBC=1.09N
注意:
解题时注意圆心的位置(半径的大小)。
如果ω<2.4rad/s时,TBC=0,AC与轴的夹角小于30°。
如果ω>3.16rad/s时,TAC=0,BC与轴的夹角大于45
例5解析:
要使m静止,M也应与平面相对静止。
而M与平面静止时有两个临界状态:
M
r
o
m
图 7
当ω为所求范围最小值时,M有向着圆心运动的趋势,水平面对M的静摩擦力的方向背离圆心,大小等于最大静摩擦力2N。
此时,对M运用牛顿第二定律。
有T-fm=Mω12r且 T=mg
解得 ω1=2.9rad/s
当ω为所求范围最大值时,M有背离圆心运动的趋势,水平面对M的静摩擦力的方向向着圆心,大小还等于最大静摩擦力2N。
再对M运用牛顿第二定律。
有T+fm=Mω22r
解得 ω2=6.5rad/s
所以,题中所求ω的范围是:
2.9rad/s<ω<6.5rad/s
时间:
2021.02.05
创作:
欧阳科
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